九年级数学下册一轮复习 第24课时 图形的变换⑴轴对称与中心对称.docx

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九年级数学下册一轮复习第24课时图形的变换⑴轴对称与中心对称

2019-2020年九年级数学下册一轮复习第24课时图形的变换⑴轴对称与中心对称

【基础知识梳理】

1.轴对称图形、轴对称

如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫.

对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能，那么，这两个图形成，这条直线就是对称轴。

2.轴对称的性质

如果两个图形关于某条直线对称，那么对应点所连的线段被对称轴。

如果两个图形关于某条直线对称，那么对应线段，对应角。

3.中心对称、中心对称图形

中心对称：

把一个图形绕着某一点旋转，如果它能与另一个图形，那么这两个图形成中心对称，该点叫做。

中心对称图形：

在平面内，一个图形绕某个点旋转1800，如果旋转前后的图形，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的。

【基础诊断】

1、（xx•山东烟台，第2题3分）下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　D　）

A．

B．

C．

D．

2、（xx•山东潍坊，第2题3分）下列标志中不是中心对称图形的是（C）

3、（xx•海南）如图，△ABC与△DEF关于y轴对称，已知A（﹣4，6），B（﹣6，2），E（2，1），则点D的坐标为（　　）

A．

（﹣4，6）

B．

（4，6）

C．

（﹣2，1）

D．

（6，2）

4、（xx年湖北咸宁9．（3分））点P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标为　（﹣1，﹣2）　．

【精典例题】

例1、如图，在平面直角坐标系中，有A（1，2），B（3，3）两点，现另取一点C（a，1）当a＝时，AC＋BC的值最小．

2）当a＝时，BC﹣AC的值最大．

例2如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是.

（1）求点B的坐标；

（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；

（3）在

（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？

若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；

【自测训练】A—基础训练

1、选择题（每小题有四个选项，只有一个选项是正确的）

1、（xx•甘肃兰州,第1题4分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　A　）

A．

B．

C．

D．

2、（xx山东济南，第5题，3分）下列图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是

3、（xx济宁）如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（　　）

　A．（0，0）B．（0，1）C．（0，2）D．（0，3）

4、（xx•南宁）如图所示，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点，把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的直角三角形，那么剪出的直角三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（　　）

A．

正三角形

B．

正方形

C．

正五边形

D．

正六边形

5、（xx•湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边的中点，分别以B、C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径圆弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：

①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED；④ED=AB中，一定正确的是（　　）

　A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④

6、（xx•四川宜宾，第14题，3分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′=1.5．

二、填空题

7、如图，正方形的边长为，是的中点，是对角线上一动点，则的最小值是　　　　　。

8、（7分）（xx•梅州）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，与AC、BC分别交于点D、E，连接AE，则：

（1）∠ADE=　　°；

（2）AE　=　EC；（填“=”“＞”或“＜”）

（3）当AB=3，AC=5时，△ABE的周长=　　．

9、如图，边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O，AD∥x轴，以O为顶点且过A、D两点的抛物线与以O为顶点且经过B、C两点的抛物线将正方形分割成几部分，则图中阴影部份的面积是

10、（xx•无锡，第18题2分）如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是　3　．

三、解答题

11、（xx•江西抚州，第15题，5分）如图，△与△关于直线对称，请用无刻度的直尺，在下面两个图中分别作出直线.

12、（8分）（xx•南宁）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．

（1）请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；

（2）请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；

（3）在x轴上求作一点P，使△PAB的周小最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标．

13、①如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，

求△PQR周长的最小值．

②变式:

如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，若∠AOP=30°.Q、R分别是OA、OB上的动点，PR+QR的最小值.

（3）如图，在锐角△ABC中，AB＝，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是．

14、如图（a），点A、B在直线的同侧，要在直线上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于的对称点，连接A B′与直线交于点C，则点C即为所求．

（1）实践运用：

如图（b），已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为_______.

（2）知识拓展：

如图（c），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．

（3）如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A（2，－3），B（4，－1）若

C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两个动点，则当a＝______时，四边形ABDC的周长最短．

B提升训练

一、选择题

1、有如下图形：

①函数的图形；②函数的图像；③一段弧；④平行四

边形，其中一定是轴对称图形的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2、（xx•四川南充，第3题，3分）下列几何体的主视图既是中心对称图形又是轴对称图形的是（D

　）

　A．

B．

C．

D．

3．（xx年湖北荆门）（xx•湖北荆门,第9题3分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形（简称格点正方形）．若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有（　　）

第8题图

　A．2种B．3种C．4种D．5种

4、把等腰沿底边翻折，得到，那么四边形（）

A.是中心对称图形，不是轴对称图形B.是轴对称图形，不是中心对称图形

C.既是中心对称图形，又是轴对称图形D.以上都不正确

5、（xx•山东聊城，第7题，3分）如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，则线段QR的长为（　A　）

A．

4.5

B．

5.5

C．

6.5

D．

7

二、填空题

6、（xx•山东枣庄，第13题4分）如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有3种．

7、在平面直角坐标系中，先将抛物线关于轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为

8、（xx•梅州）如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为Pn，则点P3的坐标是　（8，3）　；点Pxx的坐标是．

答案为：

（8，3），（5，0）

9、已知点A（1，5），B（3，－1），点M在x轴上，当AM－BM最大时，点M的坐标为　　　　　　.

