美国数学竞赛AMC8真题解析英文解析+中文解析.docx
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美国数学竞赛AMC8真题解析英文解析+中文解析
美国数学竞赛AMC8–2008年真题解析（英文解析+中文解析）
Problem1
Answer:
B
Solution:
50-12-24=14
中文解析：
总共花的钱是：
12+12*2=36元。
剩余50-36=14元。
答案是B
Problem2
Answer:
A
Solution:
Wecanderivethatc=8,L=6,U=7,andE=1.Therefore,theansweris8671.
中文解析：
这10个字母的对应关系是：
B-0；E-1;S-2;......K-9.按照这个对应关系：
C-8，L-6，U-7，E-1.即8671.答案是A。
Problem3
Answer:
A
Solution:
Wecangobackwardsbydays,butwecanalsobackwardsbyweeks.Ifwegobackwardsbyweeks,weseethatFebruary6isaFriday.Ifwenowgobackwardsbydays,February1isaSunday.
中文解析：
13日是周五，则13-7=6，即6日也是周五，则倒推2月1日是周日。
答案是A。
Problem4
Answer:
C
Solution:
Theareaoutsidethesmalltrianglebutinsidethelargetriangleis16-1=15.Thisisequallydistributedbetweenthethreetrapezoids.Eachtrapezoidhasanareaof15/3=5.
中文解析：
大三角形的面积等于小的等边三角形的面积加上3个梯形的面积。
据此，三个梯形的面积是16-1=15.每个梯形的面积是15/3=5.答案是C。
Problem5
Answer:
E
Solution:
Barneytravels1661-1441=220milesin4+6=10hoursforanaverageof220/10=22milesperhour.
中文解析：
行驶的里程是：
1661-1441=220.时间是4+6=10小时。
平均速度是220/10=22.答案是E。
Problem6
Answer:
D
Solution:
Dividingthegraysquareintofoursmallersquares,thereare6graytilesand10whitetiles,givingaratioof3:
5.
中文解析：
灰色的方块是6个，白色的方块是（4*4）-6=10个。
因此比值是：
6：
10=3：
5.答案是D。
Problem7
Answer:
E
Solution:
Separateintotwoequations3/5=M/45,3/5=60/N，andsolvefortheunknowns.M=27,N=100,thereforeM+N=127.
中文解析：
M/45=3/5,因此M=27.3/5=60/N；因此N=100.M+N=27+100=127.答案是E。
Problem8
Answer:
D
Solution:
Thereareatotalof100+60+40+120=320dollarsofsalesspreadthrough4months,foranaverageof320/4=80.
中文解析：
这四个月的数据分别是：
100，60，40，120.平均值是（100+60+40+120）/4=80.答案是D。
Problem9
Answer:
D
Solution:
Afterthe15%loss,Tammyhas100*0.85=85dollars.Afterthe20%gain,shehas85*1.2=102dollars.Thisisanincreasein2dollarsfromheroriginal100dollars,a2%gain.
中文解析：
第一年后的金额是：
100*0.85，即85.第二年后的金额是：
85*1.2=102。
这两年收益2%。
答案是D。
Problem10
Answer:
D
Solution:
Thetotalofalltheiragesoverthenumberofpeopleis（6*40+4*25）/（6+4）=34.
中文解析：
A房间的总年龄数是：
40*6；B房间的总年龄数是25*4.这两个房间合一起后，总年龄数是40*6+25*4=340.总人数是10人。
因此平均年龄是340/10=34.答案是D。
Problem11
Answer:
A
Solution:
Theunionoftwosetsisequaltothesumofeachsetminustheirintersection.Thenumberofstudentsthathavebothadogandacatis20+26-39=7.
中文解析：
画VennDiagram。
20个学生有狗，26个学生有猫，总人数是39人。
既有猫又有狗的人数是：
20+26-39=7人。
答案是A.
Problem12
Answer:
C
Solution:
Eachbounceis2/3timestheheightofthepreviousbounce.Thefirstbouncereaches2meters,thesecond4/3,thethird8/9,thefourth16/27,andthefifth32/81.Halfof81is40.5,sotheballdoesnotreachtherequiredheightonbounce5.
中文解析：
这是一个等比数列（GeometricSequence）：
2，4/3，8/9，16/27，32/81.其中32/81已经比0.5小。
是第5次。
答案是C。
Problem13
Answer:
C
Solution:
Eachboxisweighedtwiceduringthis,sothecombinedweightofthethreeboxesishalftheweightoftheseseparatemeasures.
