初中数学几何辅助线做法.docx

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初中数学几何辅助线做法

添辅助线有二种情况：

（1）按定义添辅助线：

如证明二直线垂直可延长使它们相交后证交角为90°，

证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍，

证角的倍半关系也可类似添辅助线

（2）按基本图形添辅助线：

每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！

这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。

举例如下：

平行线是个基本图形：

当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线

等腰三角形是个简单的基本图形：

当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。

出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。

等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：

出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；

出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。

直角三角形斜边上中线基本图形

出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线

出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。

三角形中位线基本图形

几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形

当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形。

当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。

全等三角形：

全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等

如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：

或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。

当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线

相似三角形：

相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线型，旋转型

当出现相比线段重叠在一直线上时（中点可看成比为1）可添加平行线得平行线型相似三角形。

若平行线过端点添则可以分点或另一端点的线段为平行方向，这类题目中往往有多种浅线方法。

特殊角直角三角形

当出现30，45，60，135，150度特殊角时可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三边比为1：

1：

√2；30度角直角三角形三边比为1：

2：

√3进行证明

半圆上的圆周角

出现直径与半圆上的点，添90度的圆周角

出现90度的圆周角则添它所对弦---直径

平面几何中总共只有二十多个基本图形就像房子不外有一砧，瓦，水泥，石灰，木等组成一样

下面提供三角形中位线基本图形的几种添线图形（色线为辅助线）补充几句：

我认为添辅助线是有规律的！

如西瓦定理结论很复杂，但出现了相比线段重叠在一直线上的特征，而这正是平行线形相似三角形的性质！

因此我们可根据平行线形相似三角形进行补图：

添平行线得平行线型相似三角形进行证明。

又如几何问题中出现多个中点时可添加面积等分线或补完整三角形中位线基本图形进行证明（如证顺次连结任意四边形各边中点的四边形为平行四边形）；出现线段倍半关系除根据定义加倍取半外（也是规律么）还有下面几种情形：

若倍线段是直角三角形斜边则必须添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上的中线的基本图形；但若与倍线段有公共端点的某线段带一个中点或半线段的端点是另一线段的中点则必添加三角形中位线基本图形无疑！

平面几何需要感觉需要联系

一般来说有以下几种1高线（垂线）2角平分线3中线4对称（不常用）

园内1圆心与弦的中点连线2切线3角平分线

    不少初中生感到平面几何比较难学，特别是遇到需要添加辅助线的习题，有时会感到无从下手。

在此，对初中几何中添加辅助线的思路从以下几个方面进行了总结，希望能帮助参加中考的学生有效复习备考。

　　揭示图形中隐含的性质（扩大原题的“已知”）

　　当题目的题设和结论之间的逻辑关系不太明朗、甚至“彼此孤立”时，可以通过添加适当的辅助线，把题设条件中隐含的有关性质充分显现出来，扩大了已知条件，从而有利于迅速找到题目的最近切入口，进而推导出题目的结论。

　　【例题1】如图1，D是⊿ABC的边AC的中点，延长BC到点E，使CE=BC，ED的延长线交AB于点F，求ED∶EF

　　分析：

思路一：

过C作AB的平行线交DE于G，由D是AC的中点可得FD=DG，由CE=BC可得FG=GE，从而得ED∶EF=3∶4

　　思路二：

过D作BE的平行线交AB于I，类似法一得ID∶BC=1∶2，ID∶BE=1∶4，从而得ED∶EF=3∶4

　　思路三：

过D作AB的平行线交BE于H，易得BH=HC=1/4BE，得ED∶EF=3∶4

　　说明：

本题三种思路所添加的三条平行线，均是为了充分利用“D是⊿ABC的边AC的中点”这一条件，使本来感觉比较薄弱的一个条件，在平行线的作用下变得内涵丰富，既有另外一边的中点出现，又可以利用三角形的中位线定理，这样使用起来就更加得心应手。

　　构造图形，补题设（已知）的不足有时必须添加一些图形，使题设条件能充分显示出来，从而为定理的应用创造条件，或者使不能直接证得的结论转化为与它等价的另一个结论，便于思考与证明。

