毕业论文矩阵的特征值与特征向量的若干应用.docx
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毕业论文矩阵的特征值与特征向量的若干应用
矩阵的特征值与特征向量的若干应用
Severalapplicationsofeigenvaluesand
eigenvectorsofthematrix
专业:
数学与应用数学
作者:
指导老师:
学校
二○一
摘要
本文介绍了矩阵的特征值与特征向量的一些理论,在此理论基础上做了一定的推广,并通过矩阵的特征值与特征向量的命题与性质来探讨特征值与特征向量的一些应用.
关键词:
特征值;特征向量;矩阵;递推关系
Abstract
Thisarticledescribessometheoriesofeigenvaluesandeigenvectorsofthematrix,basedonthesetheorieswedosomepromotions,anddiscussestheapplicationsofeigenvaluesandeigenvectorsofthematrixthroughtheirpropositionsandnature.
Keywords:
eigenvalue;eigenvector;matrix;recursionrelations
摘要I
ABSTRAC.TII
0引言1
1关于矩阵的特征值与特征向量的一般理论1
2矩阵特征值与特征向量的几个应用5
2.1特征值与特征向量确定矩阵的方法证明及应用5
2.1.1命题的证明5
2.1.2命题的应用7
2.2线性递推关系中特征值与特征向量的应用7
2.2.1命题的证明7
2.2.2命题的应用9
2.3特征值与特征向量在矩阵运算中的应用11
2.3.1特征值与特征向量的基本性质11
2.3.2性质的应用12
3小结15
参考文献16
0引言
为了利用矩阵研究线性变换,希望能找到线性空间的基使线性变换在该基下的矩阵具有最简单的形式,因此我们引进了特征值与特征向量.特征值与特征向量在线性变换中起着举足轻重的作用,充分利用特征值与特征向量的命题与性质对我们解题带来极大的帮助,能使复杂的问题变的简单,化简为易,化繁为简.本文就矩阵的特征值与特征向量在一些解题中的应用作了初步的探讨.（见参考文献[1][2][4]）
1关于矩阵的特征值与特征向量的一般理论
我们知道,在有限维线性空间中,取了一组基之后,线性变换就可以用矩阵来表示.为了利用矩阵来研究线性变换,对于每个给定的线性变换,我们希望能找到一组基使得它的矩阵具有最简单的形式.从现在开始,我们主要的来讨论,在适当的选择基之后,一个线性变换的矩阵可以化成什么样的简单形式.为了这个目的,先介绍特征值和特征向量的概念,它们对于线性变化的研究具有基本的重要性．
定义1.1设A是数域P上的一个n阶方阵,若存在一个数P以及一个非零n维列
向量xPn,使得
Axx
则称是矩阵A的一个特征值,向量x称为矩阵A关于特征值的特征向量．
现在我们给出寻找特征值与特征向量的方法,设V是数域P上n维线性空间,1,2,,n是它们的一组基,线性变换/就是在这组基下的矩阵是A.设0是特征值，它的一个特征向量在1,2,,n下的坐标是x01,x02,,x0n.则由Axx,这说明特征向量的坐标x01,x02,,x0n满足齐次次方程组
a11x1a12x2a1nxn0x1,
a21x1a22x2a2nxn0x2,
an1x1an2x2annxn0xn.
即
0a11x1a12x2a1nxn0,
（1.1）
a21x10a22x2a2nxn0,
an1x1an2x20annxn0.
由于0,所以它的坐标x01,x02,,x0n不全为零,即齐次线性方程组有非零解.
从而,齐次线性方程组（1.1）式,有非零解的充分必要条件是它的系数行列式为零,即
0a11
a12
a1n
0EA
a21
0a22
a2n
an1
an2
0
ann
我们引入以下定义.
定义1.2设A是数域P上一n
级矩阵,是
一个文字.
a11
a12
a1n
EA
a21
a22
a2n
an1
an2
ann
0．
称为A的特征多项式,这是数域P上的一个次多项式.
矩阵EA的行列式
上面的分析说明,如果0是线性变换/的特征值,那么0一定是矩阵A的特征多
项式的一个根;反过来,如果0是矩阵A的特征多项式在数域P中的一个根,即0EA0,那么齐次线性方程组（1.1）式就有非零解.这时，如果x01,x02,,x0n是方程组（1.1）式的一个非零解,那么非零解向量
x011x022x0nn.
