第九讲 和差问题.docx

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第九讲和差问题

第九讲和差问题

　　和差问题是已知大小两个数的和与两个数的差，求大小两个数各是多少的应用题。

　　为了解答这种应用题，首先要弄清两个数相差多少的不同叙述方式.有些题目明确给了两个数的差，而有些应用题把两个数的差“暗藏”起来，我们管暗藏的差叫“暗差”。

　　例：

“把姐姐的铅笔拿出3支后，姐姐、弟弟的铅笔支数就同样多.”这说明姐姐的铅笔比弟弟多3支，也说明姐姐和弟弟铅笔相差3支。

　　再例：

“把姐姐的铅笔给弟弟3支后，两人铅笔支数就同样多.”如果认为姐姐的铅笔比弟弟多3支（差是3），那就错了.实际上姐姐比弟弟多2个3支.姐姐给弟弟3支后，自己留下3支，再加上他们原有的铅笔数，他们的铅笔支数才可能一样多.这里3×2=6支，就是暗差。

　　“把姐姐的铅笔给弟弟3支后还比弟弟多1支”，这就说明姐姐的铅笔支数比弟弟多3×2＋1＝7（支）。

例1两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，两筐水果各多少千克？

　　分析这样想：

假设第二筐和第一筐重量相等时，两筐共重150＋8＝158（千克）；假设第一筐重量和第二筐相等时，两筐共重150-8＝142（千克）.

　　解法1：

①第二筐重多少千克？

　　（150-8）÷2=71（千克）

　　②第一筐重多少千克？

　　71＋8=79（千克）

　　或150-71=79（千克）

　　解法2：

①第一筐重多少千克？

　　（150+8）÷2＝79（千克）

　　②第二筐重多少千克？

　　79-8=71（千克）

　　或150-79=71（千克）

　　答：

第一筐重79千克，第二筐重71千克。

例2今年小强7岁，爸爸35岁，当两人年龄和是58岁时，两人年龄各多少岁？

　　分析题中没有给出小强和爸爸年龄之差，但是已知两人今年的年龄，那么今年两人的年龄差是35-7=28（岁）.不论过多少年，两人的年龄差是保持不变的.所以，当两人年龄和为58岁时他们年龄差仍是28岁.根据和差问题的解题思路就能解此题。

　　解：

①爸爸的年龄：

　　[58＋（35-7）]÷2

　　=[58＋28]÷2

　　=86÷2

　　=43（岁）

　　②小强的年龄：

　　58-43＝15（岁）

　　答：

当父子两人的年龄和是58岁时，小强15岁，他爸爸43岁。

例3小明期末考试时语文和数学的平均分数是94分，数学比语文多8分，问语文和数学各得了几分？

　　分析解和差问题的关键就是求得和与差，这道题中数学与语文成绩之差是8分，但是数学和语文成绩之和没有直接告诉我们.可是，条件中给出了两科的平均成绩是94分，这就可以求得这两科的总成绩.

　　解：

①语文和数学成绩之和是多少分？

　　94×2＝188（分）

　　②数学得多少分？

　　（188+8）÷2＝196÷2=98（分）

　　③语文得多少分？

　　（188-8）÷2=180÷2=90（分）

　　或98-8=90（分）

　　答：

小明期末考试语文得90分，数学得98分.

例4甲乙两校共有学生864人，为了照顾学生就近入学，从甲校调入乙校32名同学，这样甲校学生还比乙校多48人，问甲、乙两校原来各有学生多少人？

　　分析这样想：

甲、乙两校学生人数的和是864人，根据由甲校调入乙校32人，这样甲校比乙校还多48人可以知道，甲校比乙校多32×2+48＝112（人）.112是两校人数差。

　　解：

①乙校原有的学生：

　　（864-32×2-48）÷2＝376（人）

　　②甲校原有学生：

　　864-376=488（人）

　　答：

甲校原有学生488人，乙校原有学生376人。

　　小结：

从以上4个例题可以看出题目给的条件虽然不同，但是解题思路和解题方法是一致的.和差问题的一般解题规律是：

　　（和+差）÷2=较大数较大数-差=较小数

　　或（和-差）÷2=较小数较小数+差=较大数

　　也可以求出一个数后，用和减去这个数得到另一个数.

