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侗族民居的数学文化

侗族民居的数学文化

作者：

罗永超杨孝斌

来源：

《原生态民族文化学刊》2016年第02期

        摘要：

侗族干栏式传统民居建筑为“三八式”模型，这种“模式化”的结构蕴涵着丰富的数学文化，本质上就是一个数学模型；从主体结构中的黄金分割比例，到屋面三角结构的数学计算，以及外部装饰中所表现出来的几何图案等，都是侗族人民数学思维特征的体现。

        关键词：

侗族民居；数学文化；思维特征

        中图分类号：

TU-09文献标识码：

A文章编号：

1674-621X（2016）02-0120-07

        据2010年第六次全国人口普查统计，全国侗族人口为2879974人[1]，约有一半聚居在贵州省黔东南苗族侗族自治州，其余的部分主要分布在与贵州毗邻的湖南、广西等地.由于侗族没有文字，在漫长的历史岁月中创造出来的丰富多彩的民族文化，全凭口传心授方式完整地传承和延续。

勤劳智慧的侗族，生活在得天独厚的自然环境中，这里的气候土壤适宜杉木生长，侗族就地取材成就了独具特色的“干栏式”建筑，当人们走进古朴、和谐的侗族村寨时（如图1），①①图1为网络照片，贵州省黎平县高寅侗寨，网址：

http：

//除了看到那些被称为木质艺术极品建筑的鼓楼、风雨桥等公共建筑外，更多的还会看到与之交相辉映的古朴无华、素雅温馨的“吊脚楼”民居，让人有一种美仑美奂之感。

        图2高寅侗寨前清时期吊脚楼传统的侗族民居均为“干栏式”建筑，大多为二三层木楼，底层为猪牛等养牲圈厩和堆放柴草的杂屋，二层以上为人居，楼上挑出装饰着花格栏杆的走廊，栏杆旁边备有宽大的木质长凳，供人休息。

贵州省黎平县高寅侗寨现存清朝年间建造的3栋“吊脚楼”（图2），是目前保留最完好的古代侗族传统民居之一。

从传统的侗族民居建筑中，我们发现数学知识的运用极为广泛和普遍，特别是三角形的稳定原理无处不在，反映了侗族人民对数学文化的认识与掌握程度，是侗族人民数学思维特征的体现，更是侗族先民的聪明与智慧体现。

        一、侗族民居的屋面三角结构与计算公式

        侗族民居的屋面是指民居建筑屋顶的表面，是指屋脊与屋檐之间的部分，这一部是屋顶中面积最大的一部分。

侗族民居建筑的屋面很好地利用了三角形的稳定原理来构架，主要以直角三角结构为木屋架，即以“榀”为基本单位，每一“榀”也即是每一个平面结构体都涉及到如图3的三角架中关于AiBi与OBi（i=1，2，3，…）的长度计算，对此，传统的侗族建筑师一般都按如下公式计算[2]：

        AiBi（单位：

市寸）=5×OBi（单位：

市尺）

（1）

        AiBi（单位：

市寸）=6×OBi（单位：

市尺）

（2）

        AiBi（单位：

市寸）=7×OBi（单位：

市尺）

        （3）

        例如，设OBi=4市尺（注：

侗族至今仍以市尺、市寸为基本长度单位），将其代入

（1）式，得到AiBi=20市寸，即AiBi=2市尺。

        按上述3个公式的意义，只须将系数5、6、7对应改为05、06、07，公式两边的单位即可统一，之所以出现不同的长度单位，是因为侗族母语中没有“小数”概念，不能表示其意，智慧的侗族建筑师通过上一级长度单位在公式中的应用，巧妙地解决了没有“小数”概念的困难。