　　【例题2】已知：

O是正方形ABCD内一点，∠OBC=∠OCB=15°求证：

⊿AOB是等边三角形

　　分析：

（如图2）构建三角形OMC。

使DH⊥OC于H，则∠2=15°作∠DCM=15°则⊿DMC≌⊿BOC且∠MCO=60°DM=MC=OC=OM

　　∴∠DMO=360°-60°-150°=150°

　　∴∠1=∠MOD=15°

　　从而有∠DOC=∠DCO=75°，DO=DC=AD=AB=AO

　　说明：

本题就是利用辅助线构造出一个和要证明的结论类似的等边三角形，然后借助构造出的图形解答题目。

　　把分散的几何元素聚集起来

　　有些几何题，条件与结论比较分散。

通过添加适当的辅助线，将图形中分散、“远离”了的元素聚集到有关的图形上，使他们相对集中、便于比较、建立关系，从而找出问题的解决途径。

　　【例题3】如图8,△ABC中，∠B=2∠C，且∠A的平分线为AD，问AB与BD的和等于AC吗?

　　思路一：

如图9，在长线段AC上截取AE=AB，由△ABD≌△AED推出BD=DE，从而只需证EC=DE.

　　思路二：

如图10，延长短线段AB至点E,使AE=AC，因而只需证BE=BD,由△AED≌△ACD及∠B=2∠C，可证∠E=∠BDE，从而有BE=BD.

　　思路三：

如图10，延长AB至E，使BE=BD，连接ED，由∠ABD=2∠C，∠ABD=2∠E，可证△AED≌△ACD，可得AE=AC,即AC=AB+BD.

　　说明：

这道例题就是利用辅助线，把本来不在一条直线的线段AB与BD聚集到一条直线上来，这样就可以轻松得到AB+BD或者AC——AB,然后题目就迎刃而解了。

参考资料：

浅谈基本图形在初中几何教学中的重要应用

时间：

2009-11-01  来源：

阳光学习网  作者：

蔡荣

[摘要] 基本图形在初中平面几何教学中有着重要的地位.基本图形的应用贯穿于初中平面几何教学的各个部分，基本图形是平面几何教与学的捷径.

基本图形与平面几何性质相结合，形成基本图形库，以此来解平面几何问题常起到化繁为简，以少总多的妙用.因此，基本图形的认识、储备、运用在初中平面几何课程中就显得十分重要和必需.

[关键词]基本图形 几何性质 储备 化归

前言：

平面几何是一门研究平面内几何图形性质的基础学科.古希腊人认为学习几何是训练思维的最好方式.在现代，几何更成了理工科类的基础学科之一.对于初学几何的学生而言，千变万化的几何图形深深的吸引着他们.学生们大都认为几何比代数更具体、更形象，有一种直观的美感.但是，经过一段时间的学习后，随着学习的深入，难度的加大.学生中就出现的这样的声音：

“明明定理证明都看懂了，也记住了，可一拿到题目就常常傻眼了”，“简单的题目不用分析，复杂的题目不会分析”.对于这种现象，我认为尽管书中的定理有证明，例题有过程，但由于教材内容及编排的限制，无法就怎样详细地、有层次地讲分析问题；按部就班地安排训练等问题进行系统的阐述.从而缺少了对学生解题思路的基本训练.使得学生对问题的分析能力根本无法提高，学习几何当然就存在困难.对于一个教师来说应该如何来解决这个让学生头痛的问题，从而让学生的几何学习能有一个比较好的方式方法呢？

下面就针对这种问题来谈谈自己在研究几何教学方面的一些肤浅认识.

一、熟悉性质，解析图形

平面几何主要是应用推理论证的方法，研究平面几何图形的形状、大小、位置关系等方面性质.比如要判断两个三角形相似，单凭观察是不行的，靠度量也是不行的，必须用推理论证的方法来研究平面图形的性质，这样才能得出科学的结论.这就需要学生学会从题设出发，根据已经学过的定义、公理、已证明过的定理来推导出结论.而平时学生只注重记忆性质，忽略了图形.面对题目空有理论，却无从下手.这种知识储备不完全的现象，使得解题时学生不能将性质与图形有机的结合在一起.那么要求学生会解几何题又从何谈起呢.

学习平面几何是研究平面图形的性质，那么就应该要求学生能做到“见到图形，想到性质；想到性质，想全性质”.

（一）、见到图形，想到性质.

下面我们来举例说明.

例1如图1：

已知在⊙O中，AB是弦，BD是切线，OD⊥OA交AB于C，求证：

CD＝BD.