　　下面我们用和差问题的思路来解答一个数学问题。

例5在每两个数字之间填上适当的加或减符号使算式成立。

　　123456789=5

　　分析这样想：

从1至9这几个数字相加是不会得到5的，只能从一部分数字相加再减去一部分字后差是5，也就是说1到9的和是45，而两部分的差是5，先要求出这两部分数字，利用和差问题的方法便可以求出。

　　（45-5）÷2=20，20+5=25

　　可求出其中几个数的和是25，而另外几个数的和是20.在组成和是25的几个数前面添上“+”号，而在组成和是20的几个数前面添上“-”号，此题就算出来了。

　　例如：

5+6+9=20可得到。

　　1+2+3+4-5-6+7+8-9=5

　　又如：

5+7+8=20可得到。

　　1+2+3+4-5+6-7-8+9=5

　　又如：

3+4+6+7=20可得到。

　　1+2-3-4+5-6-7+8+9=5

　　同学们，这道题你还有其他解法吗？

试试看

第八讲差倍问题

　　前面讲了应用线段图分析“和倍”应用题，这种方法使分析的问题具体、形象，使我们能比较顺利地解答此类应用题.下面我们再来研究与“和倍”问题有相似之处的“差倍”应用题。

　　“差倍问题”就是已知两个数的差和它们的倍数关系，求这两个数。

　　差倍问题的解题思路与和倍问题一样，先要在题目中找到1倍量，再画图确定解题方法.被除数的数量和除数的倍数关系要相对应，相除后得到的结果是一倍量，然后求出另一个数，最后再写出验算和答题。

例1甲班的图书本数比乙班多80本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？

　　分析上图把乙班的图书本数看作1倍，甲班的图书本数是乙班的3倍，那么甲班的图书本数比乙班多2倍.又知“甲班的图书比乙班多80本”，即2倍与80本相对应，可以理解为2倍是80本，这样可以算出1倍是多少本.最后就可以求出甲、乙班各有图书多少本。

　　解：

①乙班的本数：

80÷（3-1）=40（本）

　　②甲班的本数：

40×3=120（本）

　　或40＋80=120（本）。

　　验算：

120-40＝80（本）

　　120÷40=3（倍）

　　答：

甲班有图书120本，乙班有图书40本。

例2菜站运来的白菜是萝卜的3倍，卖出白菜1800千克，萝卜300千克，剩下的两种蔬菜的重量相等，菜站运来的白菜和萝卜各是多少千克？

　　分析这样想：

根据“菜站运来的白莱是萝卜的3倍”应把运来的萝卜的重量看作1倍；“卖出白菜1800千克，萝卜300千克后，剩下两种蔬菜的重量正好相等”，说明运来的白菜比萝卜多1800-300=1500（千克）.从上图中清楚地看到这个重量相当于萝卜重量的3-1=2（倍），这样就可以先求出运来的萝卜是多少千克，再求运来的白菜是多少千克。

　　解：

①运来萝卜：

（1800-300）÷（3-1）=750（千克）

　　②运来白菜：

750×3=2250（千克）

　　验算：

　　2250-1800=450（千克）（白菜剩下部分）

　　750-300=450（千克）（萝卜剩下部分）

　　答：

菜站运来白菜2250千克，萝卜750千克。

例3有两根同样长的绳子，第一根截去12米，第二根接上14米，这时第二根长度是第一根长的3倍，两根绳子原来各长多少米？

　　分析上图，两根绳子原来的长度一样长，但是从第一根截去12米，第二根绳子又接上14米后，第二根的长度是第一根的3倍.应该把变化后的第一根长度看作1倍，而12+14=26（米），正好相当于第一根绳子剩下的长度的2倍.所以，当从第一根截去12米后剩下的长度可以求出来了，那么第一根、第二根原有长度也就可以求出来了。

　　解：

①第一根截去12米剩下的长度：

　　（12+14）÷（3-1）＝13（米）

　　②两根绳子原来的长度：

13＋12＝25（米）

　　答：

两根绳子原来各长25米。

　　自己进行验算，看答案是否正确.另外还可以想想，有无其他方法求两根绳子原来各有多长.

