于是sinC=sin90=1．
12．若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧，
且与直线x+y=0相切，则圆O的方程是．
12．（x+2）2+y2=2．【解析】设圆心为（a,0）（a<0），
|a+2⨯0|
则r==，解得a=-2．
13．某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中n位
居民的月均用水量分别为x1,x2,,xn
（单位：
吨）．根
据图2所示的程序框图，若n=2，且x1，x2分别为1，2，则输出的结果s为．
1
13．．
4
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图3，AB,CD是半径为a的
2a
圆O的两条弦，他们相交于AB的中点P，PD，
3
∠OAP=30︒，则CP＝．
14．9a．【解析】因为点P是AB的中点，由垂径定理知，OP⊥AB.B
8图3
在Rt∆OPA中，BP=AP=acos30=3a.
2
由相交弦定理知，BP⋅AP=CP⋅DP，A
即a⋅
a=CP⋅2
a，所以CP=
OD
9a．
2238P
C
B
15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρ=2sinθ与
ρcosθ=-1的交点的极坐标为．
15．（2,
3π
）．【解法1】两条曲线的普通方程分别为x
4
2+y2
⎧x=-1,
⎩
=2y,x=-1．解得⎨y=1.
⎧x=ρcosθ,3π
⎩
由⎨y=ρsinθ得点（-1,1）的极坐标为（2,4）．
⎧ρ=2sinθ1
⎩
【解法2】由⎨ρcosθ=-1得sin2θ=-2，Q0≤θ＜2π
∴0≤2θ＜4π，
3π3π3π7π3π
∴2θ=或2θ=+2π，∴θ=或（舍），从而ρ=，交点坐标为（2,）。
22444
三、解答题：
本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分l4分）
π
已知函数f（x）=Asin（3x+ϕ）（A>0,x∈（-∞,+∞）,0<ϕ<π）在x=时取得最大值4。
12
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的解析式；
（3）若f（
2α+π）=，求sinα。
3125
sin（2α+π=3，cos2α=3，1-2sin2α=3，sin2α=1，sinα=±．
255555
17．（本小题满分12分）
某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：
克），重量的分组区间为
（490,495]，（495,500]，……，（510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示。
（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量。
（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列。
（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超
过505克的概率。
17．
（1）重量超过505克的产品数量是
40⨯（0.05⨯5+0.01⨯5）=12件；
（2）Y的所有可能取值为0，1，2；
C263
C1C156
C211
P（Y=0）=28=，P（Y=1）=1228=，P（Y=1）=12=，
2130
2130
2130
Y的分布列为
（3）（别解）从流水线上任取5件产品，恰有2件产品的重量超过505克的概率为
2312⨯11⨯28⨯27⨯26
C12C28=2⨯13⨯2⨯1=
21⨯11=231。
C540⨯39⨯38⨯37⨯3637⨯19703
40
5⨯4⨯3⨯2⨯1
18．（本小题满分14分）如图
是半径为a的半圆，AC为直径，点E
的中点，点B
和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FB=FD=
（1）证明：
EB⊥FD；
5a，EF=
6a。
（2已知点Q,R为线段FE,FB上的点，FQ=
2
2FE，
3
FR=
FB，求平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值。
3
18．
（1）证明：
连结CF，因为
是半径为a的半圆，AC为直径，点E
的中点，所以EB⊥AC。
在RT∆BCE中，EC=
BC2+BE2=
=2a。
在∆BDF中，BF=DF=
CF⊥BD。
5a，∆BDF为等腰三角形，且点C是底边BD的中点，故
在∆CEF中，CE2+CF2=（2a）2+（2a）2=6a2=EF2，所以∆CEF为Rt∆，且
CF⊥EC。
因为CF⊥BD，CF⊥EC，且CEIBD=C，所以CF⊥平面BED，而EB⊂平面BED，∴CF⊥EB。
因为EB⊥AC，EB⊥CF，且ACICF=C，所以EB⊥
平面BDF，
而FD⊂平面BDF，∴EB⊥FD。
（2）设平面BED与平面RQD的交线为DG.
由FQ=
2FE，FR=
3
2FB，知QR//EB.
3
而EB⊂平面BDE，∴QR//平面BDE，而平面BDEI平面RQD=DG，
∴QR//DG//EB.
由
（1）知，BE⊥平面BDF，∴DG⊥平面BDF，而DR,DB⊂平面BDF，∴DG⊥DR，DG⊥DQ，
∴∠RDB是平面BED与平面RQD所成二面角的平面角．
在Rt∆BCF中，CF===2a，
sin∠RBD=FC=
BF
2a=
5a
2
2，cos∠RBD=
1
=1．
在∆BDR中，由FR=
由余弦定理得，RD=
=
FB知，BR=
3
FB=，
33
5a
=29a
3
29a
由正弦定理得，
BR
sin∠RDB
RD
sin∠RBD
，即3=3，
sin∠RDB2
5
sin∠RDB=。
29
故平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值为。
29
19.（本小题满分12分）某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。
已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C。
另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C。
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?