这个题目的条件有圆、有弦、有半径、有切线、有垂直关系，那么结合图形我们看到BD是⊙O的切线，我们就应该想到有关切线的性质（即“看到图形，想到性质”）：

①切线的性质定理：

圆的切线垂直于经过切点的半径.但这并不全面，同时我们还要想与切线有关的其他性质：

②切线长定理：

从圆外一点引圆的两条件切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条件切线的夹角.③弦切角定理：

弦切角等于它所夹的弧对的圆周角.④切割线定理：

从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.与圆的切线有关的定理都在这里了，那么用这些知识基本上就能证明这一道题了.

我们来试试看：

分析1（切线的性质定理）如图1-1，连结OB，则OB⊥BD，得到∠ABO+∠ABD＝90°，而∠A+∠ACO＝90°，∠ACO＝∠BCD，即∠A+∠BCD＝90°，得到∠A＝∠ABO，再根据等角的余角相等，显然有∠BCD＝∠ABD，从而CD＝BD得证.

分析2（切线长定理）如图1-2，题目中只有一条切线BD，要有切线长定理就要过A作一条切线.即过A作AF⊥AO，交BD的延长线于F点.由切线长定理容易证出∠BAF＝∠ABD，又AF⊥AO，OD⊥OA，得出OD∥AF，即有∠BAF＝∠BCD，所以∠BCD＝∠ABD，从而CD＝BD得证.

分析3（弦切角定理）如图1-3，题目中只有∠ABD是弦切角，要用弦切角定理就必须∠ABD所夹的所对的圆周角，所以要延长AO交⊙O于E，连结BE，得∠ABD＝∠E，∠ABE＝90°，再由∠ACO＝∠BCD，∠A+∠ACO＝90°，∠A+∠E＝90°，所以∠BCD＝∠E，有∠BCD＝∠ABD，从而CD＝BD得证.

（二）、想到性质，想全性质

举例如下：

例2如图2，AB、CD相交于E，AD=AE，CB=CE，F、G、H分别是DE、BE、AC的中点.求证：

HF=HG.

一看题目学生往往就会想到①三角形全等的判定定理：

SSS,SAS,ASA,AAS,HL，②等腰三角形的判定定理：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，③等腰三角形“三线合一”：

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，④三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.

可是这么多性质和定理，却无法让学生打开思路.但当老师提示的问道：

“看看我们学过什么与中点有关的重要图形？

”学生们都会马上醒悟：

“哦，重要还有直角三角形的中线”.应该还可能用到⑤直角三角形中线性质：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.而本题就要用到直角三角形中线性质题目才能迎刃而解.让我们一起来看一看：

分析：

（直角三角形中线性质）如图2-1，连结AF、CG，由AD=AE，CB=CE知ΔADE和ΔCBE都是等腰三角形，即：

AF⊥CD、CG⊥AB，得到RtΔCAF和RtΔACG，又因为H是AC中点，从而由直角三角形中线性质可得出HF=AC；HG=AC，所以HF=HG得证.

在这题中直角三角形中线性质很容易被学生忽略.这也就需要学生能够做到“想到性质，想全性质”才行.

而要做到“见到图形，想到性质；想到性质，想全性质”就必须对书中定理及定理的证明非常熟悉.但这正是学生所欠缺的.因此，要求学生熟练掌握公理、定义、定理、推论就成为学好平面几何的第一步.如果学生没有牢固打好这个基础，那么今后无论是教师的教还是学生的学都将变得不生不熟.二、储备基本图形，形成基本图形库

为了解决学生见到图形，想不到性质；想到性质，也想不全性质的这种难题，我认为学生必须进行知识储备，形成基本图形.那么什么是基本图形呢？

《图形与数学解题》一书是这么给它下的定义：

所谓基本图形是指反映某一几何概念或定理的简单图形.这些图形一般都有与概念或定理的条件及结论的外形相呼应的结构特征.从中我们可以明确像平行线、三角形、四边形、圆等都是基本图形，三角形的内心和圆的切线、弦切角等也属于基本图形.同时，我认为还可以将这个内容的扩展延伸，把一些重要的、常用图形也加入到基本图形成为基本图形一部分.对于这些基本图形我们要想达到“见到图形，想到性质；想到性质，想全性质”就必须把它们拿出来认认真真加以研究，形成基本图形储备起来.在头脑中形成系统完备的待用基本图形库，最终把基本图形当作利刃，用到解题中去.

平面几何中一共能形成多少基本图形呢？

这并没有明文规定.只要是常见的并具有代表性的重要图形，我们都可以挑出来形成自己的基本图形.比如：

①平行线判定定理和性质定理②三角形中线③三角形中位线定理④直角三角形斜边上的中线⑤直角三角形斜边上的高⑥垂径定理⑦切线长定理两圆的公共弦与公共切线⑧平行线中的比例线段⑨圆中的比例线段⑩切割线定理等等.