　　小结：

解答这类题的关键是要找出两个数量的差与两个数量的倍数的差的对应关系.用除法求出1倍数，也就是较小的数，再求几倍数。

　　解题规律：

　　差÷倍数的差=1倍数（较小数）

　　1倍数×几倍=几倍的数（较大的数）

　　或：

较小的数+差=较大的数。

例4三

（1）班与三

（2）班原有图书数一样多.后来，三

（1）班又买来新书74本，三

（2）班从本班原书中拿出96本送给一年级小同学，这时，三

（1）班图书是三

（2）班的3倍，求两班原有图书各多少本？

试一试：

1、弟弟有课外书20本，哥哥有课外书25本。

哥哥给弟弟多少本后，弟弟的课外书本数是哥哥的2倍？

2、小华有笔30枝，小明有笔15只，问小明给几枝给小华后，小华的枝数是小明的8倍？

3、甲桶有油150千克，乙桶有油90千克，要使甲桶油是乙桶的3倍，需要从乙桶中倒入多少千克到甲桶？

4、甲、乙两个油桶共有油160千克，如果把乙桶中的油注入甲桶20千克，这时甲桶的油等于乙桶油的3倍。

甲、乙原来各有油多少千克？

5、小明有书18本，小芳有书8本，现在又买来16本，怎样分配才能使小明的本数是小芳的2倍？

6、水池有水69吨，乙水池有水36吨，如果甲水池的水以每分钟2吨的速度流入乙水池，那么多少分钟后，乙水池的水是甲水池的2倍？

7、第一车间有工人45人，第二车间有工人36人，从第一车间调多少人到第二车间，第二车间的人数就是第一车间的8？

21.果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵.桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？

.甲桶有油25千克，乙桶有油17千克，从乙桶倒入多少千克给甲桶后，甲桶油是乙桶的5倍？

张明在期末考试时，语文、数学两门功课的平均得分是95分，数学

比语文多得8分，张明这两门功课的成绩各是多少分

1.甲乙两班共植树120棵甲班种植的棵数是乙班的2倍两班各植树多少棵?

2.三年级学生参加文艺小组和科技小组的共有108人参加文艺小组的人数是参加科技小组人数的2倍参加两个小组的各有多少人?

 3.一个长方形的长与宽的和是48厘米，长是宽的3倍，这个长方形的长和宽各是多少厘米?

4.甲乙两共集树种240千克甲班采集树种量是乙班的3倍问两班各采集树种多少千克?

5.某校年级选出48人到区里参加珠算竞赛其中女同学是男同学的2倍，问这个学校参加珠算竞赛的男女生各多少?

6.师徒俩共同加零件42件师傅加工数是徒弟的5倍师徒各加工多少件?

7.父子年龄的和是50岁，今年父亲的年龄是儿子的4倍，父子现在年龄各是多少岁?

8.甲乙两数之和为72，小数除大数商是2，两数各是多少?

9.两个小队少先队员共采集药材160千克，第一小队采集的是第二小队的3倍，两个小队各采集药材多少千克?

10.机床厂有男女职工2400人，男职工是女职工的3倍，男女职工各是多少人?

11.两个数之和等于462，其中一个数的最后一位数字是0，如果把0去掉就与第二个数相同这两个数各是多少?

12.弟弟和哥哥有25元，弟弟的钱是哥哥的4倍，哥哥和弟弟各有多少元?

13两种水果一共有100个，苹果的个数是李子的4倍多10个，两种水果各有多少个？

14父子年龄和是60岁，今年父亲的年龄是儿子的5倍多6岁，父子现年各是多少岁?

12.学校买来篮球和足球共27个，其中篮球的个数是足球的2倍。

学校买来篮球和足球各多少个？

张明在期末考试时，语文、数学两门功课的平均得分是95分，数学

比语文多得8分，张明这两门功课的成绩各是多少分

甲乙粮仓共存粮1038吨,如果把甲仓存的粮食放到乙仓9吨,两仓库的粮食就一样多了,甲粮仓原来存粮食吨,乙粮仓原来存粮食吨.

15.两个数相除,商3余10,被除数,除数,商的和是163,被除数是,除数是.

13.小红铅笔的支数是小明的2倍,她从中拿出15支捐给了希望工程,正好是小红小明支数的总和的一半,小红原有铅笔多少支?

14.三个饲养场共养1600头牛,第二饲养场养牛的头数是第一饲养场的2倍,第三饲养场养的头数是第二饲养场的2倍多60头,三个饲养场各养牛多少头?

