二项式定理学案及课后作业答案.docx

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二项式定理学案及课后作业答案

第3讲　二项式定理

知识梳理

1．二项式定理

二项式定理

（a＋b）n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn（n∈N*）

二项展开式

的通项公式

Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项

二项式系数

二项展开式中各项的系数C，C，…，C

2.二项式系数的性质

（1）0≤k≤n时，C与C的关系是C＝C.

（2）二项式系数先增后减中间项最大

当n为偶数时，第＋1项的二项式系数最大，最大值为Cn；当n为奇数时，第项和项的二项式系数最大，最大值为Cn或Cn.

（3）各二项式系数和：

C＋C＋C＋…＋C＝2n，

C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.

辨析感悟

1．二项式定理的理解

（1）Can－rbr是（a＋b）n的展开式中的第r项．（×）

（2）在（1－x）9的展开式中系数最大的项是第5项和第6项．（×）

（3）（教材习题改编）在6的二项展开式中，常数项为－160.（√）

2．二项式系数的性质

（4）（a＋b）n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．（√）

（5）若（3x－1）7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为128.（×）

（6）（2013·安徽卷改编）若n的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，且x4的系数为7，则实数a＝.（√）

[感悟·提升]

1．二项式定理（a＋b）n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn（n∈N*）揭示二项展开式的规律，一定牢记通项公式Tr＋1＝Can－rbr是展开式的第r＋1项，不是第r项，如

（1）．

2．二项式系数与展开式项的系数的异同

一是在Tr＋1＝Can－rbr中，C是该项的二项式系数，与该项的（字母）系数是两个不同的概念，前者只指C，而后者是字母外的部分，前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负，如

（2）就是混淆两个概念的区别．

二是二项式系数的最值与增减性与指数n的奇偶性有关，当n为偶数，中间一项的二项式系数最大，如（6）；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值.

考点一　通项公式及其应用

【例1】

（1）（2013·浙江卷）设二项式5的展开式中常数项为A，则A＝________.

（2）（2013·新课标全国Ⅱ卷改编）已知（1＋ax）（1＋x）5的展开式中x2的系数为5，则a等于________．

解析　

（1）Tr＋1＝C（）5－rr＝C（－1）rx－，令－r＝0，得r＝3，∴A＝－C＝－10.

（2）（1＋ax）（1＋x）5＝（1＋x）5＋ax（1＋x）5，

又（1＋x）5中含有x与x2的项为T2＝Cx，T3＝Cx2.

∴展开式中x2的系数为C＋a·C＝5，∴a＝－1.

答案　

（1）－10　

（2）－1

规律方法

（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：

第一步根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等）；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．

（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．

【训练1】

（1）（2013·大纲全国卷改编）（1＋x）8（1＋y）4的展开式中x2y2的系数是________．

（2）设二项式6（a>0）的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B＝4A，则a的值是________．

解析　

（1）∵（1＋x）8的通项为Cxk，（1＋y）4的通项为Cyt，

∴（1＋x）8（1＋y）4的通项为CCxkyt，令k＝2，t＝2，得x2y2的系数为CC＝168.

（2）6展开式的通项Tr＋1＝（－a）rCx6－r，

∴A＝（－a）2C，B＝（－a）4C，

由B＝4A，得（－a）4C＝4（－a）2C，解之得a＝±2.

又a>0，所以a＝2.

答案　

（1）168　

（2）2

学生用书第161页

考点二　二项式系数的性质与各项系数和

【例2】

（1）（2014·青岛模拟）设（1＋x）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a1＋a2＋…＋an＝63，则展开式中系数最大的项是________．

（2）若n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为________．

审题路线　

（1）先赋值求a0及各项系数和，进而求得n值，再运用二项式系数性质与通项公式求解．

（2）根据二项式系数性质，由C＝C，确定n的值，求出的系数．

解析　

（1）∵（1＋x）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，

令x＝0，得a0＝1.