并且将按公式

（1）

（2）（3）做成的房屋，分别称为“五分水”“六分水”和“七分水”屋面。

        图3侗族母语有比较清晰的分数概念，公式

（1）可以表示为AiBi=12OBi，不需要转换单位，所以公式

（1）倍受建筑师的青睐，这也是侗族民居多为“五分水”屋面的一种缘由。

        现在的侗族建筑师绝大多数都能按照公式AiBi=05OBi进行运算，很少有人承袭上述古老的方法，说明侗族文化正在逐渐被现代文明所同化。

        公式

（1）

（2）（3）是完成屋面三角架的依据，但实际制作时，他们往往将屋面做成流线形（A2B2高度不变，OA2略为向下弯曲）三角架，这既使屋面美观，似乎又应证了摆线形弧面加快雨点排泄速度的原理[2]。

        显然，“七分水”屋面的坡度最大，排水的速度就会更快，但屋面陡峭也增加了瓦片下滑的可能性，所以，现在的侗族民居通常取“五分水”或“六分水”，屋面盖杉木皮用绳索捆绑固定树皮的“七分水”木楼结构已经很少见到。

        二、侗族民居主体结构中的数学文化

        以干栏式“吊脚楼”为主的传统侗寨，到处都能看到楼檐翘角，加上鼓楼、风雨桥等建筑，构成了独具一格的侗族建筑文化，有人说这是人类文明发展的缩影。

其实侗族民居的变迁也与其他民族类似，也是从“树居”发展到“陆居”，从“窝棚”发展到“屋棚”，到“茅屋”，到干栏式“吊脚楼”等，尽管侗族建筑经历了漫长的历史变迁，但侗族“吊脚楼”却承载着变迁中“不变”的民族数学文化。

        传统的侗族“吊脚楼”其主体结构以“三八式”最为常见，有时也采用“三九式”结构。

所谓“三八式”结构是指构成房屋的每一榀是2丈4尺宽，“三九式”则指每一榀宽2丈7尺，建造“三八式”或是“三九式”房子，要根据屋地基的宽窄来确定，侗族传统民居这种“数字化”结构的模式，实际上是一个经典的“数学模型”。

        侗族“吊脚楼”起源于何时，说法不一，但根据众多专家考证，最迟在唐朝就有相当规模的建筑[3]。

今天的侗寨已无法找到唐宋时期的民居，贵州黎平高寅侗寨幸存的3栋颇具规模的前清时期建造的木楼（如图2），楼底为“三八式”结构，楼上为“三九式”结构，楼上都有宽约9尺的走廊贯通两头，走廊外壁装饰有花格栏杆，如此规模的建筑必将是经过长期的历史积淀形成的，它们已经成为了非常珍贵的历史文物。

令人遗憾的是这些木楼周边簇拥着许多木房，以至于我们不能多角度地拍摄其侧面和一些可供参照分析的画面。

但我们还是能在侗寨里找到类似结构侗族木楼（如图4a）加以分析，展示侗族传统民居的数学文化。

        图4四榀三间结构的侗族民居图4a是一栋四榀三间结构的侗族传统木楼，图4b是图4a中一榀的立面图，立面结构为“五柱八瓜”（即由5根主承柱和8个瓜柱构成），楼底高6尺8寸（传统民居楼底高一般为6尺8寸、7尺2寸），供人居住的楼上比底层略高，多为7尺2寸、7尺8寸、8尺8寸等，这些数字特征都带有浓郁的传统文化色彩，如6尺8寸、7尺8寸、8尺8寸多为吉利之意，而7尺2寸则是9的倍数，9被认为是“最大”的数，也是侗族数学文化中常见的数字。

图4a为“三八式”结构，在某一榀（如图b）中，有AB=BC=CD=8市尺，即檐柱AA′（或DD′）与金柱（也称为二柱）BB′（或CC′）之间距离为8市尺，两金柱BB′与CC′之间距离也为8市尺，这样就决定了每一榀的宽是24市尺，这也是称为“三八式”结构的缘由。

