中考数学函数大压轴解答题1反比例函数K的几何意义docx.docx

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第1讲反比例函数“k”的几何意义

一、本讲概述

如图，双曲线上的点，对于基本直角三角形面积为定值等于*1刈。

俗称的儿何

意义！

大家注意，当双曲线上出现特殊点,

又有面积痕迹时,

应首先联想的几何意义!

通过基本直角三角形进行面积有效转化!

特征联想

图

（1）图

（2）图（3）

图

（1）联想对应两矩形面积相等；

图⑵联想SgoR=S梯amnb；图（3）若AM丄y轴，BN丄兀轴，则联想AB//MNo

二、典例分析

例1、（2016山东淄博12题）反比例函数y=-（。

＞0卫为常数）和y=-在第一象兀X

限内的图像如图所示，点M在y=-的图像上，MC丄兀轴于点C,交歹=一的图像于点X兀

A；MD丄y轴于点D,交y=-的图像于点3。

当点M在y二仝的图像上运动时，以下兀x

结论：

2四边形OAMB的面积不变；

3当点A是MC的中点时，则点B是MD的中点。

其中正确结论的个数是（）

A.QB、1C、2

【分析】

由反比例函数的几何意义：

S'ODB=S^ocA=^X2|=1

1正确；

S四边形=S矩形OCMD—S'ODR—^WCA="一2

a为常数，则a-2为定值。

2正确。

当点A是MC的屮点时：

SWCA

4S矩形OCMD°

ODB=Sms'

矩形OCMD

所以，点B是MD的中点。

3正确。

综上，选D。

例2、（2015广东深圳16题）如图，Rt\ABC的直角边BC在x轴负半轴上，斜边AC上的中线BD的反向延长线交y轴正半轴于点E,双曲线y二±（兀＜0）的图像经过点A,若X

S、bec=8侧*=°

【分析】涉及面积，首先联想儿何意义。

连接Q4,则Srzob=丄网。

现在的问题是:

如何与已知中的“S辭。

=8”联系起来。

唯一能利用的是中点D,详加观察，S疝ec=S^ea=Szob=&即£=16。

【点评】此题设计得巧妙，一般考虑直角三角形斜边上的屮点，往往集屮在屮线等于斜边的一半。

而此题另辟蹊径，与上面的面积转化联系起来，让人有耳目一新之感，不得不说体现了出题人的智慧。

（］、

例3、（2015兰州26题）如图，A-4,-,B（-1,2）是一次函数=ax+b与反比例函数＜2丿

JTIy.=-图像的两个交点，AC丄x轴于点C,BD丄y轴于点D。

x

（1）根据图像直接冋答：

在第二象限内，当x取何值时，）1-旳＞0?

（2）求一次函数解析式及加的值。

（3）P是线段上一点，连接PC,PD,若APCA和APOB面积相等，求点P的坐

标。

【分析】此题暗含图（3）结构，先连接CD。

前两问就不多说了。

（1）-4

（2）y=—xH—；m=—2°

•22

（3）利用特征联想中图（3）结论，AB//CD.\PCA和APDB面积相等，说明点P为AB屮点。

（1A（55

那就好办多了,rtlA-4,-Lb（-1,2）=>Po

I2丿'I24丿

例4、（成都中考改编）如图在平面直角坐标系xoy中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B,与反比例函数y=-（k>0）在第一象限的图像交于点E、F。

过点E作

X

BE1

EM丄y轴于M,过F作FN丄x轴于W,直线EM与用V交于点C。

若——=—（mBFm为大于1的常数）。

记\CEF的面积为S、,AOEF的面积为S?

.

则=（用含m的代数式表示）O

【分析】此题条件众多，综合性强，来者不善！

首先梳理出重要的题目特征：

k

1.双曲线上特殊点E、F,产生几何联想S沁=S、ofn=W，

BE1

2.—,联想相似成比例；

BFm

3.问题是求

52

Si—S^cef—S、cef—号CE・CF_CF

5?

—S'OEF~S税nfeg~刃N・（FN+EG）~FN+EG

这些特征整合起来，无非就是列出相关表达式，消元化归即可！

这样宏观思路就清楚了!

但具体操作过程中会遇到两个难点：

一是S赧必与的关系不清楚；二是所列式子

多而杂，消元不顺！

至此思维陷入“泥潭”！

对于难点一，对比特征联想的图（3）0若连接MN,得EF//MN,则四边形MNAE为平行四边形。

ME=NA，故Sme=S、fna・

对于难点二，我们要对这一特征有敏感，S?

是可以由特征联想的图

（2）进行转化的。

这一转化，大家发现没有：

两者之比立马可用相关线段表示，“柳暗花明”！

易证：

R込BME竺RtAFNA

BE_=丄/虽=CF_CF_

由BF—m，可得S2—FN+EG—CF+2FN—加+1•

【点评】当面临“一团乱麻”局面时，要善于把里面条件等价转化，好让相互之间的内在联系自动“浮11!