满足（1.1）式,即0是线性变换/的一个特征值,就是属于特征值0的一个特征向量．
因此,确定一个线性变换/的特征值与特征向量的方法可以分成一下几步：
1、在线性空间V中取一组基1,2,,n,写出/在这组基下的矩阵A;
2、求出A的特征多项式EA在数域P中全部的根,它们也就是线性变换/的全部特征值;
3、把所有得的特征值逐个代入方程组（1.1）式,对于每一个特征值,解方程组
（1.1）式，求出一组基础解系,它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在基1,2,,n下的坐标,这样,我们也就求出了属于每个特征值的全部线性无关的特征向量．
矩阵A的特征多项式的根有时也称为A的特征值,而相应的线性方程组（1.1）式的解也就称为A的属于这个特征值的特征向量．
例1设线性变换/在基1，2，3下的矩阵是
122
A212
221
求/的特征值与特征向量．
解因为特征多项式为
所以特征值-1（二重）和5．
把特征值-1代入齐次方程组
1x12x22x30
2x11x22x30
得到
2x12x212x30
2x12x22x30
2x12x22x30
2x12x22x30
它的基础解系是
因此，属于-1的两个线性无关的特征向量就是而属于－1的全部特征向量就是k11k22，k1，k2取遍数域P中不全为零的全部数对再用特征值5代入,得到
223
4x12x22x30
2x14x22x30
2x12x24x30
它的基础解系是
因此,属于5的一个线性无关的特征向量就是
3123
而属于5的全部特征向量就是k3,k是数域P中任意不等于零的数．例2在空间Pxn中,线性变换
fxf`x
2n1
在基1,x,x2!
,nx1!
下的矩阵是
0100
0010
D.
0001
0000
D的特征多项式是
的特征向量组只能是任一非零常数.这表明微商为零的多项式只能是零或非零常
数．（见参考文献[1]）
2矩阵特征值与特征向量的几个应用
2.1特征值与特征向量确定矩阵的方法证明及应用
已知矩阵的特征值与特征向量确定3阶对称矩阵的公式．
设3阶对称矩阵A的特征值为123,且1对应的特征向量为p,则
12T
ATpp2E3.
pTp
本文给出推广到n阶对称矩阵的一类计算公式.
2.1.1命题的证明
命题1设n阶对称矩阵A的特征值为1,2,,k其中kni≠ji,j1,2,,k，
i对应的特征向量为pi，i1,2,,k1.则可取
k1ikTATpipikEn，
i1pipi
且为A的nk1重特征值．
证明不妨设
k1ikTk1ikT
BTpipikEn,CTpipi,
i1pipii1pipi
Tik
piai1,ai2,,ain,miTi1,2,,k1．
pipi
因为p1,p2,,pk1两两正交,
k1T
BpjiTkpipiTpjkEnpj（jk）pjkpjjpj
i1pipi
所以j为B的特征向量,pj为B的对应于j的特征向量,且j1,2,,k1．
因为
k1k1k1k1
CiTkpipiTmiai1pi,miai2pi,,miainpi
i1pipii1i1i1
即矩阵C的列向量组可由向量组p1,p2,,pk1线性表示,故矩阵C的秩
RCk1n,C
BkEn
0
所以k为B的特征值．
k1
又可证k为B的nk1重特征值,设miaijpiajj1,2,,n,即i1
a1m1a11p1m2a21p2mk1ak11pk1,
a2m1a12p1m2a22p2mk1ak12pk1,
anm1a1np1m2a2np2mk1ak1npk1.