        这里我们以“三八式”-“五分水”结构木楼分析侗族建筑师在建造其屋面三角架时的相关计算。

        在图4b中，“三八式”结构的出水枋的长度应为PM=PN=1丈4尺，其中MA=DN=2尺，由此，根据公式

（1），可以算出中柱的柱头高OP=7尺，金柱（即二柱）的柱头高KB=5尺，檐柱（即外柱）的柱头高JA=1尺；较长的瓜柱EF垂直且平分出水枋中的线段AB，且EF=3尺；而较短的瓜柱GH则垂直且平分拉枋EI，且GH=JA=1尺。

这样，房子的层高一旦确定（如楼底为6尺8寸，楼上为7尺8寸），房子的每一榀即可制作完成。

值得注意的是，在每一榀中的所有的瓜柱都垂直且平分对应的拉枋（受力枋），这再次说明了“二分法”已成为侗族数学文化中的基本思想方法[4]。

        若图4b为“三九式”结构，则它的每一榀与“三八式”结构类似，但其宽度不一样，即AB=BC=CD=9市尺，也就是说每一榀的宽是27市尺，这就是所谓的“三九式”结构。

        “三九式”结构木楼的层高与“三八式”结构的层高相同，不必细说，它们的主要区别在于屋面三角架的不同。

图5为“三九式”结构木楼的三角架示意图，其水枋较长，即PM=PN=1丈6尺5寸，其中从外柱延伸出去的部分也较长，就一般情形而言，MA=DN=3尺，通常需要在MA和DN上各增加一根瓜柱，这样每一榀的立面结构变为“五柱十瓜”，此时，瓜与柱（或瓜与瓜）之间的距离也分为两类计算。

一类是外柱以外的两个瓜柱SS′和TT′，它们分别与外柱AA′和DD′的距离是1尺5寸，而其他的瓜与柱（或瓜与瓜）之间的距离都是2尺2寸5分，总之，瓜柱始终垂直平分其对应的受力拉枋，而柱头的高度也是根据公式

（1）计算得到。

        图5无论是“三八式”还是“三九式”结构木楼，制作好每一榀并将其竖立后，在榀与榀之间用一丈两尺长的木枋将每一根柱子对应连接，即可得到成型的屋架。

        一般情况下，传统的四榀三间“三八式”结构木楼平面图如图6所示，矩形DIJM、MJKN、NKLC分别为主卧室，矩形IEFJ、KGHL专供冬天烤火取暖（也兼有客卧）、休闲、就餐之用，矩形JFGK、ABHE为楼道，供全家活动，并兼有厨房、餐厅等功能，两个阴影部分矩形为楼梯通道，其中AE=EI=ID=8尺，同样BH=HL=LC=8尺，而DM=MN=NC=1丈2尺，且IJ=JK=KL=1丈2尺。

由此可见，整个房屋的宽与长之比为2436=23≈0667，而主卧室及其它的小方块矩形的宽与长之比也为812=23≈0667，这样的比例符合建筑学中的黄金分割比。

这是侗族人民在生活的漫长岁月中，经过长期的探索实践，综合杉木取材等多种因素，结合本民族的审美观、文化观等形成的结果。

        图6在高层“吊脚楼”中，楼底通常为“三八式”结构，而高层通常为“三九式”结构。

图7是黎平县高寅侗寨前清时期的另一栋“吊脚楼”，该楼的二楼就是“三九式”结构，两端还分别有两个宽5市尺的偏厦，偏厦也是侗族“吊脚楼”的特征之一，该楼二楼平面图如图8所示，如果去掉两个偏厦，余下的部分其结构与图6完全相同，只是大小不一样。

矩形DIJM、MJKN、NKLC分别为主卧室，矩形UVFJ、KGWT专供冬天烤火取暖、休闲、就餐之用，矩形JFGK、VPQW为楼道，供全家活动，兼有煮饭就餐等功能，矩形VXYE、HOZW为上下楼梯的位置。

整体而言，“三九式”结构木楼的宽度为2丈7尺，长度为：

        RD+DM+MN+NC+CS=5尺+1丈2尺+1丈2尺+1丈2尺+5尺=4丈6尺

        所以，平面图的宽与长之比为2746≈0590；主卧室的宽与长之比为912=075，两个偏厦RUDI、LCTS构成的小房间的宽与长之比为59≈0560，这些比例与建筑学中的黄金分割比值也基本吻合。