如何来做这样的知识储备工作呢？

我们试用七年级几何（人教版）中“平行线判定定理和性质定理”来看谈一谈知识储备要达到的标准.做为学习几何推理论证的第一个内容.在这之前学生从来还没有用过推理论证这种方法研究解决过问题.因此，将它做为学生基本图形知识储备的起点是非常必要的.现在让我们来看一看这个“三线八角”（注：

在这个图中一共出现了三条线八个角，把它简记为“三线八角”）基本图形（如基图1）.

对于这种基本图形适用于两种情况：

（1）如果我们把它看成是平行线性质定理，条件就应该是AB∥CD，被第三条直线EF所截.从而研究这里八个角的关系.例如，AB∥CD可以判断∠1＝∠2.

（2）如果我们把它看成是平行线的判定定理，条件就应该是AB、CD两条直线被第三条直线EF所截，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，从而得到AB∥CD.要将它储备为基本图形知识点.要求我们认真研究它，做到以下几个方面：

1、认得准线和角：

学生刚刚开始学习用推理论证方法解题，不论是性质定理还是判定定理的应用，常常因为不能明确认准三种角而出错.

例3如图3所示，已知AB∥CD，直线EFG交AB于E，交CD于F，EM平分∠AEF，FN平分∠CFG，求证：

EM∥FN.

常有学生根据平行线性质定理，证出∠AEF＝∠CFG后，利用角平分线性质得到∠1＝∠3，来判定EM∥FN，他们的理由是根据“同位角相等，两直线平行”.然而，∠1和∠3根本不是八角中的任何一个角.同样，有些学生，还会从AB∥CD直接得出∠1＝∠3.理由是“两直线平行，同位角相等”.这完全是因为没弄清楚三线八角的概念产生的错误.

针对这些常见错误，我们首先应该让学生明白平行线中一共出现的三条线之间关系是“两条直线被第三条直线所截”，那么每次观察图形时一定要看准是那两条线被第三条线所截，别是线比较多的情况下.上面例子中应该是直线AB和CD被EF所截.

其次，要明确每一个角在三线八角中的位置特征.如图4所示，将“两条直线”放在一起看，“第三条直线”单独看.同位角应该是在两条直线的的同一方向上，在第三第直线的同侧，如∠1和∠5，∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8.内错角应该是在两条直线之间，在第三条直线两侧，如∠3和∠6，∠4和∠5.同旁内角应该是在两直线之间，在第三条直线同侧，如∠3和∠5，∠4和∠6.在复杂图形中认准它们非常关键.

2、分得清判定与性质：

平行线的判定定理和性质定理一定要分清楚.把判定定理、性质定理熟记，分清两种定理各自的已知条件和结论分别是什么.如果分不清楚就会有学生会这样证明例2.他们会认为∠AEF＝∠CFG是因为同位角相等，那么∠2＝∠4也是因为是同位角相等.很显然那就错了，∠2＝∠4是完全根据∠AEF＝∠CFG和角平分线性质得到的.我们应该让学生明确的是，如果已知平行，那么就要用性质，如果是要求证平行就要用判定.

3、想得全定理：

对于平行线的判定和性质定理，在使用时一定要想得全.特别是有关同旁内角这一判定和性质不是经常用的定理，是常常被忽略的.

我们来看下面这个七年级学生学习完平行线（未学等腰三角形）后例子：

例4已知：

如图5，AB∥CD，∠ABC和∠BCD的平分线BD、AC相交于E点.求证：

CE⊥BE.

分析绝大多数学生一看到题目就直接用“两直线平行，内错角相等”开始找内错角于是都得到了∠CDB＝∠ABD和∠ACD＝∠CAB.但等得到这两对内错角相等后就都傻眼了.这就要求教师给学生提出要求，让他们记住见到图形，想到性质时一定要想得全面才行.如果学生都想到了“两直线平行，同旁内角互补”那再加上角平分线的性质，题目就迎刃而解了.即由AB∥CD推出∠BCD+∠ABC＝180°，再由BD和AC分别是∠ABC和∠BCD的平分线，即可得到∠DBC+∠BCA＝90°，也就得到∠BEC=90°，从而证得CE⊥BE.

