二次函数压轴题分类精选矩形.docx

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二次函数压轴题分类精选矩形二次函数压轴题分类精选矩形1.如图，已知二次函数y=m2x2-2mx-3（m是常数，m0）的图象与x轴分别相交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C,对称轴为直线l.点C关于l的对称点为D,连接AD.点E为该函数图象上一点，AB平分/DAE

（1）线段AB的长为m求点E的坐标；（、中的结论均用含m的代数式表示）

（2）设M是该函数图象上一点，点N在l上.探索：

是否存在点M.使得以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形？

如果存在，求出点M坐标；如果不存在，说明理由.【分析】

（1）令y=0,求出抛物线与x轴的交点坐标；根据抛物线解析式确定出对称轴，和y轴交点坐标；

（2）先设出M点的坐标，分两种情况计算，利用矩形的对角线互相平分来确定出点M的坐标，再用勾股定理计算即可.【解答】解：

（1）令y=0,则（mx-3）（mx+1）=0,x=-或x,mm.A（一工0）,B（-,0）,midAB二，故答案为巴；m,二次函数y=m2x2-2mx-3,C（0,3）,对称轴l:

x,.D（2,-3）m.AB平分/DAE,点D关于x轴的对称点Q（一,3）在直线AE上,直线AE的解析式为y=mx+1,.点E是抛物线和直线AE的交点，E（&,5）.m

（2）设M（x,m2x2-2mx-3）,N（,a）.A（-L0）,E（25）.rnm以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形，以AE,MN为对角线时，AE,MN的中点重合,-+=x+,mmmx=2xIDM（二，-3）,皿vMA2+ME2=A,Q425_曰9/+64哆+25,mnim-m=-t-（舍）,或m=7j-M（4,-3）,以AN,ME为对角线时,AN,ME的中点重合,x=-IDM（-，21）,mAE2+AM2=ME2,2D,以AM,NE为对角线时,.AM,NE的中点重合，x+（-）-+-,inmm6x,IDM（,21）,mA片+EM2=AM2,即：

存在，M（4,3）或有121）.【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标，对称轴,勾股定理，矩形的性质，解本题的关键是用角平分线得到直线AB解析式.2.如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C,点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E.

（1）求直线AD的解析式；

（2）如图1,直线AD上方的抛物线上有一点F,过点F作FG，AD于点G,彳FH平行于x轴交直线AD于点H,求4FGH周长的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A,M,P,Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形.若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标.【分析】

（1）先求出C（0,3）,A（-1,0）,B（3,0）,再利用配方法得y=-（x-1）2+4,则抛物线对称轴为直线x=1,于是可确定D（2,3）,则可利用待定系数法求直线AD的解析式；

（2）由E（0,1）可判断OAE为等腰直角三角形，则/EAO=45,由于FH/OA,则可得到FGH为等腰直角三角形，过点F作FNx轴交AD于N,如图，则FNH为等腰直角三角形，所以GH=NG于是彳FGH周长等于FGN的周长，由于FG=GN=1TN,则4FGN周长=（1+6）FN,所以当FN最大时，zFGN周长的最大，设F（x,x2+2x+3）,贝UN（x,x+1）,贝UFN=-x2+2x+3-x-1,利用二次函数的最值问题可得当x=1时，FN有最大值,于是FGN周长的最大值为受警；（3）直线AM交y轴于R,M（1,4）,利用待定系数法求出直线AM的解析式为y=2x+2,则R（0,2）,然后分类讨论：

当AQ为矩形AMPQ的对角线，如图1,利用RtAAOKRtAPOA可计算出OP卷则P点坐标为（0,-接着利用平移可得到Q（2,5）,于是由点T和点Q关于AM所在直线对称，根据线段中点坐标公式易得T点坐标为（0,）;当AP为矩形APQM的对角线，反向延长QA交y轴11于S,如图2,同理可得S点坐标为（0,易得R点为AM的中点，则R点为PS的中点，所以PM=SA,P（0,Z）,加上PM=AQ,则AQ=AS于是可判断点Q关于AM的对称点为S,即T点坐标为（0,-1）.【解答】解：

（1）当x=0时，y=-x2+2x+3=3,贝UC（0,3）,当y=0时，一x2+2x+3=0,解得xi=-1,x2=3,贝UA（1,0）,B（3,0）,.y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4,抛物线对称轴为直线x=1,而点D和点C关于直线x=1对称，D（2,3）,设直线AD的解析式为y=kx+b,把A（-1,0）,D（2,3）分别代入得（-解得2k+b=3b=l直线AD的解析式为y=x+1;