令x＝1，则（1＋1）n＝a0＋a1＋a2＋…＋an＝64，∴n＝6，

又（1＋x）6的展开式二项式系数最大项的系数最大，

∴（1＋x）6的展开式系数最大项为T4＝Cx3＝20x3.

（2）由题意知，C＝C，∴n＝8.

∴Tr＋1＝C·x8－r·r＝C·x8－2r，

当8－2r＝－2时，r＝5，∴的系数为C＝C＝56.

答案　

（1）20x3　

（2）56

规律方法

（1）第

（1）小题求解的关键在于赋值，求出a0与n的值；第

（2）小题在求解过程中，常因把n的等量关系表示为C＝C，而求错n的值．

（2）求解这类问题要注意：

①区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；②根据题目特征，恰当赋值代换，常见的赋值方法是使得字母因式的值或目标式的值为1，－1.

【训练2】

（1）二项式n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中常数项是________．

（2）若（1－2x）2014＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2014x2014（x∈R），则＋＋＋…＋的值为________．

解析　

（1）由二项式系数的性质，得n＝10，∴Tr＋1＝C（）10－rr＝2rC·x5－r，

令5－r＝0，则r＝2，从而T3＝4C＝180.

（2）令x＝0，得a0＝（1－0）2013＝1.

令x＝，则a0＋＋＋…＋＝0，

∴＋＋…＋＝－1.

答案　

（1）180　

（2）－1

考点三　二项式定理的应用

【例3】（2012·湖北卷改编）设a∈Z，且0≤a<13，若512012＋a能被13整除，则a＝________.

解析　512012＋a＝（52－1）2012＋a

＝C·522012－C·522011＋…＋C×52·（－1）2011＋C·（－1）2012＋a，

∵C·522012－C·522011＋…＋C×52·（－1）2011能被13整除．

且512012＋a能被13整除，

∴C·（－1）2012＋a＝1＋a也能被13整除．

因此a可取值12.

答案　12

规律方法

（1）本题求解的关键在于将512012变形为（52－1）2012，使得展开式中的每一项与除数13建立联系．

（2）用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数（或与余数密切相关联的数）与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，但要注意两点：

一是余数的范围，a＝cr＋b，其中余数b∈[0，r），r是除数，切记余数不能为负，二是二项式定理的逆用．

【训练3】1－90C＋902C－903C＋…＋（－1）k90kC＋…＋9010C除以88的余数是________．

解析　1－90C＋902C＋…＋（－1）k90kC＋…＋9010C＝（1－90）10＝8910＝（88＋1）10＝8810＋C889＋…＋C88＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数是1.

答案　1

1．二项展开式的通项Tk＋1＝Can－kbk是展开式的第k＋1项，这是解决二项式定理有关问题的基础．在利用通项公式求指定项或指定项的系数要根据通项公式讨论对k的限制．

2．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．

3．二项式定理的应用主要是对二项展开式正用、逆用，要充分利用二项展开式的特点和式子间的联系．　　　　

创新突破9——二项式的和与积问题

【典例】（2014·济南质检）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为________．

突破：

展开式的常数项来源于：

①“x＋”中的x与5展开式中含的项相乘；②与5展开式中含x的项相乘．

解析　在5中，令x＝1，得

（1＋a）（2－1）5＝1＋a＝2，∴a＝1.

∵5展开式的通项Tr＋1＝C（2x）5－rr

＝C·25－r（－1）r·x5－2r.

①令5－2r＝1，得2r＝4，即r＝2，

因此5展开式中x的系数为C25－2·（－1）2＝80.

②令5－2r＝－1，得2r＝6，即r＝3，

因此5展开式中的系数为C25－3·（－1）3＝－40.

∴5展开式中常数项为80－40＝40.