        值得一提的是，侗族传统干栏式木楼中的两个偏厦的建造涉及到的数学知识。

图9表示一栋有偏厦结构的侗族民居的部分框架图，为了便于观察，我们画出出水枋AD，BC与过间枋AB，DC及其相关部分几何平面图，如图10所示。

        假设图9为“三九式”结构木楼，由此AD=BC=9尺，AB=DC=5尺，AI=CH=3尺，为了使偏厦转角处的出水枋EG平分直角∠ABC，侗族建筑师通常取AE=AB=5尺，即他们应用了等腰直角三角形底角等于直角的一半的原理，他们还需要计算EG和BG的长度，此时他们通常根据下列公式计算，即

        （4）

        如EG=1.4×8=112尺，BG=1.4×3=42尺，等等。

        此外，还需要在EB找到图9中瓜柱PF的立足点F，这时仍按公式（4）计算，并且边长通常取2尺，即BF=1.4×2=28尺，至于PF的高度，则以2为邻边，按照房屋取“五分水”或“六分水”计算。

为了方便，也取BF=3尺，此时PF的高度按公式

（1）或

（2）计算后，只需将这个理论值加高1至2寸即可，侗族虽然并不知道有关无理数的计算，但经过长期的实践，他们掌握了弥补这些不足近似值的经验。

        在侗族生活中，传统的“三八式”和“三九式”结构的木楼已逐步淘汰，并演变为现代“吊脚楼”（如图11a所示），但侗族传统的“三八式”和“三九式”结构中的“数学模型”思想仍然在他们的现代“吊脚楼”得以传承[5]。

如图11a中，虽然二楼的四周都延伸出吊脚的廊檐（这也是现代吊脚楼的典型特征），但从一楼看上去能清晰地观察到构成现代“吊脚楼”构架中的每一榀（如图11b），它的基本结构是5柱10瓜。

柱与柱之间的距离AB=BP=PC=CD=6尺，即每一榀中一楼的宽度与传统的“三八式”结构杉木楼宽度都是2丈4尺，所不同的是两根金柱（二柱）分别向檐柱（外柱）平移了2尺，二楼伸出的廊檐宽也是2尺，屋檐再伸出2尺，即AM=DN=4尺。

这样，相邻的瓜与瓜（或瓜与柱）之间的距离都是2尺，既便于工匠的记忆和操作，又增加了房屋构架的美感。

现代“吊脚楼”的居住方式已是人畜分离，一楼、二楼均为人住，所以它的层高刚好与“三八式”结构相反，即一楼的层高较二楼略高，多为7尺2寸、7尺8寸、8尺8寸等，而二楼则通常取6尺8寸、7尺2寸等，这样更符合建筑的审美观。

至于柱头的高度和瓜柱的高度的计算与“三八式”结构完全一致，现代“吊脚楼”的榀与榀之间也是用1丈2尺长的过间枋以榫卯连接而成。

        图11侗族现代“吊脚楼”一楼平面图如图12所示，其中矩形WILY为独立于房屋之外的厨房，兼有堆放常用杂物或农具等功能，矩形IEFJ、ABFE、CDHG、GHLK为主卧室，最大的矩形MNTR为客厅，俗称堂屋。

BCNM为凹进房屋2尺（BM=CN=2尺）宽的小矩形，矩形RSOJ为宽3尺的楼梯（RJ=3尺）。

这样4个主卧室都是边长为1丈2尺的正方形，客厅宽也是1丈2尺，长则是2丈4尺-3尺-2尺=1丈9尺，其宽与长的比是1219≈0630，很接近黄金分割比。

而正屋矩形ADLI的宽与长的比是12+1212+12+12=23≈0667，这些比值都符合建筑审美的需要，所以说现代“吊脚楼”是传统的“三八式”结构木楼数学文化的继承和再现。