例2

解：

我们把黄花朵数看作一份，画出线段图如下：

从线段图中可以看出，两种花的总和再添上30朵，正好对应了3份。

所以黄花朵数为：

（300+30）÷（1+2）=110（朵）。

红花朵数为：

300-110=190（朵）。

例2.果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵.桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？

分析下图可以看出桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，都是同梨树相比较、以梨树的棵数为标准、作为1份数容易解答.又知三种树的总数是552棵.如果给苹果树增加20棵，那么就和梨树同样多了；再从桃树里减少12棵，那么就相当于梨树的2倍了，而总棵树则变为552+20-12=560（棵），相当于梨树棵数的4倍。

解：

①梨树的棵数：

（552＋20-12）÷（1＋1＋2）=560÷4=140（棵）

②桃树的棵数：

140×2＋12=292（棵）

③苹果树的棵数：

140-20=120（棵）

答：

桃树、梨树、苹果树分别是292棵、140棵和120棵。

第九讲和差问题

　　和差问题是已知大小两个数的和与两个数的差，求大小两个数各是多少的应用题。

　　为了解答这种应用题，首先要弄清两个数相差多少的不同叙述方式.有些题目明确给了两个数的差，而有些应用题把两个数的差“暗藏”起来，我们管暗藏的差叫“暗差”。

　　例：

“把姐姐的铅笔拿出3支后，姐姐、弟弟的铅笔支数就同样多.”这说明姐姐的铅笔比弟弟多3支，也说明姐姐和弟弟铅笔相差3支。

　　再例：

“把姐姐的铅笔给弟弟3支后，两人铅笔支数就同样多.”如果认为姐姐的铅笔比弟弟多3支（差是3），那就错了.实际上姐姐比弟弟多2个3支.姐姐给弟弟3支后，自己留下3支，再加上他们原有的铅笔数，他们的铅笔支数才可能一样多.这里3×2=6支，就是暗差。

　　“把姐姐的铅笔给弟弟3支后还比弟弟多1支”，这就说明姐姐的铅笔支数比弟弟多3×2＋1＝7（支）。

例1两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，两筐水果各多少千克？

　　分析这样想：

假设第二筐和第一筐重量相等时，两筐共重150＋8＝158（千克）；假设第一筐重量和第二筐相等时，两筐共重150-8＝142（千克）.

　　解法1：

①第二筐重多少千克？

　　（150-8）÷2=71（千克）

　　②第一筐重多少千克？

　　71＋8=79（千克）

　　或150-71=79（千克）

　　解法2：

①第一筐重多少千克？

　　（150+8）÷2＝79（千克）

　　②第二筐重多少千克？

　　79-8=71（千克）

　　或150-79=71（千克）

　　答：

第一筐重79千克，第二筐重71千克。

例2今年小强7岁，爸爸35岁，当两人年龄和是58岁时，两人年龄各多少岁？

　　分析题中没有给出小强和爸爸年龄之差，但是已知两人今年的年龄，那么今年两人的年龄差是35-7=28（岁）.不论过多少年，两人的年龄差是保持不变的.所以，当两人年龄和为58岁时他们年龄差仍是28岁.根据和差问题的解题思路就能解此题。

　　解：

①爸爸的年龄：

　　[58＋（35-7）]÷2

　　=[58＋28]÷2

　　=86÷2

　　=43（岁）

　　②小强的年龄：

　　58-43＝15（岁）

　　答：

当父子两人的年龄和是58岁时，小强15岁，他爸爸43岁。

例3小明期末考试时语文和数学的平均分数是94分，数学比语文多8分，问语文和数学各得了几分？

　　分析解和差问题的关键就是求得和与差，这道题中数学与语文成绩之差是8分，但是数学和语文成绩之和没有直接告诉我们.可是，条件中给出了两科的平均成绩是94分，这就可以求得这两科的总成绩.

　　解：

①语文和数学成绩之和是多少分？

　　94×2＝188（分）

　　②数学得多少分？

　　（188+8）÷2＝196÷2=98（分）

　　③语文得多少分？

　　（188-8）÷2=180÷2=90（分）

　　或98-8=90（分）

　　答：

小明期末考试语文得90分，数学得98分.

例4甲乙两校共有学生864人，为了照顾学生就近入学，从甲校调入乙校32名同学，这样甲校学生还比乙校多48人，问甲、乙两校原来各有学生多少人？

　　分析这样想：

甲、乙两校学生人数的和是864人，根据由甲校调入乙校32人，这样甲校比乙校还多48人可以知道，甲校比乙校多32×2+48＝112（人）.112是两校人数差。

　　解：

①乙校原有的学生：

　　（864-32×2-48）÷2＝376（人）

　　②甲校原有学生：

　　864-376=488（人）

　　答：

甲校原有学生488人，乙校原有学生376人。

　　小结：

从以上4个例题可以看出题目给的条件虽然不同，但是解题思路和解题方法是一致的.和差问题的一般解题规律是：

　　（和+差）÷2=较大数较大数-差=较小数

　　或（和-差）÷2=较小数较小数+差=较大数

　　也可以求出一个数后，用和减去这个数得到另一个数.