m1
a11
a12
a1n
a2,,anp1,p2,,pk1
m2
a21
a22
a2n
mk1
ak11
ak12
ak1n
因为mi0i1,2,,k1,秩Rp1,p2,,pk1k1,故Ra1,a2,,ank1．不妨设a1,a2,,ak1是向量组a1,a2,,an的极大线性无关组,则有
ajbj1a1bj2a2bj,k1ak1jk,k1,,n．
若Ene1,e2,,en,则有
k1k1k1
BEn（miai1pi（k）e1,miai2pi（k）e2,...,miainpi（k）en）
i1i1i1
（a1（k）e1,a2（k）e2,...,an（k）en）
做第三种初等变换将第j列ajkej化为
bj1ke1bj2ke2bj,k1kek1kej
kbj1e1bj2e2bj,k1ek1ejjk,k1,,n
令
aikeiii1,2,,k1
bj1e1bj2e2...bj.k1ek1ejj,（jk,k1,...,n）
BEna1ke1,a2ke2,,anken
k1,2,,k1,k,k1,,n
而行列式1,2,,k1,k,k1,,n是的最高次幂为k1的多项式．1,2,,k1为B
的特征值,
BEn
nk1k1
k
i1
综上可知命题成立．（参考文献[2][4]）
2.1.2命题的应用
例3设3阶对称矩阵的特征值11,21,30，对应于的1,2的特征向量
依次为p11,2,2T,p22,1,2T,求矩阵A．
解由公式
T
p11,1,1求矩阵A．
解由公式
给我们带来极大的方便．
综上,运用该命题根据已知条件,可简捷快速地求出矩阵
2.2线性递推关系中特征值与特征向量的应用
用特征值和特征向量对一般线性递推关系进行讨论．（见参考文献[14][15]）
2.2.1命题的证明
nk1,k2,
命题2设k阶线性循环数列{xn}满足递推关系
xna1xn1a2xn2akxnk，
xn2
1
0
0
0
ank
xn3
，A
0
1
0
0
xnk
0
0
1
0
a2
ak
ak1
其线性方程组为
xnk1xnk1.
可表为矩阵形式
则（2.1）式可写成
由（2.2）式递推得
ank
1Aank1
nk
Aa1，
其中axk,xk1,
T,
也就是求Ank.
x2,x1
于是求通项xn,
就归结为求xnk1,
如果A可对角化,即存在可逆矩阵
P,使得
P1APB,则Ank
PBnkP1,由于
a1
a2
ak1ak
1
00
EA
0
1
00
0
0
1
从第一列开始每一列乘以入加到后一列上
可得
2
a1
a1a2
k1k2a1
kk1
ak1a1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
（1）k（k
a1k1
ak）
若是A的一重特征值,显然有REAk1,则线性齐次方程EAA0的基础解系中只含有一个解向量.因此当A有个特征值1,2,,k时,这k个特征值对应的特征向量分别P1,P2,,Pk,以这个k特征向量为列构成的方阵记为P,则P是可逆的,并且P1APB,其中
100
020
B．
00k
2.2.2命题的应用
例6计算n阶行列式
2
1
2
0
0
0
0
1
2
1
2
0
0
0
0
1
2
1
2
0
0
D
0
0
0
0
0
2
1
0
0
0
0
0
2
2
解将Dn按第一行展开得,
Dn2Dn1M122M13,
其中M12与M13分别是元素12与13的余子式,再将它们分别按第一列展开得
Dn2Dn1Dn22Dn3,
则是Dn阶线性循环数列.将方程组
Dn2Dn1Dn22Dn3
Dn1Dn1
Dn2Dn2
表示成矩阵形式为：
Dn212Dn1
Dn1100Dn2
Dn2010Dn3
令
212
A100，
010由上式递推得：
由EA0，解的特征值为
3.的特征向量分
再由特征方程EAX0i1,2,3,解得A对应的特征值1,
别为
114
P1
1
，P2
1
，P3
2，
1
1
1
114
PP1P2P3112
111
3
3
6
1
P11
1
3
2
AP
0
P6
2
0
2
0
00
10P1
100n310An3P010P1P01n3
00200
n32n
n22n1
n3n2
31n
31
312
331n3
331n2
331n3
0
0P1
2n3
621n32n
621n22n1
621n32n2
由（2.3）式可得：
Dn131n32nD3331n3D2621n32nD1，6
将D12,D25,D310代入上式得：
611n3132n2
2.3特征值与特征向量在矩阵运算中的应用
设A为阶n方阵,如数与n维非零列向量x使关系式Axx成立,则称数为方阵A的特征值,x称为A的对应于的特征向量;fEA称为特征多项式,fEA0称为特征方程．（见参考文献[3][10]）
2.3.1特征值与特征向量的基本性质
性质1设A为n阶方阵,1,2,,n为A的n个特征值,则A12n．
性质2方阵A可逆A的n个特征值都不为零．
性质3设为方阵A的特征值,A为A的多项式,则为A的特征值．
性质4不为方阵A的特征值AE0．
性质5（凯莱—哈密顿定理）设n阶方阵A的特征多项式为fEA，则
fAAna1An1an1AanE0．
性质6设n阶方阵A的n个特征值为1,2,,n,且p1,p2,,pn为对应的n个线性
无关的特征向量,记Pp1,p2,,pn,则
性质7设A为n阶实对称阵,是它的n个特征值,则
（1）当且仅当1,2,,n都大于零时,A正定；
（2）当且仅当1,2,,n都小于零时,A负定；
（3）当且仅当1,2,,n都非负,但至少一个等于零时,A是半正定；
（4）当且仅当1,2,,n都非正,但至少一个等于零时,A是半负定；
（5）当且仅当1,2,,n中既有正数,有又负数时,A是不定的．
2.3.2性质的应用
（1）求方阵A的行列式A以及A的多项式A的行列式A．
例7已知三阶矩阵A的特征值为1,－1,2,设AA35A2,求:
①A;
②A;③A5E.