（2）当x=0时，y=x+1=1,则E（0,1）,vOA=OE.OAE为等腰直角三角形，./EAO=45,vFH/OA,.FGH为等腰直角三角形，过点F作FNx轴交AD于N,如图，FNFH,.FNH为等腰直角三角形，而FGHN,GH=NG.FGH周长等于FGN的周长，FG=GN=二FN,2.FGN周长=（1+/2）FN,当FN最大时，FGN周长的最大，设F（x,-x2+2x+3）,则N（x,x+1）,.FN=-x2+2x+3-x-1=-（x-1-）2+1,当xg时，FN有最大值日，.FGN周长的最大值为（1或）x=,即4FGH周长的最大值为返；（3）直线AM交y轴于R,y=-x2+2x+3=（x1）2+4,贝UM（1,4）设直线AM的解析式为y=mx+n,把A（-1,0）、M（1,4）分别代入得1甲,解得上,nr+ii二4in2直线AM的解析式为y=2x+2,当x=0时，y=2x+2=2,则R（0,2）,当AQ为矩形APQM的对角线，如图1,/RAP=90,而AOPR,RttAAORRtAPOA,解得OP专，向右平移2个单位得到M（1,4）,向右平移2个单位得到Q（2,1）,AO:

OP=OROA,即1:

OP=2:

1,.P点坐标为（0,点A（-1,0）向上平移4个单位，点P（0,-）向上平移4个单位，点T和点Q关于AM所在直线对称，一.T点坐标为（0,当AP为矩形AMPQ的对角线，反向延长QA交y轴于S,如图2,同理可得S点坐标为（0,-1）.R点为AM的中点，.R点为PS的中点，.PM=SAP（0,卷），PM=AQ,AQ=AS点Q关于AM的对称点为S,即T点坐标为（0,-i-）.综上所述，点T的坐标为（0,卷）或（0,-L）.【点评】本题考查了二次函数的综合题：

熟练掌握二次函数的性质、二次函数与轴的交点问题和矩形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；灵活运用相似三角形的性质计算线段的长；记住坐标系中点平移的规律.3.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a4-2ax-3a（a0）与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l:

y=kx+b与y轴交于点C,与抛物线的另一个交点为D,且CD=4AC

（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k,b用含a的式子表示）；

（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若ACE的面积的最大值为总，求a的值；（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A,D,P,Q为顶点的四边形能否成为矩形？

若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由.备用图【分析】

（1）由抛物线y=a/-2ax-3a（a0）与x轴交于两点A、B,求得A点的坐标，作DF,x轴于F,根据平行线分线段成比例定理求得D的坐标，然后利用待定系数法法即可求得直线l的函数表达式.

（2）设点E（m,a（m+1）（m-3）,yAE=kix+bi,利用待定系数法确定yAE=a（m3）x+a（m3）,从而确定&ace=（m+1）a（m3）a匚（m三）2-a,上ZZo根据最值确定a的值即可；（3）分以AD为对角线、以AC为边，AP为对角线、以AC为边，AQ为对角线三种情况利用矩形的性质确定点P的坐标即可.【解答】解：

（1）令y=0,则ax2-2ax-3a=0,解得x1=-1,x2=3点A在点B的左侧,A（1,0）,如图1,作DF，x轴于F,DF/OC,1口OAACvCD=4AC.,.=4,OAACVOA=1,OF=42.D点的横坐标为4,代入y=aX2-2ax-3a得，y=5a,3D（4,5a）,把A、D坐标代入y=kx+b得

（2）如图1,过点E作ENy轴于点N设点E（m,a（m+1）（m3）,yAE=k1x+b1,解得:

CkpaGn-S:

yAE=a（m3）x+a（m3）,M（0,a（m3）.MC=a（m3）a,NE=m（m+1）a（m3）&ace=&acm+S1CEM=i-a（m-3）-a+y-a（m-3）-am有最大值一（3）令裳-2ax-3a=ax+a,即ax2-3ax-4a=0,解得Xi=-1,X2=4,D（4,5a）,y=a/-2ax-3a,抛物线的对称轴为x=1,设Pi（1,m）,若AD是矩形的一条边，由AQ/DP知Xd-Xp=xaXq,可知Q点横坐标为-4,将x=-4带入抛物线方程得Q（-4,21a）,m=yD+yQ=21a+5a=26a,贝UP（1,26a）,.四边形ADPQ为矩形,./ADP=90,.aD2+pd2=ap?

.AD2=4

（1）2+（5a）2=52+（5a）2,PD2=（1-4）2+（26a-5a）2=52+（5a）2,.4

（1）2+（5a）2+（1-4）2+（26a-5a）2=（-1-1）2+（26a）2,a2=7T,a0,.a=一P1（1,图2图3若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为（一，争），Q（2,-3a）,m=5a（3a）=8a,贝UP（1,8a）,.四边形ADPQ为矩形,./APD=90,AP2+PD2=AD2,AF2=1-

