《高等数学》第04章不定积分习题详解.docx
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《高等数学》第04章不定积分习题详解
第四章不定积分习题详解
第四章不定积分
习题4-1
1.求以下不定积分：
1
1
3
5
（1）解：
（
5xx）dx
（x2
5x2）dx
2
x
2
x2
C
x
（2）解：
（2x
3x）2dx
4x
26x
9x
C
2ln2
ln6
2ln3
（3）略.
（4）
解：
（
1
cot2x）dx
1
dx
（csc2x
1）dx
x2
1
x2
1
=arcsinx
cotx
x
C
（5）
解：
10x23xdx
10x8xdx
80xdx
80x
C
ln80
（6）
解：
sin2xdx=
1（1cosx）dx
1x
1sinx
C
2
2
2
2
（7）
cos2x
dx
cos2x
sin2
xdx
（cosx
sinx）dx
sinxcosxC
cosx
sinx
cosx
sinx
（8）
解：
cos2x
dx
cos2x
sin2xdx
（
1
x
1
）dx
cos2xsin2x
cos2xsin2x
sin2
cos2
x
cotx
tanx
C
（9）
解：
secx（secx
tanx）dx
sec2xdx
secxtanxdx
tanxsecxC
x,x1
（10）解：
设f（x）max{1,x},则f（x）1,1x1.
x,x1
f（x）在（,）上连续，
则必存在原函数F（x），F（x）
lim（xC2）
lim（1x2
C1）
x1
x1
2
1x2
C1,
x
1
2
x
C2,
1
x1又
F（x）须到处连续，有
1
x2
C3,
x
1
2
，即1
C2
1
C1
2
1
第四章不定积分习题详解
lim（
1
x2
C3）
lim（x
C2）
，即1
C3
1
C2
x1
2
x1
2
联立并令C1C,可得C2
1＋C,
C3
1
C.
2
1
x2
C,
x
1
2
故max{1,x}dx
x
1
C,
1
x
1.
2
1
x2
1
C,
x
1
2
2.解：
设所求曲线方程为
y
f（x），其上任一点
（x,y）处切线的斜率为dy
x3，进而
1x4
dx
y
x3dx
C
4
由y（0）
0，得C
0，所以所求曲线方程为
y1x4.
4
3.解：
由于
1sin2x
sinxcosx，
1cos2x
cosxsinx
2
2
1cos2x1sin2xsinxcosx
42
所以1sin2x、1cos2x、1cos2x都是sinxcosx的原函数.
224
习题4-2
1.填空.
1
dx=
d（
1
1
（1）
x
2
+C）
（2）
dx=d（lnx+C）
x
x
（3）
exdx=
d（ex
+C）
（4）
sec2
xdx=
d（tanx+C）
（5）
sinxdx
=
d（
cosx+C）
（6）
cosxdx=
d（sinx+C）
（7）
1
x2
dx
=
d（arcsinx+C）
（8）
x
dx
=
d（1x2+C）
1
1
x2
（9）
tanxsecxdx=
d（secx+C）
（10）
1
dx
=
d（arctanx+C）
x2
1
2
第四章不定积分习题详解
（11）
1
dx=d（2arctanx+C）（12）
xdx=d（
x2
+C）
（x
1）x
2
2.求以下不定积分：
x
1
d（x2
4
1
1
（1）
解：
dx
4
）
（x2
4）2
d（x2
4）
x2
4
x2
2
2
1
（x2
4）2
C
x2
4
C
（2）
解：
ln4
xdx
ln4xd（lnx）
ln5x
C
x
5
1
1
1
ex
1
（3）
解：
x
x
x2dx
e
d（
x）
e
C
（4）
解：
（e2x
2e3x
2）exdx
（e2x
2e3x
2）d（ex）
1e3x
1e4x
2ex
C
3
2
dx
dx
1
d（3x）
1
3x
（5）
解：
2
C
49x2
3x
3
3x
3
arcsin
2
1（
2
1
）
2
2
2
）
（
2
（6）
解：
1
lnx
dx
1
d（xlnx）
1
C
（xlnx）
2
（xlnx）
2
xlnx
（7）
解：
1
dx
1
d（lnx）
1
d（lnlnx）
ln|lnlnx|
C
xlnxlnlnx
lnlnx
lnxlnlnx
（8）
1
dx
1
d（e
x
）
x