做到了以上几个方面，“三线八角”这一基本图形做为基础知识的储备，也就能成为学生今后解题中的一个比较好的工具了.对于例1中的有关切线的三个定理我们也可以形成基本图形的知识储备，在此不再一一赘述.总之，只要我们把握了基本图形的概念，学会自己提炼基本图形.那么，建立基本图形库对于数学教师是比较容易做的工作.同时对提高学生学习几何的能力也是想当有益的.

所以，教师既要给学生不断储备基本图形，同时又要引导学生寻找规律，总结原则，就显得极为必要了.

三、把握原则，充分利用好基本图形

（一）、熟能生巧原则

初中不再像小学一样了，科目变得繁多，知识变得密集了，经常是堂堂上新课，课课有重点，使得许多学生在学习中总是处于被动的状态，学生们常常是知识明白了，做题却有困难.这完全是训练跟不上的原因.因此必须强调熟练.同是一个知识点，熟练程度不够的，遇到实际解题就发挥不出来了.因此，学生在学习过程中就应该抓住要点，反复练习，这其中包括了几何中的一些重要的基本概念.比如三角形的内心、外心，中位线等.还有就是重要定理形成的基本图形的性质.比如垂径定理的垂径分弦，等腰三角形的三线合一等.如果我们能够做到知识越熟练，训练水平越高，那么一旦思路畅通，我们的几何解题能力也就随之增强了.

下面我们来通过一个例子来训练训练我们的思维：

例5如图6-1，已知：

在⊙O中OB是半径，AO⊥OB交⊙O于D，AB交⊙O于C，若∠A=27°，求：

，的度数.

分析1（等腰直角三角形性质）见图6-2，连结DB，ΔDOB为等腰直角三角形，所以∠OBD=45°，而∠A=27°，∠OBA=63°，从而∠1=18°，=36°，=54°.

分析2（三角形三内角和定理）见图6-3，连结OC，因∠A=27°，∠OBA=63°，由三角形三内角和定理，从而∠1=63°，∠2=54°，=36°，=54°.

分析3（圆周角定理）见图6-4，延长BO交⊙O于E，因∠A=27°，得∠OBA=63°，因∠OBA是圆周角，所以=126°，=36°，=54°.

分析4（等角的余角相等）见图6-5，延长BO交⊙O于E，连结CE.因∠A=27°，由互余得∠E=27°，，=36°，=54°.

分析5（垂径定理）见图6-6，取中点E，连结OE，得OE⊥BC，易证出∠1=∠A=27°，=27°，=36°，=54°.

本题的解法不止这些，这里不再赘述，这说明了掌握了知识点，还要通过反复运用达到“熟能生巧，举一反三”，而要想做到“熟”必须要记清各种图形的性质从而在头脑中形成基本图形的影像库.

（二）、见多识广原则

见多识广，就得多做练习.但是见题就做，常有两种现象出现：

一是过多的题目不会，从而丧失信心，这样适得其反;一是见题能做，做后就忘，每次做都好像是新题，这样也只能是事倍功半.但是如果我们能够举一反三，也就是说在做题时能够做到研究一个题，学会一类题.那么能力就真正得到了质的提高.同时，做过了的要能记住，这样下次再遇到时也不会老感觉是新题了，同时这样在今后做题时也有可以效仿的，甚至有时会得到启发.经常积累，久而久之，我们解题的办法也就多起来了.下面我们来举例说明.

例6如图7所示，已知ΔABC是⊙O的内接三角形，过C点作⊙O的切线，交AB的延长线于D，求证：

分析为了解决这个问题我们来看一看直角三角形，如图8所示，在ΔADC中，∠ACD=90°，CB⊥AD于B，求证：

很容易得到这个问题如下的证法：

∠ACD=∠CBD=90°，∠A=∠BCD，从而有ΔADC∽ΔCDB，得到,又ΔADC与ΔCDB分别以AD、BD为底时，是等高的三角形，显然有，因此，，现在我们就可以将这种解法移植到例5，我们会发现，题目一下子变得容易了.

只有不断积累，熟悉基本图形，同时也可以自己总结出比较常见的几何图形形成自己基本图形体系，有了这些我们做题时就可以进行参考、移植，从已有经验中得到启发，同时又不断积累经验.

（三）、化归原则

化归或称为转化，就是在分析解决问题时，把待解决或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为已经解决或比较容易解决的问题.解题过程中生题熟题是因人而异的，同一个题目在两个人做时，有时对甲来说是生疏题，但对乙又是熟悉题，但换一个题目就