全国通用版201X版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 课时达标检测三十六直线平面垂直的判.docx

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全国通用版201X版高考数学一轮复习第八章立体几何课时达标检测三十六直线平面垂直的判

课时达标检测（三十六）直线、平面垂直的判定与性质

小题常考题点——准解快解][小题常考题点——准解快解]

1．（2018·广东广州模拟）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（　　）

A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n

B．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β

C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β

D．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n

解析：

选B　若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故A错误；∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n∥β，∴α⊥β，故B正确；若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β的位置关系不确定，故C错误；若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m，n异面，故D错误．故选B.

2．（2018·湖南一中月考）下列说法错误的是（　　）

A．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内

B．过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直

C．如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直

D．如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行

解析：

选D　如果两条直线和一个平面所成的角相等，这两条直线可以平行、相交、异面．

3.如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在（　　）

A．直线AB上

B．直线BC上

C．直线AC上

D．△ABC内部

解析：

选A　连接AC1（图略），由AC⊥AB，AC⊥BC1，得AC⊥平面ABC1.∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．

4．（2018·河北唐山模拟）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有（　　）

A．AG⊥平面EFHB．AH⊥平面EFH

C．HF⊥平面AEFD．HG⊥平面AEF

解析：

选B　根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，∴AH⊥平面EFH，B正确；∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确；∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，∴EF⊥平面HAG，又EF⊂平面AEF，∴平面HAG⊥AEF，过点H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，∴C不正确；由条件证不出HG⊥平面AEF，∴D不正确．故选B.

5.如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为（　　）

A.

B．1

C.

D．2

解析：

选A　设B1F＝x，因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，所以AB1⊥DF.由已知可得A1B1＝

，设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，则DE＝

h.

又2×

＝h

，所以h＝

，DE＝

.

在Rt△DB1E中，B1E＝

＝

.

由面积相等得

×

＝

x，得x＝

.

6.如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线是____________；与AP垂直的直线是________．

解析：

∵PC⊥平面ABC，

∴PC垂直于直线AB，BC，AC.

∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，

∴AB⊥平面PAC，

又∵AP⊂平面PAC，

∴AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB.

答案：

AB，BC，AC　AB

7.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.（只要填写一个你认为是正确的条件即可）

解析：

如图，连接AC，BD，则AC⊥BD，

∵PA⊥底面ABCD，

∴PA⊥BD.

又PA∩AC＝A，

∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC，

∴当DM⊥PC（或BM⊥PC）时，

即有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD，

∴平面MBD⊥平面PCD.

答案：

DM⊥PC（或BM⊥PC等）

8.

（2018·福建泉州模拟）如图，一张A4纸的长、宽分别为2

a，2a，A，B，C，D分别是其四条边的中点．现将其沿图中虚线折起，使得P1，P2，P3，P4四点重合为一点P，从而得到一个多面体．下列关于该多面体的命题，正确的是________．（写出所有正确命题的序号）

①该多面体是三棱锥；

②平面BAD⊥平面BCD；

③平面BAC⊥平面ACD；

④该多面体外接球的表面积为5πa2.

解析：

由题意得该多面体是一个三棱锥，故①正确；∵AP⊥BP，AP⊥CP，BP∩CP＝P，∴AP⊥平面BCD，又∵AP⊂平面ABD，∴平面BAD⊥平面BCD，故②正确；同理可证平面BAC⊥平面ACD，故③正确；该多面体的外接球半径R＝

a，所以该多面体外接球的表面积为5πa2，故④正确．综上，正确命题的序号为①②③④.

答案：

①②③④

[大题常考题点——稳解全解]

1.如图，四棱锥PABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝

AD，E，F分别为线段AD，PC的中点．求证：

（1）AP∥平面BEF；

（2）BE⊥平面PAC.

证明：

（1）设AC∩BE＝O，连接OF，EC，如图所示．

由于E为AD的中点，AB＝BC＝

AD，AD∥BC，

所以AE∥BC，AE＝AB＝BC，

因此四边形ABCE为菱形，所以O为AC的中点．

又F为PC的中点，因此在△PAC中，可得AP∥OF.

又OF⊂平面BEF，AP⊄平面BEF.所以AP∥平面BEF.

（2）由题意知ED∥BC，ED＝BC.

所以四边形BCDE为平行四边形，因此BE∥CD.

又AP⊥平面PCD，

所以AP⊥CD，因此AP⊥BE.

因为四边形ABCE为菱形，所以BE⊥AC.

又AP∩AC＝A，AP，AC⊂平面PAC，

所以BE⊥平面PAC.

