小学奥数模块教程同余.docx

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小学奥数模块教程同余

一、余数的性质

⑴被除数

除数

商

余数；除数

（被除数

余数）

商；商

（被除数

余数）

除数；

⑵余数小于除数．

余数定理：

1.余数的加法定理

a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：

23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：

23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2

2.余数的加法定理

a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。

例如：

23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2.

当余数的差不够减时时，补上除数再减。

例如：

23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4

3.余数的乘法定理

a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：

23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：

23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.

乘方：

如果a与b除以m的余数相同，那么

与

除以m的余数也相同．

二、同余定理

1、定义

整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即a≡b（modm）

2、同余的重要性质及举例。

〈1〉a≡a（modm）（a为任意自然）；

〈2〉若a≡b（modm），则b≡a（modm）

〈3〉若a≡b（modm），b≡c（modm）则a≡c（modm）；

〈4〉若a≡b（modm），则ac≡bc（modm）

〈5〉若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac=bd（modm）；

〈6〉若a≡b（modm）则an≡bm（modm）

其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性"，性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性，"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性"

注意：

一般地同余没有"可除性"，但是：

如果：

ac=bc（modm）且（c，m）=1则a≡b（modm）

3、整数分类：

〈1〉用2来将整数分类，分为两类：

1，3，5，7，9，……（奇数）；

0，2，4，6，8，……（偶数）

〈2〉用3来将整数分类，分为三类：

0，3，6，9，12，……（被3除余数是0）

1，4，7，10，13，……（被3除余数是1）

2，5，8，11，14，……（被3除余数是2）

〈3〉在模6的情况下，可将整数分成六类，分别是：

0（mod6）：

0，6，12，18，24，……

1（mod6）：

1，7，13，19，25，……

2（mod6）：

2，8，14，20，26，……

3（mod6）：

3，9，15，21，27，……

4（mod6）：

4，10，16，22，29，……

5（mod6）：

5，11，17，23，29，……

一、同余的性质

【例1】有一个整数，除100、195所得的余数都是5，求这个数的可能值。

【巩固】有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差33．求这个数是多少？

【例2】有一个大于1的整数，除45、59、101所得的余数相同，求这个数。

【巩固】有一个整数，除39、51、147所得的余数都是3，求这个数。

【巩固】某个两位数加上3后被3除余1，加上5后被5除余1，加上7后被7除余1，这个两位数是______。

【例3】在除13511、13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是_________．

【巩固】有一个整数，除39、57、129所得的余数都相同，求这个数最大可能是多少？

二、同余的应用

【例4】一个大于1的数去除290、235、200时，得余数分别是a、a+2、a+5，则这个自然数是多少？

【巩固】有3个吉利数888、518、666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a、a+7、a+10,则这个自然数是_____.

【例5】甲、乙、丙三数分别为603、939、393．某数

除甲数所得余数是

除乙数所得余数的2倍，

除乙数所得余数是

除丙数所得余数的2倍．求

等于多少？

【巩固】一个自然数除71、97、27所得的余数分别是a、a+3、2a。

求这个自然数和a的值。

【例6】学校有几十位小朋友，老师买来176个苹果，216块饼干，324粒糖。

并将它们尽可能地平均分给每位小朋友，余下的苹果，饼干，糖的数量之比是1:

2:

3，问学校有多少位小朋友？

【巩固】现有糖果254粒,饼干210块和桔子186个.某幼儿园大班人数超过40.每人分得一样多的糖果,一样多的饼干,也分得一样多的桔子。

余下的糖果、饼干和桔子的数量的比是：

1：

3：

2，这个大班有_____名小朋友，每人分得糖果_____粒，饼干_____块，桔子_____个。

3、同余与弃九法的综合应用

【例7】有一个自然数，它除以

、

、

所得到的商（＞

）与余数（＞

）之和都相等，这样的数最小可能是多少．

【巩固】三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19、23、31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。

【例8】将自然数1、2、3、…依次无间隔地写下去组成一个数1234567891011213…如果一直写到自然数100，那么所得的数除以9的余数是多少？

【巩固】检验下面的加法算式是否正确：

2638457＋3521983＋6745785＝12907225。

【例9】

（1）证明：

一个三位数减去它的各个数字之和后，能被9整除。

（2）一个五位数是它的数字和的2013倍，求此数。

【巩固】一个三位数是它的数字和的33倍，求此数。

【例10】从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、这十个数中，选出九个数字，组成一个两位数、一个三位数和一个四位数，使这三个数的和等于2010，那么其中未被选中的数字是______

【巩固】在右边的加法算式中，如果不同的汉字代表不同的数字，使得算式成立，那么四位数

的最大值是______________.

在日历中找一找你出生那年的生日是星期几，看看还有哪些年和它一样。

想一想这些年份有什么规律。

1、同余式

若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用“同余式”表示为

a≡b（modm）意味着（我们假设a≥b）a-b=mk，k是整数，即m/（a-b）。

2、若两个数a、b除以同一个数c得到的余数相同，则a、b的差一定能被c整除。

【作业1】有一个整数，除39、57、129所得的余数都相同，求这个数最大可能是多少？

【作业2】大于35的所有数中，有多少个数除以7的余数和商相等？

【作业3】140、225、293被某大于1的自然数除,所得余数都相同。

2002除以这个自然数的余数是多少？

【作业4】一个大于1的自然数去除300、243、205时，得到相同的余数，则这个自然数是多少？

【作业5】在除13610、14002及14492时能剩下相同余数的最大整数是_________．

【作业6】一个大于1的数去除69、136、216时，得余数分别为a、a+2、a+4，则这个自然数是多少？

【作业7】已知60、154、200被某自然数除所得的余数分别是

、

、

，求该自然数的值．

【作业8】学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平均分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同。

请问学校共有多少个班？

【作业9】检验下面的减法算式是否正确：

7832145-2167953＝5664192。

【作业10】一个三位数是它的数字和的33倍，求此数。