北师大版八年级上册数学第一章勾股定理全章知识点及习题.docx
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北师大版八年级上册数学第一章勾股定理全章知识点及习题
第一章勾股定理
知识点一：
勾股定理定义
画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，量AB的长；一个直角边为5和12的直角△ABC，量AB的长发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，对于任意的直角三角形也有这个性质吗？
直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。
（即：
a2+b2＝c2）1．如图，直角△ABC的主要性质是：
∠C=90°，（用几何语言表示）
⑴两锐角之间的关系：
；
⑵若D为斜边中点，则斜边中线；
⑶若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：
；（给出证明）
⑷三边之间的关系：
知识点二：
验证勾股定理
B、∠C的对边为
A、∠
例2。
求证：
证明：
已知：
在△ABC中，∠C=90°，∠
222a＋b=c。
知识点四：
勾股定理简单应用
在Rt△ABC中，∠C=90°
（1）已知：
a=6,b=8，求c
（2）已知：
b=5，c=13，求a
a、
b、
知识点五：
勾股定理逆定理
利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤：
①先找出最大边（如c）
②计算c2与a2b2，并验证是否相等。
222
若c2=a2b2，则△ABC是直角三角形。
222
若c2≠a2b2，则△ABC不是直角三角形。
1.
下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是Rt△的是（）
2.
知识点八：
逆定理判断垂直
1．在△ABC中，已知AB2－BC2＝CA2，则△ABC的形状是（）
A．锐角三角形；B．直角三角形；C．钝角三角形；D．无法确定．2．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是（）
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上答案都不对
知识点九：
勾股定理应用题
1.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：
有一个水池，水面是一个边长为
10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到
达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
2.如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要米.
3米
3.一根直立的桅杆原长25m，折断后，桅杆的顶部落在离底部的5m处，则桅杆断后两部分各是多长？
4.
1米，当他们把绳子的下端
某中学八年级学生想知道学校操场上旗杆的高度，他们发现旗杆上的绳子垂到地面还多拉开5米后，发现下端刚好触地面，你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？
综合练习一
、选择题
222
1、下面几组数:
①7,8,9;②12,9,15;③m2+n2,m2成直角三角形的三边长的是（）
2
–n2,2mn（m,n均为正整数,m
n）;④a2,a2
1,a2
2.其中能组
A.①②;B.①③;C.②③;D.③④2已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（
A.25
B.14
C.7
D.7或25
3.三角形的三边长为（ab）2c22ab,则这个三角形是（）
A.等边三角形;B.钝角三角形;C.直角三角形;D.锐角三角形
2
4.△ABC的三边为a、b、c且（a+b）（a-b）=c2，则（）
A.a边的对角是直角B.b边的对角是直角
C.c边的对角是直角D.是斜三角形
5.以下列各组中的三个数为边长的三角形是直角三角形的个数有（）①6、7、8，②8、15、17，③7、24、25，④12、35、37，⑤9、40、41A、1个B、2个C、3个D、4个
6.将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（）
A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不是直角三角形
二、填空题
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=；②若a=15，c=25，则b=；③若c=61，
b=60，则a=；④若a∶b=3∶4，c=10则SRt△ABC=
2.现有长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm的木棒，从中任取三根，能组成直角三角形，则其周长为cm．
3.勾股定理的作用是在直角三角形中，已知两边求；勾股定理的逆定理的作用是用来证明
2222
3.在△ABC中，BC=m-n，AC=2m，nAB=m+n（m>n）。
求证：
△ABC是直角三角形。
4.求斜边长17厘米，一条直角边长15厘米的直角三角形的面积．（画图求解）
5.已知一艘轮船以16km/h的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口，以12km/h的速度向东南方
6.
12米处，旗杆折断之前有多高？
向航行，它们离开港口一个半小时相距多少千米？
（画图求解）
7.
4．斜边的边长为17cm，一条直角边长为8cm的直角三角形的面积是．
5．假如有一个三角形是直角三角形，那么三边a、b、c之间应满足，其中边是直角所对的边；如果一
个三角形的三边a、b、c满足a2c2b2，那么这个三角形是三角形，其中b边是边，b边所对的角
是．
6．一个三角形三边之比是10:
8:
6，则按角分类它是三角形．B
7．如图，已知ABC中，C90，BA15，AC12，以直角边BC为直径作
半圆，则这个半圆的面积是．
2
8．一长方形的一边长为3cm，面积为12cm2，那么它的一条对角线长是．
二、综合发展:
1．如图，一个高4m、宽3m的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长．
2.一个三角形三条边的长分别为15cm，20cm，25cm，这个三角形最长边上的高是多少？
3．已知：
将正长方形纸片ABCD折叠两次，第一次折痕为AC，第二次折痕为AE，且点D落在F处.若长方形长为4，宽为3，求DE.
4．已知：
如图，△ABC中，∠C＝90o，AD是角平分线，CD＝15，BD＝25．求AC的长．
分类讨论思想
1．在Rt△ABC中，已知两边长为3、4，则第三边的长为
2．在Rt△ABC中，已知两边长为5、12，则第三边的长为
3．等腰三角形的两边长为10和12，则周长为，底边上的高是，面积是
4.一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法正确的是（）
A.第三边一定为10B.三角形的周长为25C.三角形的面积为48D.第三边可能为10确定三角形形状
1．已知a、b、c是△ABC的三边，且ac2－b2c2＝a4－b4，试判断三角形的形状．
2
2.
在△ABC中，BC=1997，AC=1998，AB2=1997+1998，则△ABC是否为直角三角形？
为什么？
3.若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，则△ABC为三角形（填锐角、直角或钝角）
4.已知三角形的三边分别是n-2，n，n+2，当n是多少时，三角形是一个直角三角形？
最短距离问题
1.如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管
的费用最节省，并求出总费用是多少？
B
3.
如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是
4.如图，在直角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则
BM+MN的最小值是（）
5.如图，在正方形ABCD的边AB上连接等腰直角三角形，然后在等腰直角三角形的直角边上连接正方形，无限重复上述过程，如果第一个正方形ABCD的边长为1，那么第n个正方形的面积为
综合练习三
一、选择题
1.直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为（）.（A）30（B）28（C）56（D）不能确定2.直角三角形的斜边比一直角边长2cm，另一直角边长为6cm，则它的斜边长
D）64
4.等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为（）（A）13（B）8（C）25
5.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（
6.
二、填空题
11.如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要米.
12.在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则AB2AC2BC2=.
13.直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为.
14.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4.以斜边AB为直径作半圆，则这个半圆的面积是
的顶端，小鸟至少要飞米.
16.如图，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分线交BC于D若BC=8，AD=5，则AC等于
17.如图，四边形ABCD是正方形，AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，阴影部分的面积是
单位），另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺.每棵树的树顶上都停着一只鸟.忽然，两只鸟同时
的树跟有多远？
20.如图，已知一等腰三角形的周长是16，底边上的高是4.求这个三角形各边的长
22.如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。
23.如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶
端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？
7.在Rt△ABC中，有一边是2，另一边是3，则第三边的平方是。
8.在△ABC中，AC=17cm，BC=10cm，AB=9cm，这是一个三角形（按角分）。
9.已知一个三角形的三边长分别是12cm，16cm，20cm，则这个三角形的面积为三、简答题
1.判断正误，并指出为什么？
（1）△ABC的两边为3和4，求第三边解：
由于三角形的两边为3和4，所以它的第三边c为5。
（2）若已知△ABC为直角三角形，则第三边为5
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