答案　40

[反思感悟]对于求多个二项式的和或积的展开式中某项的系数问题，要注意排列、组合知识的运用，还要注意有关指数的运算性质．对于三项式问题，一般是通过合并其中的两项或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解．

【自主体验】

（1＋2x）3（1－x）4展开式中x项的系数为________．

解析　（1＋2x）3（1－x）4展开式中的x项的系数为两个因式相乘而得到，即第一个因式的常数项和一次项分别乘以第二个因式的一次项与常数项，它为C（2x）0·C（－x）1＋C（2x）1·C14（－x）0，其系数为C·C（－1）＋C·2＝－4＋6＝2.

答案　2

基础巩固题组

（建议用时：

40分钟）

一、填空题

1．（2014·西安调研）若（1＋）4＝a＋b（a，b为有理数），则a＋b＝________.

解析　（1＋）4＝1＋C·＋C·（）2＋C（）3＋（）4＝28＋16，由题设a＝28，b＝16，故a＋b＝44.

答案　44

2．（2013·辽宁卷改编）使n（n∈N*）的展开式中含有常数项的最小的n为________．

解析　Tr＋1＝C（3x）n－rr＝C3n－rxn－r，当Tr＋1是常数项时，n－r＝0，当r＝2，n＝5时成立．

答案　5

3．已知8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是________．

解析　由题意知C·（－a）4＝1120，解得a＝±2，令x＝1，得展开式各项系数和为（1－a）8＝1或38.

答案　1或38

4．已知（x＋1）10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10.若数列a1，a2，a3，…，ak（1≤k≤11，k∈Z）是一个单调递增数列，则k的最大值是________．

解析　由二项式定理知an＝C（n＝1,2,3，…，n）．又（x＋1）10展开式中二项式系数最大项是第6项．

∴a6＝C，则k的最大值为6.

答案　6

5．若（1＋mx）6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a1＋a2＋…＋a6＝63，则实数m的值为________．

解析　令x＝0，得a0＝（1＋0）6＝1，令x＝1，得（1＋m）6＝a0＋a1＋a2＋…＋a6，又a1＋a2＋a3＋…＋a6＝63，∴（1＋m）6＝64＝26，∴m＝1或m＝－3.

答案　1或－3

6．（2013·四川卷）二项式（x＋y）5的展开式中，含x2y3的项的系数是________（用数字作答）．

解析　Tr＋1＝Cx5－ryr（r＝0,1,2,3,4,5），依题意，r＝3，

∴含x2y3的系数为C＝＝10.

答案　10

7．（a＋x）4的展开式中x3的系数等于8，则实数a＝______.

解析　（a＋x）4的展开式中的通项Tr＋1＝Ca4－rxr，当r＝3时，有C·a＝8，所以a＝2.

答案　2

8．设n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中含x的项为________．

解析　由已知条件4n－2n＝240，解得n＝4，

Tr＋1＝C（5x）4－rr＝（－1）r54－rCx4－，

令4－＝1，得r＝2，T3＝150x.

答案　150x

二、解答题

9．已知二项式（＋）n的展开式中各项的系数和为256.

（1）求n；

（2）求展开式中的常数项．

解　

（1）由题意得C＋C＋C＋…＋C＝256，

∴2n＝256，解得n＝8.

（2）该二项展开式中的第r＋1项为

Tr＋1＝C（）8－r·r＝C·x，

令＝0，得r＝2，此时，常数项为T3＝C＝28.

10．若（2＋x＋x2）3的展开式中的常数项为a，求（3x2－1）dx.

解　∵3＝1－＋－，

∴（2＋x＋x2）3的展开式中的常数项为

a＝2×1＋1×（－3）＋1×3＝2.

因此（3x2－1）dx＝（x3－x）＝（x3－x）＝6.

能力提升题组

（建议用时：

25分钟）

一、填空题

1．（2013·陕西卷）设函数f（x）＝则当x>0时，f[f（x）]表达式的展开式中常数项为________．

解析　当x>0时，f（x）＝－<0，

所以f[f（x）]＝f（－）＝6，

Tr＋1＝Cx－（6－r）·（－x）r＝（－1）rCx－3＋＋，

由r－3＝0，得r＝3.