19．解：
设为该儿童分别预订x,y个单位的午餐和晚餐，共花费z元，则z=2.5x+4y，且满足以下条件
⎧12x+8y≥64
⎪6x+6y≥42
⎪6x+10y≥54
⎪⎩x,y≥0
⎧3x+2y≥16
⎪x+y≥7
即
⎪3x+5y≥27
⎪⎩x,y≥0
3x+2y=y1x+y=7
3x+5y=27
作直线l:
2.5x+4y=0，平移直线l至l0，A
当l0经过C点时，可使z达到最小值。
⎧3x+5y=27
由⎨x+y=7
⇒⎧x=4
⎩
即C（4,3），
2.5x+4y=0BCx
O
此时z=2.5⨯4+4⨯3=22，
答:
午餐和晚餐分别预定4个单位和3个单位，花费最少z=22元。
x
20.（本小题满分14分）已知双曲线
-
y2=1的左、右顶点分别为A,A，点P（x,y），Q（x,-y）
2
是双曲线上不同的两个动点。
121111
（1）求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；
（2若过点H（0,h）（h>1）的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1⊥l2，求h的值。
20．
（1）解：
由A1,A2为双曲线的左右顶点知，A1（-
2,0）,
A2（2,0）,
1
AP:
y=y1（x+
2），AQ:
y=-y1（x-
2）
，两式相乘y2
-
y2
1
=1（x2
-2），
x1+
x1-
2
x22
y21
x2-2
1
1
因为点P（x,y）在双曲线上，所以1-y
=1，即1=
，故y2=-
（x2-2），
11
x2+2
21x2-222
x22
所以y
2
=1，即直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程为2+y
1
=1.且
（2）解法1：
设l1:
y=kx+h，则由l1⊥l2知，l2:
y=-kx+h。
x22
将l1:
y=kx+h代入2+y
x22
=1得
222
+
（kx+h）
2
=1，即（1+2k）x
+
4khx+2h
-2=0，
1
由l与E只有一个交点知，∆=16k2h2-4（1+2k2）（2h2-2）=0，即1+2k2=h2。
同理，由l2与E只有一个交点知，1+2⋅k2
=h2，消去h2得1
k2
=k2，即k2=1，
解法2：
由题意知直线l1和l2都是椭圆E的切线，由对称性知，两直线的倾斜角分别为45︒和
135︒，设其方程为y=±x+h，代入椭圆E的方程
x2+2
2
=1得
x2+
2
（±x+h）2
=1，即3x
2±4hx+2h2
-2=0
由∆=0得16h2-4⨯3⨯（2h2-2）=0，即h2=3，
Qh>1，∴h=3.
21.（本小题满分14分）
设A（x1,y1），B（x2,y2）是平面直角坐标系xOy上的两点，现定义由点A到点B的一种折线距离ρ（A,B）为ρ（A,B）=|x2-x1|+|y2-y1|.
对于平面xOy上给定的不同的两点A（x1,y1），B（x2,y2）,
（1）若点C（x,y）是平面xOy上的点，试证明ρ（A,C）+ρ（C,B）≥ρ（A,B）;
（2）在平面xOy上是否存在点C（x,y），同时满足
①ρ（A,C）+ρ（C,B）=ρ（A,B）②ρ（A,C）=ρ（C,B）
若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明．21．
（1）证明：
由绝对值不等式知，
ρ（A,C）+ρ（C,B）=|x-x1|+|x2-x|+|y-y1|+|y2-y
≥|（x-x1）+（x2-x）|+|（y-y1）+（y2-y）|
=|x2-x1|+|y2-y1|
=ρ（A,B）
当且仅当（x-x1）⋅（x2-x）≥0且（y-y1）⋅（y2-y）≥0时等号成立。
（2）解：
由ρ（A,C）+ρ（C,B）=ρ（A,B）得
（x-x1）⋅（x2-x）≥0且（y-y1）⋅（y2-y）≥0
（Ⅰ）
由ρ（A,C）=ρ（C,B）得
|x-x1|+|y-y1|=|x2-x|+|y2-y|
（Ⅱ）
因为A（x1,y1），B（x2,y2）是不同的两点，则：
1︒若x1=x2且y1≠y2，不妨设y1由（Ⅰ）得由（Ⅱ）得
x=x1=x2且y1≤y≤y2，
y=y1+y2，
2
此时，点C是线段AB的中点，即只有点C（x1+x2,y1+y2）满足条件；
22
2︒若x≠x且y=y，同理可得：
只有AB的中点C（x1+x2,y1+y2）满足条件；
121222
3︒若x1≠x2且y1≠y2，不妨设x1由（Ⅱ）得x+y=x1+x2+y1+y2，
22
此时，所有符合条件的点C的轨迹是一条线段，即：
过AB的中点（x1+x2,y1+y2），斜
22
率为-1的直线x+y=x1+x2+y1+y2夹在矩形AABB之间的部分，其中A（x,y），
221111
A1（x2,y1），B（x2,y2），B1（x1,y2）。
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