        图12显然，现代“吊脚楼”与传统的“三八式”和“三九式”结构木楼占地面积相当，但人畜分离后，一楼、二楼（有的还有三楼）都能供人居住，大大地改善了侗族人民的居住条件，卫生条件也有了明显的改观。

但我们关注的是一个民族在生活环境发生了根本性的改变后，其文化仍然根深蒂固，并世代相传，上述侗族数学文化以民居为载体，一直传承到现在的“吊脚楼”，就是一个典型的案例。

        三、侗族民居外装饰中的数学文化

        侗族民居装修也广泛地应用到了初等几何知识，表现出了浓郁的民族数学文化。

        图13是黎平县高寅侗寨前清时期其中一栋“吊脚楼”的一个窗格，几何图形如图14所示的正方形MNPQ，将正方形各边MN，NP，PQ，QM分别四等分，即：

        MB=BP′=P′C=CN=ND=DE′……=GQ=QH=HH′=H′A=AM。

        得到AB=CD=EF=GH，AH=BC=DE=FG，且RtΔAA′BRtΔCB′DRtΔEC′FRtΔCD′H，即两两全等。

故∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6=∠7=∠8=π4；

        ∴∠HAB=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFG=∠FGH=∠GHA=3π4。

        八边形ABCDEFGH虽不是正八边形，但各顶点都分部在以O为圆心，以54MN为半径的圆周上。

说明侗族对多边形早就有了广泛的应用[6]。

        不仅如此，我们还可以从古代侗族民居外装饰图案中看到中国古代证明勾股定理的赵爽弦图。

        图15是图2的正面装饰图案，它已被简化为现代民居中如图16的所示。

图16让人很容易联想到2002年在北京召开的国际数学家大会（TCM-2002）的会标（如图17），它实际上就是三国时期的赵爽“弦图”。

中国古代数学家巧妙证明勾股定理的图案，在侗族生活中找到了其现实的模型。

        其实，在侗族民居的外部装饰中，到处都蕴涵着几何图案，如图18所示的装饰图案，其几何图形为图19，这里就有轴对称图形、中心对称图形、平移变换、圆等知识。

        综上所述，我们可以看到无论是侗族民居的主体结构，还是其外部装饰图案，都蕴涵着浓厚的民族数学文化，侗族几千年来形成的数学思维习惯和特征在建筑中得到淋漓尽致的表现，展示了侗族人民的数学智慧，这些数学文化是侗族文化研究中不可忽视的内容。

        参考文献：

        [1]石慧.从“五普”到“六普”看侗族人口数量及地区分布变化[J].贵州民族大学学报：

哲学社会科学版，2014

（2）：

9-12.

        [2]罗永超.鼓楼人类文明“童年时期”数学文化的结晶[J].数学通报，2007（11）：

9-11.

        [3]余达忠.侗族民居[M].香港：

华夏文化出版社，2000.

        [4]罗永超.侗族数学文化面面观[J].数学教育学报，2013，22（3）：

67-72.

        [5]王科奇.激进形式的探索——拓扑与分形[J].建筑科学，2005，21（4）：

62-67.

        [6]吴秀吉.侗族生活中的数学[J].数学通报，2011（10）：

41-45.

        TheMathematicalCultureinDong’sFolkHouse

        LUOYongchao，YANGXiaobin

        （SchoolofMathematicssciences，KailiUniversity，GuizhouKaili，556011，China）

        Abstract：

TheDong’sdrycolumnconstructionmainstructureformsofthetraditional“three-eight”modeluntilnow.Thiskindofstructureof“modeling”containsrichmathematicalculture.Inessence，itisamathematicalmodel.Fromthemainstructureofthegoldensectionproportion，totherooftrianglestructureofmathematicalcalculationandtheexternaldecorationshowedgeometricpatterns，etc.，aretheembodimentoftheDong’scharacteristicsofmathematicalthinking.

        Keywords：

Dong’sfolkhouse；mathematicalculture；thinkingcharacteristics