所以f[f（x）]表达式的展开式中常数项为（－1）3C＝－20.

答案　－20

2．若将函数f（x）＝x5表示为f（x）＝a0＋a1（1＋x）＋a2（1＋x）2＋…＋a5（1＋x）5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________.

解析　f（x）＝x5＝（1＋x－1）5，它的通项为Tr＋1＝C（1＋x）r·（－1）5－r，T4＝C·（－1）2（1＋x）3＝10（1＋x）3，

∴a3＝10.

答案　10

3．若（1＋x＋x2）6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝________.

解析　令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a12＝36，

令x＝－1，则a0－a1＋a2－…＋a12＝1，

∴a0＋a2＋a4＋…＋a12＝.

令x＝0，则a0＝1，∴a2＋a4＋…＋a12＝－1＝364.

答案　364

二、解答题

4．已知（a2＋1）n展开式中的各项系数之和等于5的展开式的常数项，而（a2＋1）n的展开式的系数最大的项等于54，求正数a的值．

解　5展开式的通项为Tr＋1＝C5－r·r＝5－rCx，令20－5r＝0，得r＝4，故常数项T5＝C×＝16.又（a2＋1）n展开式的各项系数之和为2n，由题意得2n＝16，∴n＝4.∴（a2＋1）4展开式中系数最大的项是中间项T3，从而C（a2）2＝54，解得a＝.

方法强化练——计数原理　（对应学生用书P359）

（建议用时：

60分钟）

一、填空题

1．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A，B可以不相邻），那么不同的排法共有________．

解析　可先排C，D，E三人，共A种排法，剩余A、B两人只有一种排法，由分步乘法计数原理满足条件的排法共A＝60种．

答案　60种

2．（2014·重庆质检）（1＋3x）n（其中n∈N且n≥6）的展开式中x5与x6的系数相等，则n等于________．

解析　（1＋3x）n的展开式中含x5的项为C（3x）5＝C35x5，展开式中含x6的项为C36x6.

由两项的系数相等得C·35＝C·36，解得n＝7.

答案　7

3．（2014·济南调研）只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，则这样的四位数有________．

解析　由题意知，1,2,3中必有某一个数字重复使用2次，第一步确定谁被使用2次，有3种方法；第二步把这2个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上，也有3种方法；第三步将余下的2个数放在四位数余下的2个位置上，有2种方法．故共可组成3×3×2＝18个不同的四位数．

答案　18个

4．组合式C－2C＋4C－8C＋…＋（－2）nC的值等于________．

解析　在（1＋x）n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn中，令x＝－2，得原式＝（1－2）n＝（－1）n.

答案　（－1）n

5．若n的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为________．

解析　由题意知C＝＝15，所以n＝6，则n＝6，令x＝1得所有项系数之和为6＝.

答案　

6．（2014·杭州检测）甲、乙两人计划从A，B，C三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有________．

解析　甲、乙各选两个景点有CC＝9种方法，其中，入选景点完全相同的有3种．∴满足条件要求的选法共有9－3＝6（种）．

答案　6种

7．若（x－1）8＝a0＋a1（1＋x）＋a2（1＋x）2＋…＋a8（1＋x）8，则a6＝________.

解析　（x－1）8＝[（x＋1）－2]8＝a0＋a1（1＋x）＋a2（1＋x）2＋…＋a8（1＋x）8，∴a6＝C（－2）2＝4C＝112.

答案　112

8．（2014·长沙模拟）已知x，y满足（x∈Z，y∈Z），每一对整数（x，y）对应平面上一个点，则过这些点中的其中3个点可作不同的圆的个数为________．

解析　

如图所示，阴影中的整点部分为x，y满足的区域，

其中整数点（x，y）共有8个，从中任取3个有C＝56种取法．

其中三点共线的有1＋C＝11（种）．

故可作不同的圆的个数为45.

答案　45

9．（2014·广州调研）已知a＝2cosdx，则二项式5的展开式中x的系数为________．

解析　a＝2cosdx＝2sin＝－2，则5＝5，∴Tr＋1＝Cx2（5－r）r＝（－2）rCx10－3r.