（1）2+（8a）2=22+（8a）2,PD2=（4-1）2+（8a-5a）2=32+（3a）2,AD2=4-

（1）2+（5a）2=52+（5a）2,22+（8a）2+32+（3a）2=52+（5a）2,解得a2,/a0,，a=-二，42P（1,-4）.综上可得，P点的坐标为P1（1,-4）,P2（1,-2誓）.图1【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及矩形的判定，根据平行线分线段成比例定理求得D的坐标是本题的关键.4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a4+bx+c（a0）与y轴交于点D,与抛物线交于点P,与直线BC交于点M,记m=-,试求m的最大值及此时点P的坐标；DM（3）在

（2）的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N,使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？

如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由.【分析】

（1）因为抛物线y=ax2+bx+c经过A（-2,0）、B（4,0）两点，所以可以假设y=a（x+2）（x-4）,求出点C坐标代入求出a即可；

（2）由ACMDsFMP,可得m=PM=PF,根据关于m关于x的二次函数，利用二DMDC次函数的性质即可解决问题；（3）存在这样的点Q、N,使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形.分两种情形分别求解即可：

当DP是矩形的边时，有两种情形；当DP是对角线时；【解答】解：

（1）因为抛物线y=ax2+bx+c经过A（-2,0）、B（4,0）两点，所以可以假设y=a（x+2）（x-4）,vOC=2OAOA=2,.C（0,4）,代入抛物线的解析式得到a=-

（2）如图1中，作Pnx轴于E,交BC于F.vCD/PE,.CMDsAFMP,.m叁里、直线y=kx+1（k0）与y轴交于点D,则D（0,1）,:

BC的解析式为y=-x+4,设P（n,-n2+n+4），贝UF（n,-n+4）,.PF=-Ln2+n+4-（-n+4）=（n-2）2+2,22.m=-=-工（n-2）2+-,CD63-Lo,6当n=2时，m有最大值，最大值为一，此时P（2,4）.3（3）存在这样的点Q、N,使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形.当DP是矩形的边时，有两种情形，有

（2）可知P（2,4）,代入y=kx+1中，得到.OD2=OE?

OQ9.1?

OQ,.OQ=1,Q（二，0）.根据矩形的性质，将点P向右平移!

个单位，向下平移1个单位得到点N,2.N（2+4,4-1）,即N（工，3）,Q（8,0）,根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N,N（0+6,1-4）,即N（6,-3）.当DP是对角线时，设Q（x,0）,则QD2=x2+1,QP2=（x-2）2+42,PD2=13,.Q是直角顶点,QD2+QP2=PD2,X2+1+（x-2）2+16=13,整理得x2-2x+4=0,方程无解，此种情形不存在，综上所述，满足条件的点N坐标为（不，3）或（6,-3）.【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、平行线的性质.相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.5.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=-x2+bx+c（c0）的顶点为D,与y轴的交点为C,过点C作CA/x轴交抛物线于点A,在AC延长线上取点B,使BCAC,连接OA,OB,BD和AD.

（1）若点A的坐标是（-4,4）.求b,c的值；试判断四边形AOBD的形状，并说明理由；请直接写出一个符

（2）是否存在这样的点A,使得四边形AOBD是矩形？

若存在,合条件的点A的坐标；若不存在，请说明理由.c的值；再根据勾股定理可【分析】

（1）将抛物线上的点的坐标代入抛物线即可求出b、求证AD=BO和AD/BO即可判定四边形为平行四边形；

（2）根据矩形的各角为90可以求得AB8zOBC即坦也LOBAB得OC=如C,AC=：

OC,可求得横坐标为-二c,纵坐标为c.【解答】解：

（1）:

AC/x轴，A点坐标为（-4,4）.点C的坐标是（0,4）把A、C两点的坐标代入y=-x2+bx+c得，f4=-L6-4b+c四边形AOBD是平行四边形；理由如下：

由得抛物线的解析式为y=-x2-4x+4,2.y=-（x+2）+8,顶点D的坐标为（-2,8）,过D点作D已AB于点E,贝UDE=OC=4AE=2,=AC=4BCAC=Z.AE=BC.AC/x轴,/AED之BCO=90,.AEgABCO.AD=BOZDAE=ZOBQ.AD/BO,四边形AOBD是平行四边形.

（2）存在，点A的坐标可以是（-2历，2）要使四边形AOBD是矩形；WJ需/AOB=ZBCO=90,vZABO=/OBC,.AB8AOBQ既一既一BOOBAB又.AB=A（+BC=3BC.OB=：

；BC,.在RtOBC中，根据勾股定理可得：

OC=：

BC,AC=：

OC,.一C点是抛物线与y轴交点，.OC=c；A点坐标为（V2c,c）,顶点D纵坐标是点A纵坐标的2倍，为2c,顶点D的坐标为（-c，2c）?

c+c,2解得：

c=2或者0,当c为0时四边形AOBD不是矩形，舍去，故c=2;.A点坐标为（-22,2）.【点评】本题主要考查了二次函数对称轴顶点坐标的公式，以及函数与坐标轴交点坐标的求解方法.