解①由性质1可得
A1122.
②因AA35A2,由性质3可知A的特征值为
14,16,21．
故
A11224.
③A的特征多项式为
fEA112
令5,得
f55EA51515272，
3
A5E15EA72.
（2）判断方阵A及AKE的可逆性.
3
1
0
A
4
1
0
4
8
2
问当k为何值时,AkE可逆.
解因
3
1
0
f
EA
4
1
0
4
82
故
12
2
3
1
为A的三个特征值,由性质4可知,
当k1,2时,
（3）求方阵A,A的逆阵A1
及A的k次幂
例9设
1
0
2
A
0
1
1
0
1
0
例8设
AkE可逆．
求①A3;②A1;③A5.
由性质5有
fAA32AE0,
104
3
A32AE032
021
②由f01,可知0不是A的特征值,由性质2知A可逆.而
A32AEA3A12AA1EA1A22EA1A12EA2,故
122
1
A1001.
011
③A32AEA5A23A2A52A2EA2A2A4E2故
126
5A5085.
053
（4）求方阵A的多项式A.
例10设
102A011,
010计算A2A83A5A4A24E.
解由于fEA321，而
2835424fq2423710，
显然
2A83A5A4A24fAqA24A237A10E.由性质5可知fA0，所以
3
48
26
A24A237A10E
0
95
61
.
0
61
34
（5）判断实对称阵的正定性.
例11设n阶实对称阵A正定,
则存在矩阵
B,使B2A,且B也是正定矩阵
证明因A为实对称阵,故存在正交矩阵P,使
则有
即B与对角阵2相似,相似矩阵的特征值相同,故1,,n为B的n个特征值,因
i0i1,2,,n,由性质7知B正定.
3小结本文利用特征值与特征向量的一些命题和性质来探讨特征值与特征向量在一些解题计算中的应用，充分应用命题和性质给我们的解题带来很大的方便.
致谢本文是在的指导和帮助下完成，在此向汪老师表示衷心的感谢
参考文献
[1]大学数学系几何与代数教研室前代数小组．高等代数（第三版）[M]．北京：
高等教育出版社，
2003．
[2]同济大学应用数学系.工程数学-线性代数（第4版）[M].北京:
高等教育出版社,2003.
[3]朱金寿,陈晓江,扬爱芳.线性代数[M].华中理工大学出版社1995.
[4]李淑花.关于一类线性代数习题的快速解法[J].高等数学研究.
[5]谢国瑞.线性代数及应用[M].北京:
高等教育出版社,1999.
[6]戴华.矩阵特征值反问题的若干进展[J].南京航空航天大学学报,1995.
[7]钱吉林.高等代数题解精粹[M].北京：
中央民族大学出版社.
[8]陈文灯,黄先开.理工类数学复习指南[M].北京:
世界图书出版公司北京公司,2003.
[9]朱凤娟．特征值与特征向量逆问题的研究[J]．滨州学院学报2007.6.
[10][英]S.巴比特.科技工作者用矩阵方法[M].北京：
化学工业出版社.1984.126-137.
[11]蓝以中.高等代数简明教程（上册）[M].北京大学出版社.
[12]tephenH.Friedbeng等.LinearAlgebra（4thEdition）[M].PrenticeHall/Pearson，1998.
[13]Verler.W.J.VectorsStructuresandSolutionsofl
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