2.（2018·广州模拟）在三棱锥PABC中，△PAB是等边三角形，∠APC＝∠BPC＝60°.

（1）求证：

AB⊥PC；

（2）若PB＝4，BE⊥PC，求三棱锥BPAE的体积．

解：

（1）证明：

因为△PAB是等边三角形，∠APC＝∠BPC＝60°，所以△PBC≌△PAC，所以AC＝BC.

如图，取AB的中点D，连接PD，CD，则PD⊥AB，CD⊥AB，

因为PD∩CD＝D，

所以AB⊥平面PDC，

因为PC⊂平面PDC，

所以AB⊥PC.

（2）由

（1）知，AB⊥PC，又BE⊥PC，AB∩BE＝B，所以PC⊥平面ABE，所以PC⊥AE.

因为PB＝4，所以在Rt△PEB中，BE＝4sin60°＝2

，PE＝4cos60°＝2，在Rt△PEA中，AE＝PEtan60°＝2

，

所以AE＝BE＝2

，

所以S△ABE＝

·AB·

＝4

.

所以三棱锥BPAE的体积VBPAE＝VPABE＝

S△AEB·PE＝

×4

×2＝

.

3．（2018·合肥质检）如图，平面五边形ABCDE中，AB∥CE，且AE＝2，∠AEC＝60°，CD＝ED＝

，cos∠EDC＝

.将△CDE沿CE折起，使点D到P的位置，且AP＝

，得到四棱锥PABCE.

（1）求证：

AP⊥平面ABCE；

（2）记平面PAB与平面PCE相交于直线l，求证：

AB∥l.

证明：

（1）在△CDE中，∵CD＝ED＝

，cos∠EDC＝

，由余弦定理得CE＝2.连接AC（图略），∵AE＝2，∠AEC＝60°，∴AC＝2.又AP＝

，∴在△PAE中，PA2＋AE2＝PE2，即AP⊥AE.同理，AP⊥AC.而AC⊂平面ABCE，AE⊂平面ABCE，AC∩AE＝A，故AP⊥平面ABCE.

（2）∵AB∥CE，且CE⊂平面PCE，AB⊄平面PCE，∴AB∥平面PCE.又平面PAB∩平面PCE＝l，∴AB∥l.

4.（2018·山西省重点中学联考）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，且AB＝

BC，E，F分别在线段AB，CD上，G，H在线段PC上，EF⊥PA，且

＝

＝

＝

＝

.求证：

（1）EH∥平面PAD；

（2）平面EFG⊥平面PAC.

证明：

（1）如图，在PD上取点M，使得

＝

，连接AM，MH，则

＝

＝

，所以MH＝

DC，MH∥CD，

又AE＝

AB，四边形ABCD是矩形，

所以MH＝AE，MH∥AE，所以四边形AEHM为平行四边形，所以EH∥AM，

又AM⊂平面PAD，EH⊄平面PAD，所以EH∥平面PAD.

（2）取AB的中点N，连接DN，则NE＝DF，NE∥DF，

则四边形NEFD为平行四边形，则DN∥EF，

在△DAN和△CDA中，∠DAN＝∠CDA，

＝

＝

，

则△DAN∽△CDA，

则∠ADN＝∠DCA，则DN⊥AC，则EF⊥AC，

又EF⊥PA，AC∩PA＝A，所以EF⊥平面PAC，

又EF⊂平面EFG，所以平面EFG⊥平面PAC.

5.（2018·福州五校联考）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1是矩形，∠BAC＝90°，AA1⊥BC，AA1＝AC＝2AB＝4，且BC1⊥A1C.

（1）求证：

平面ABC1⊥平面A1ACC1；

（2）设D是A1C1的中点，判断并证明在线段BB1上是否存在点E，使得DE∥平面ABC1.若存在，求三棱锥EABC1的体积．

解：

（1）在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1是矩形，

∴AA1⊥AB，又AA1⊥BC，AB∩BC＝B，∴A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥AC，又A1A＝AC，∴A1C⊥AC1.

又BC1⊥A1C，BC1∩AC1＝C1，∴A1C⊥平面ABC1，

又A1C⊂平面A1ACC1，∴平面ABC1⊥平面A1ACC1.

（2）当E为B1B的中点时，连接AE，EC1，DE，如图，取A1A的中点F，连接EF，FD，

∵EF∥AB，DF∥AC1，

又EF∩DF＝F，AB∩AC1＝A，∴平面EFD∥平面ABC1，

又DE⊂平面EFD，∴DE∥平面ABC1.此时VEABC1＝VC1ABE＝

×

×2×2×4＝

.

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