中文解析：
两个箱子组合一起的重量分别是：
122，125，127.则这三个数字的和是这三个箱子的总重量的2倍。
因此这三个箱子的总重量是187.
Problem14
Answer:
C
Solution:
Thereare2waystoplacetheBinfirstrow.Accordingly,thereare2waystoplacetheBinsecondroweach.TheremainingA,BorCnomorechoice.Totally2*2=4.
中文解析：
第一行的B有个位置可选择，分别对应的第二行的B有两个位置可选择，共4种选择。
当第二行的B也选好位置后，剩下的位置就没有别的选择机会了。
Problem15
Answer:
B
Solution:
Thetotalnumberofpointsfromthefirst8gamesis37.Wehavetomakethisamultipleof9byscoringlessthan10points.Theclosestmultipleof9is45.45-37=8,nowwehavetoaddanumbertogetamultipleof10.Thenextmultipleis50weadded5,multiplyingthesetogetheryouget8*5is40.Theansweris40.
中文解析：
前八次比赛的分数综合是37.假设第九次的分数是x,（x<10），且前9次的平均值是个整数,则37+x是9的倍数，x只能是8.这样前9次的总分是45分。
同样道理，假设第10次的分数是y,则45+y必须是10的倍数，且y<10,y只能是5.因此第9次和第10次的分数乘积是8*5=40.答案是B。
Problem16
Answer:
D
Solution:
Thevolumeisofsevenunitcubeswhichis7.Thesurfaceareaisthesameforeachoftheprotrudingcubeswhichis5*6=30.Theratioofthevolumetothesurfaceareais7:
30.
中文解析：
这个形状是由7个单位体积的小正方体组成，因此体积是7.每个小正方体的表面积都是6，7个小正方体的表面积和是6*7=42.其中看不到的面有12个。
因此这个形状的表面积是42-12=30个。
体积与表面积的比值是：
7：
30.答案是D。
Problem17
Answer:
D
Solution:
Arectangle'sareaismaximizedwhenitslengthandwidthareequivalent,orthetwosidelengthsareclosesttogetherinthiscasewithintegerlengths.Thisoccurswiththesides12*13=156.Likewise,theareaissmallestwhenthesidelengthshavethegreatestdifference,whichis1*24=24.Thedifferenceinareais156-24=132.
中文解析：
长方形的面积最大是当长和宽的长度尽量相近时，由于长方形的周长是50，相邻两条边的和是25，则当一条边是12，另一条边是13时，面积最大，是12*13=156.长方形的面积最小是当长方形的长和宽相差最大时，即一条边是24，另一条边是1时，此时的面积24*1=24.两种情况下的面积差是156-24=132.答案是D。
Problem18
Answer:
E
Solution:
Wewilldealwiththispartbypart:
Part1:
1/4circumferenceofbigcircle=1/4*（2*Pi*20）=10Pi;Part2:
Bigradiusminussmallradius=20-10=10;Part3:
1/4circumferenceofsmallcircle=1/4*（2*Pi*10）=5Pi;Part4:
Diameterofsmallcircle:
2*10=20;Part5:
Sameaspart3:
5Pi;Part6:
Sameaspart2:
10;Total:
10Pi+10+5Pi+20+5Pi+10=20Pi+40.
中文解析：
大圆的1/4弧长是：
Pi*2*20/4=10Pi.小圆的1/4弧长是Pi*2*10/4=5Pi.按照题目箭头所示路径的长度从A到K，分别是:
10Pi,10,5Pi,20,5Pi,10.总和是40+20Pi.答案是E。
Problem19
Answer:
B
Solution:
Arbitrarilypickapointinthegrid.Clearly,weseetwooptionsfortheotherpointtobeplaced,sotheansweris2/7.
中文解析：
任意一个点，有7个点可以连接成一个线段。
其中，在1个单位距离内的，只有相邻的有2个点。
因此本题所求的概率是2/7.答案是B。
Problem20
Answer:
B
Solution:
Letbbethenumberofboysandgbethenumberofgirls.2/3*b=3/4*g;=>b=9/8*g;Forgandbtobeintegers,hesmallestpossiblevalueofgis8.Thisyields9boys.Theminimumnumberofstudentsis8+9=17.