C
解：
e
x
e
x
2x
1
arctane
e
（9）解：
x
dx
1
1
d（
x2）
1
1
2x2
d（1
2x2）
1
12x2
C
1
2x2
2
1
2x2
4
1
2
3
x
2
1
2
3
3
（10）解：
x
x
2
3x2dx
3x2xdx
2
3x2
dx
1
1dx2
3
1
2d（x2
3）
1
x2
3
ln（3
x2）
C
2
2
3x
2
2
（11）解：
2
3x
2
dx
3
x
dx
dx
94x2
94x2
94x2
1
d
2x
3
1
d（9
4x2）
1
2x
2
3
8
9
4x2
3
arcsin2x
3
9
4x2
C
3
4
3
第四章不定积分习题详解
（12）解：
1
1
1
1
1
dx
dx
3
dx
x2
x2
（x2）（x1）
x2x1
1
x
2
3
ln
C
x
1
（13）解：
sin
2
）dt
1
cos2（t
1
dt
1
t
）d2（t
）
（t
（1
））dt
cos2（
2
2
4
1
1
t
）
C
t
sincos2（
2
4
（14）解：
1
dx
1
3
1
dx
1
3darccosx
（arccosx）
x2
（arccosx）
（arccosx）3
1x2
1
（15）解：
（16）解：
1
2
C
（arccosx）
2
lncotx
dx
lncotx
1
lncotx
2
xdx
1
lncotx
sin2x
2sinxcosx
dx
cotx
csc
2
dcotx
2
cotx
1
lncotxdlncotx
1
（lncotx）2
C
2
4
arctan
x
arctan
x
arctan
x
x（1
x）dx
2
（1x）
dx
2
（1
（x）2）d
x2
arctanxdarctanx
（arctan
x）2
C
（17）
解：
cos4
xdx
（
1
cos2x
）2dx
12cos2x
cos22xdx
2
4
（1
cos2x
cos22x）dx
x
sin2x
1
cos4xdx
4
2
4
4
2
3x
sin2x
sin4x
4
4
C
sinx
cosx
1
2
（18）
解：
dx
d（sinx
cosx）
2（sinxcosx）3
C
3sinx
cosx
3
sinx
cosx
（19）
解：
cos3
xdx
cos2
xcosxdx
1
sin2xd（sinx）
sinx
sin3x
C
3
（20）
解：
10arccosx
dx
1x2
（21）
解：
arcsinxdx
1x2
（22）
解：
cosx
dx
sinx
arccosx
arccosx10
10d（arccosx）C
arcsin2x
arcsinxd（arcsinx）C
2
1
d（sinx）2sinxC
sinx
4
第四章不定积分习题详解
（23）
解：
sin3xcos5
xdx
sin2
xcos5
xdcosx
（1
cos2x）cos5
xdcosx
1
cos8
x
1
cos6x
C
8
6
（24）
解：
tan3xsec5xdx
tan2
xsec4xdsecx
（sec2
x
1）sec4xdsecx
1secx7x
1sec5
x
C
7
5
sin9x
sinxdx
1cos9x
1cosx
（25）
解：
cos5xsin4xdx
C
2
18
2
（26）
解：
tan3xsec4
xdx
tan3xsec2
xdtanx
tan3x（tan2x
1）dtanx
1
tanx6x
1
tan5
x
C
6
4
（27）
解：
令6
x
t，则x
t6，dx
6t5dt，代入原式得
1
dx
t
3
1
2
6t5dt
6
t2
2
1
1dt
6t6arctant
C
x（1
3
x）
（1t
）
t
1
=66x
6arctan6
x
C
（28）
解：
设x
tant,dx
sec2tdt，则
1
dx
1
sec2tdt
1
dt
（x2
1）3
（tan2t
1）3
sect
sint
C
x
1
C
x2
1
（29）
解：
1
dx
1
d（
1
）
x
1
）
x21x2
d（
x
（
1
2
1
x
1
）
2
x
）
（
1
x
x
2
1
d（
（1）2
1）
2
（1）2
1
2
1
x2
C
（1）2
1
x
x
x
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