10、（xx•无锡，第18题2分）如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是　3　．

11、（xx•烟台）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为　108　度．

12、（xx•嘉兴）如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB，BC上，AE=BF=1，小球P从点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P第一次碰到点E时，小球P与正方形的边碰撞的次数为　6　，小球P所经过的路程为　6　．

13、（xx•青岛，第13题3分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD=2，∠BCD=60°，对角线AC平分∠BCD，E，F分别是底边AD，BC的中点，连接EF．点P是EF上的任意一点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值为　2　．

三、解答题

14、（14分）（xx•海南）如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（﹣1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；

（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？

请说明理由．

15、（12分）（xx•呼和浩特）如图，已知直线l的解析式为y=x﹣1，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（m，0），B（2，0），D（1，）三点．

（1）求抛物线的解析式及A点的坐标，并在图示坐标系中画出抛物线的大致图象；

（2）已知点P（x，y）为抛物线在第二象限部分上的一个动点，过点P作PE垂直x轴于点E，延长PE与直线l交于点F，请你将四边形PAFB的面积S表示为点P的横坐标x的函数，并求出S的最大值及S最大时点P的坐标；

（3）将

（2）中S最大时的点P与点B相连，求证：

直线l上的任意一点关于x轴的对称点一定在PB所在直线上．

答案：

B提升训练

14、

考点：

二次函数综合题．

分析：

（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）首先求出四边形MEFP面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最值及点P坐标；

（3）四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME+PF最小，则PMEF的周长将取得最小值．如答图3所示，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1）；作点M1关于x轴的对称点M2，则M2（1，﹣1）；连接PM2，与x轴交于F点，此时ME+PF=PM2最小．

解答：

解：

（1）∵对称轴为直线x=2，

∴设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+k．

将A（﹣1，0），C（0，5）代入得：

，解得，

∴y=﹣（x﹣2）2+9=﹣x2+4x+5．

（2）当a=1时，E（1，0），F（2，0），OE=1，OF=2．

设P（x，﹣x2+4x+5），

如答图2，过点P作PN⊥y轴于点N，则PN=x，ON=﹣x2+4x+5，

∴MN=ON﹣OM=﹣x2+4x+4．

S四边形MEFP=S梯形OFPN﹣S△PMN﹣S△OME

=（PN+OF）•ON﹣PN•MN﹣OM•OE

=（x+2）（﹣x2+4x+5）﹣x•（﹣x2+4x+4）﹣×1×1

=﹣x2+x+

=﹣（x﹣）2+

∴当x=时，四边形MEFP的面积有最大值为，此时点P坐标为（，）．

（3）∵M（0，1），C（0，5），△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，

∴点P的纵坐标为3．

令y=﹣x2+4x+5=3，解得x=2±．

∵点P在第一象限，∴P（2+，3）．

四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME+PF最小，则PMEF的周长将取得最小值．

如答图3，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1）；

作点M1关于x轴的对称点M2，则M2（1，﹣1）；

连接PM2，与x轴交于F点，此时ME+PF=PM2最小．

设直线PM2的解析式为y=mx+n，将P（2+，3），M2（1，﹣1）代入得：

，解得：

m=，n=﹣，

∴y=x﹣．

当y=0时，解得x=．∴F（，0）．

∵a+1=，∴a=．

∴a=时，四边形PMEF周长最小．

点评：

本题是二次函数综合题，第

（1）问考查了待定系数法；第

（2）问考查了图形面积计算以及二次函数的最值；第（3）问主要考查了轴对称﹣最短路线的性质．试题计算量偏大，注意认真计算．

15、

考点：

二次函数综合题．

分析：

（1）根据待定系数法可求抛物线的解析式，再根据A（m，0）在抛物线上，得到0=﹣m2﹣m+2，解方程即可得到m的值，从而得到A点的坐标；

（2）根据四边形PAFB的面积S=AB•PF，可得S=﹣（x+2）2+12，根据函数的最值可得S的最大值是12，进一步得到点P的坐标为；

（3）根据待定系数法得到PB所在直线的解析式为y=﹣x+1，设Q（a，a﹣1）是y=x﹣1上的一点，则Q点关于x轴的对称点为（a，1﹣a），将（a，1﹣a）代入y=﹣x+1显然成立，依此即可求解．

解答：

解：

（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过点B（2，0），D（1，），

∴，

解得a=﹣，b=﹣，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+2，

∵A（m，0）在抛物线上，

∴0=﹣m2﹣m+2，

解得m=﹣4，

∴A点的坐标为（﹣4，0）．

如图所示：

（2）∵直线l的解析式为y=x﹣1，

∴S=AB•PF

=×6•PF

=3（﹣x2﹣x+2+1﹣x）

=﹣x2﹣3x+9

=﹣（x+2）2+12，

其中﹣4＜x＜0，

∴S的最大值是12，此时点P的坐标为（﹣2，2）；

（3）∵直线PB经过点P（﹣2，2），B（2，0），

∴PB所在直线的解析式为y=﹣x+1，

设Q（a，a﹣1）是y=x﹣1上的一点，

则Q点关于x轴的对称点为（a，1﹣a），

将（a，1﹣a）代入y=﹣x+1显然成立，

∴直线l上的任意一点关于x轴的对称点一定在PB所在直线上．

点评：

本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，函数的最值问题，四边形的面积求法，以及关于x轴的对称点的坐标特征．