中文解析：
2/3的男生的人数等于3/4的女生人数。
假设男生有b人，女生有g人，得：
2/3*b=3/4*g.上式两边等乘以12，得到：
8*b=9*g。
由于男生和女生的人数都必须是正整数，因此最小b=9,g=8.班上总人数是9+8=17人。
答案是B。
Problem21
Answer:
C
Solution:
Thesliceiscuttingthecylinderintotwoequalwedgeswithequalarea.Thecylinder'svolumeisPi*4*4*6=96PI,.Theareaofthewedgeishalfthiswhichis48Pi,151istheclosest.
中文解析：
这个圆柱的体积是Pi*4*4*6=96Pi.分成的这两个wedge体积相等，因此一个的体积是96Pi/2=48Pi,即151，答案是C。
Problem22
Answer:
A
Solution:
Ifn/3isathreedigitwholenumber,nmustbedivisibleby3andbe>=100*3=300..If3nisthreedigits,nmustbe<=999/3=333.Soitmustbedivisiblebythreeandbetween300and333.Thereare12suchnumbers,whichyoucanfindbydirectcounting.
中文解析：
n/3是3位的正整数，则n可以是：
100*3,101*3,102*3,......999*3.这些书都是3的倍数。
3n是3位的正整数，则n可以是：
34，35，36,...333.两者都满足要求的n是300到333之间的3的倍数，即：
300，303，309，312，。
。
。
333.即：
100*3，101*3，102*3，103*3，......111*3.共计：
111-100+1=12个。
答案是A。
Problem23
Answer:
C
Solution:
TheareaoftriangleBFDistheareaofsquareABCDsubtractedbytheareaofthethreetrianglesaroundit.Arbitrarilyassignthesidelengthofthesquaretobe3.TheratiooftheareaoftriangleBFDtotheareaofABCDis（3*3-1/2*3*2-1/2*3*2-1/2*1*1）/3*3=2.5/9=5/18.
中文解析：
假设这个正方形的边长是3，则AF=2，EF=1，CD=2，DE=1.三角形ABF的面积是1/2*3*2=3.三角形BCD的面积和ABF相同。
三角形EDF的面积是：
1/2*1*1=0.5.三角形BFD的面积是正方形的面积减去三角形ABF，减去三角形BCD，减去三角形EDF的面积，即：
3*3-3-3-0.5=2.5.其和正方形的面积的比值是：
2.5/9.即5/18.答案是C。
Problem24
Answer:
C
Solution:
Thenumberscanatmostmultiplytobe60.Thesquareslessthan60are1,4,9,16,25,36,and49.Thepossiblepairsare（1,1），（1，4），（2，2），（4，1），（3，3，）（9，1），（4，4），（8，2），（5，5）,（6,6）,and（9,4）.Thereare11choicesand60possibilitiesgivingaprobabilityof11/60.
中文解析：
Tile的编号是1，2，...10.色子的编号是：
1，2，...6.Tile和Die共可以组成10*6=60组。
其乘积最大值是60.小于等于60的平方数有：
1，4，9，16，25，36，49.Tile和die的数字相乘，乘积是平方数的数对分别是：
（1，1），（1，4），（4，1），（2，2），（3，3），（9，1），（8，2），（4，4），（5，5），（9，4），（6，6）.即有11对。
占比：
11/60.答案是C。
Problem25
Answer:
A
Solution:
Circle1（black）:
radius:
2,area:
4Pi;
Circle2（white）：
radius:
4，area：
16Pi；
Circle3（black）:
radius:
6,area:
36Pi;
Circle4（white）：
radius:
8，area：
64Pi；
Circle5（black）:
radius:
10,area:
100Pi;
Circle6（white）：
radius:
12，area：
144Pi；
Theentirecircle'sareais144Pi.Theareaoftheblackregionsis（100-64）PI+（36-16）Pi+4Pi=60Pi.Thepercentageofthedesignthatisblackis60Pi/144Pi=5/12=42.
中文解析：
从小到大的圆形（包括黑色和白色）的半径分别是：
2，4，6，8，10，12.从小到大的圆形（包括黑色和白色）的面积分别是:
4Pi,16Pi,36Pi,64Pi,100Pi,144Pi.最小的黑色圆形的面积是4Pi，其次的圆形部分的面积是36Pi-16Pi=20Pi,最大的黑色部分的面积是100Pi-64Pi=36Pi.3个黑色部分的面积之和是：
4Pi+20Pi+36Pi=60Pi.整个图形的面积是144Pi。
黑色部分所占的比例是60/144=42%.答案是A。
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