令10－3r＝1，得r＝3.

∴展开式中x的系数为（－2）3C＝－80.

答案　－80

10．（2014·衡水中学模拟）用1,2,3,4,5,6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是________．

解析　先将3,5排列，有A种排法；再将4,6插空排列，有2A种排法；最后将1,2插入3,4,5,6形成的空中，有C种排法．由分步乘法计数原理知，共有A·2A·C＝40种．

答案　40

11.n的展开式中各项系数之和为729，则该展开式中二项式系数最大的项等于________．

解析　依题意，令x＝1，有3n＝729，则n＝6，∴展开式第4项的二项式系数最大，则T4＝C（2x）33＝160x2.

答案　160x2

12．（2014·郑州调研）某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，而丙、丁两种不能排在一起，不同的排法共有________种．

解析　甲、乙作为元素集团，内部有A种排法，“甲乙”元素集团与“戊”全排列有A种排法．将丙、丁插在3个空档中有A种方法．∴由分步计数原理，共有AAA＝24种排法．

答案　24

13．（2013·新课标全国Ⅰ卷）设m为正整数，（x＋y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x＋y）2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝________.

解析　由二项式系数的性质，得a＝C，b＝C＝C，又13a＝7b，因此13C＝7C，解得m＝6.

答案　6

14．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________（用数字作答）．

解析　当每个台阶上各站1人时有AC种站法，当两个人站在同一个台阶上时有CCC种站法，因此不同的站法种数有AC＋CCC＝210＋126＝336（种）．

答案　336

15．（2014·无锡质检）（x2＋2）5的展开式的常数项是________．

解析　二项式5展开式的通项为：

Tr＋1＝C5－r·（－1）r＝C·x2r－10·（－1）r.

当2r－10＝－2，即r＝4时，

有x2·Cx－2·（－1）4＝C×（－1）4＝5；

当2r－10＝0，即r＝5时，有2·Cx0·（－1）5＝－2.

∴展开式中的常数项为5－2＝3.

答案　3

16．将6位志愿者分成4个组，其中两个组各2人，另两个组各1人．分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案种数有________．

解析　将6位志愿者分为2名，2名，1名，1名四组，有＝×15×6＝45种分组方法．

将四组分赴四个不同场馆有A种方法．

∴根据分步乘法计数原理，不同的分配方案有45·A＝1080种方法．

答案　1080

二、解答题

17．已知n，

（1）若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；

（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．

解　

（1）∵C＋C＝2C，∴n2－21n＋98＝0.

∴n＝7或n＝14，

当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.

∴T4的系数为C423＝，

T5的系数为C324＝70，

当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.

∴T8的系数为C727＝3432.

（2）∵C＋C＋C＝79，∴n2＋n－156＝0.

∴n＝12或n＝－13（舍去）．设Tk＋1项的系数最大，

∵12＝12（1＋4x）12，

∴

∴9.4≤k≤10.4，∴k＝10.

∴展开式中系数最大的项为T11，

T11＝C·2·210·x10＝16896x10.

18．

（1）3人坐在有八个座位的一排上，若每人的左右两边都要有空位，则不同坐法的种数为多少？

（2）现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，问名额分配的方法共有多少种？

解　

（1）由题意知有5个座位都是空的，我们把3个人看成是坐在座位上的人，往5个空座的空档插．

由于这5个空座位之间共有4个空，3个人去插，共有A＝24种．

（2）法一　每个学校至少一个名额，则分去7个，剩余3个名额分到7所学校的方法种数就是要求的分配方法种数．

分类：

若3个名额分到一所学校有7种方法；

若分配到2所学校有C×2＝42种；

若分配到3所学校有C＝35种．

∴共有7＋42＋35＝84种方法．

法二　10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块档板插在9个间隔中，共有C＝84种不同方法．所以名额分配的方法共有84种.