水面”。

例5、（2016浙江丽水16题）如图1,一次函数y=-x+b与反比例函数y=-（x>0）

x

的图像交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于C、D两点，连接0人、OB,过点A作4E丄兀轴于点E,交03于点F。

设点A的横坐标为加。

（1）h=（用含加的代数式表示）；

【分析】

4

（1）简单，不赘述。

b=m+—°

m

（2）用含加的代数式表示面积，建方程即可。

难点在于先表示出各点坐标。

如图2,过B作BG丄x轴于G。

o直线AB与反比例函数y=-（x>0）均关于直线y二x对称。

说明点

4、

m7

Vm）x

与点B也关于直线y=兀对称。

如果大家熟悉点的对称结论，可直接得B\-,m

5）

4

y=-x^m+—

不熟悉也没关系，联立］加表示即可。

4

y=-

X

44

-x+m+—=—=>

mx

x2-mH—x+4=0I加丿

―4

<4）

（4）

解之得x=m^x=一，

交点A

m,——

、B

——jn

m

（mJ

5丿

则c

r4、

tn——,0

、E（m,0）＞F

（3、

m

m,——

7J

、G

3

（m）

<4丿

5丿

+Spq边形efbC

S'OAF+S梯形efbg+S^gc

^F.OE^EF+BG）.EG^BG.CG

（4m3）

1

（3、

m

f4）

—

•m+—

Fm

■

m

Im4丿

2

（4丿

5）

1

2

1

+—m•m

2

4

m2片

rrr+4

2

因S/w+Spq边形efbc=4、

则今“+4=4=>今3=0

m>0,解之得m=V2o

若用几何意义表示面积转化，可简化列方程环节。

由几何意义，S、\oe-S、bog=2,则SM0E+S、bog=4

所以，SU（）E+S、B（）G=Smof+S啊边形efbc

2S\OEF~S'BCG

OEEF=-BGCG

2

m-=—m•m,m>0o解之得m=V20

42

三、本讲小结

反比例函数的儿何意义，看似简单，可它就像万花筒里的小玻璃块，能变出万千美丽图案。

特征联想

图

（1）图

（2）图（3）

图

（1）联想对应两矩形面积相等；

图

（2）联想Sz°b=

'梯；

图（3）若AM丄y轴，丄x轴，则联想AB//MN.

同学们在做题时，要善于有针对性特征联想，切身体会，灵活运用。

四、真题演练

1、（2016山东荷泽8题）如图1,AOAC和ABAD都是等腰直角三角形，

ZACO=ZADB=90°,反比例函数y=-在第一象限的图像经过点B,则AOAC与x

ABAD的面积之差S^0AC-S^BAr＞为（）

A、36B、12C、6D、3

2、（2016浙江宁波18题）如图1,点A为函数y=-（x>0）图像上一点，连接OA,

X

交函数歹=丄（x>o）的图像于点B,点C是兀轴上一点，且AO=AC,则MBC的面积x

为C

鱼在第三象限分支上的一

X

3、（2016四川眉山18题）如图1,己知点A是双曲线『=

个动点，连接AO并延长另一分支于点以A3为边作等边三角形ABC,点C在第四象

限内，且随着点A的运动，点C的位置也在不断变化，但点C始终在双曲线y=-±运动,

x

则£的值是O

第1讲反比例函数“k”的几何意义

例1、（2016山东淄博12题）略。

例2、（2015广东深圳16题）略。

例3、（2015兰州26题）略。

例4、（成都中考改编）

【解答】过点E作EG丄OA于点G.

・・•矩形MCNO,

Si_“CEF_S、cef_土CE・CF_CF

・・S2S、oefS梯nfeg*GN・（FN+EG）FN+EG・・•点是双曲线上的点，EM丄y轴，FN丄x轴,

:

.EF//MN,

・・・MCIIOA,

・•・四边形MEAN是口，ME=NA・易证：

Rt\BME竺Rt'FNA

BE=\

・BFm‘

51_CF_CF__^d_

52_FN+EG_CF+2FN_加+1•

例5、（2016浙江丽水16题）略。

练习1、（2016山东荷泽8题）

【分析】第一种想法：

几何思路。

围绕面积转化进行。

如图2,延长BD交AO于点B'。

过

B作BE丄兀轴于E,连接03。

设OC=a,BD=b

易证\ABD^\AB'D

£-V

~S\OAC~S価AD

一Q梯形BDCO

=*（BQ+OC）CD

=t（CE+OC）BE

=丄OEBE

2

_Q

_J&OBE

=3

选Do

第二种想法：

代数思路。

设出线段，表示坐标，建立方程。

如图2,仍设0C=a,BD=b，则0E=a+b,BE=CD=a-b,故B（ci+b,a-b）。

而点3在反比例函数y=—±,所以（ci+b）（a-b）=a2-b2=6。

x

则Smac-S、bad=^OC-AC-^AD-BD=^a2一*，=*（/-/r）=3

选D。

【点评】代数与几何的统一，美。

练习2、（2016浙江宁波18题）

【分析】

特征1：

求\ABC的面积。

面积特征，自然先考虑几何意义。

如图2,分别过点A、B作AG丄无轴、丄x轴于G、Ho

9

2

则Swc=2Smog~9；

特征2：

点A在双曲线y=?

（x>0）上，点B在双曲线y=-（x>0）上，且AO=AC.

XX

都围绕面积进行转化。

s層_（0町_1=OB=1

特征3：

\ABC与AAOC等高。

SmbcABOA—OB2

Ssaoc~OA~OA~3

练习3、（2016四川眉山18题）

【分析】

特征1：

等边三角形ABC.性质简单，估计是用于找寻A、C两点的内在联系。

特征2：

点A在双曲线y=—±ox

能优先考虑儿何意义就优先，避免代数运算麻烦。

如图2,连接OC,分别过A、C作AG丄x轴、CH丄兀轴于点G、Ho现在观察\AOG与AOCH之间的联系。

相似，且

相似比为丰，面积可求。

图2

易知等边三角形ABC中，OC丄AB。

AAOGs\OCH

则Smog=

S'OCH

AO

OC

3

由SMOG=-^\=^

则S&OCH=2廉，而~21^1*k

所以，k=—3拆。