　　下面我们用和差问题的思路来解答一个数学问题。

例5在每两个数字之间填上适当的加或减符号使算式成立。

　　123456789=5

　　分析这样想：

从1至9这几个数字相加是不会得到5的，只能从一部分数字相加再减去一部分字后差是5，也就是说1到9的和是45，而两部分的差是5，先要求出这两部分数字，利用和差问题的方法便可以求出。

　　（45-5）÷2=20，20+5=25

　　可求出其中几个数的和是25，而另外几个数的和是20.在组成和是25的几个数前面添上“+”号，而在组成和是20的几个数前面添上“-”号，此题就算出来了。

　　例如：

5+6+9=20可得到。

　　1+2+3+4-5-6+7+8-9=5

　　又如：

5+7+8=20可得到。

　　1+2+3+4-5+6-7-8+9=5

　　又如：

3+4+6+7=20可得到。

　　1+2-3-4+5-6-7+8+9=5

　　同学们，这道题你还有其他解法吗？

试试看

第八讲差倍问题

　　前面讲了应用线段图分析“和倍”应用题，这种方法使分析的问题具体、形象，使我们能比较顺利地解答此类应用题.下面我们再来研究与“和倍”问题有相似之处的“差倍”应用题。

　　“差倍问题”就是已知两个数的差和它们的倍数关系，求这两个数。

　　差倍问题的解题思路与和倍问题一样，先要在题目中找到1倍量，再画图确定解题方法.被除数的数量和除数的倍数关系要相对应，相除后得到的结果是一倍量，然后求出另一个数，最后再写出验算和答题。

例1甲班的图书本数比乙班多80本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？

　　分析上图把乙班的图书本数看作1倍，甲班的图书本数是乙班的3倍，那么甲班的图书本数比乙班多2倍.又知“甲班的图书比乙班多80本”，即2倍与80本相对应，可以理解为2倍是80本，这样可以算出1倍是多少本.最后就可以求出甲、乙班各有图书多少本。

　　解：

①乙班的本数：

80÷（3-1）=40（本）

　　②甲班的本数：

40×3=120（本）

　　或40＋80=120（本）。

　　验算：

120-40＝80（本）

　　120÷40=3（倍）

　　答：

甲班有图书120本，乙班有图书40本。

例2菜站运来的白菜是萝卜的3倍，卖出白菜1800千克，萝卜300千克，剩下的两种蔬菜的重量相等，菜站运来的白菜和萝卜各是多少千克？

　　分析这样想：

根据“菜站运来的白莱是萝卜的3倍”应把运来的萝卜的重量看作1倍；“卖出白菜1800千克，萝卜300千克后，剩下两种蔬菜的重量正好相等”，说明运来的白菜比萝卜多1800-300=1500（千克）.从上图中清楚地看到这个重量相当于萝卜重量的3-1=2（倍），这样就可以先求出运来的萝卜是多少千克，再求运来的白菜是多少千克。

　　解：

①运来萝卜：

（1800-300）÷（3-1）=750（千克）

　　②运来白菜：

750×3=2250（千克）

　　验算：

　　2250-1800=450（千克）（白菜剩下部分）

　　750-300=450（千克）（萝卜剩下部分）

　　答：

菜站运来白菜2250千克，萝卜750千克。

例3有两根同样长的绳子，第一根截去12米，第二根接上14米，这时第二根长度是第一根长的3倍，两根绳子原来各长多少米？

　　分析上图，两根绳子原来的长度一样长，但是从第一根截去12米，第二根绳子又接上14米后，第二根的长度是第一根的3倍.应该把变化后的第一根长度看作1倍，而12+14=26（米），正好相当于第一根绳子剩下的长度的2倍.所以，当从第一根截去12米后剩下的长度可以求出来了，那么第一根、第二根原有长度也就可以求出来了。

　　解：

①第一根截去12米剩下的长度：

　　（12+14）÷（3-1）＝13（米）

　　②两根绳子原来的长度：

13＋12＝25（米）

　　答：

两根绳子原来各长25米。

　　自己进行验算，看答案是否正确.另外还可以想想，有无其他方法求两根绳子原来各有多长.

　　小结：

解答这类题的关键是要找出两个数量的差与两个数量的倍数的差的对应关系.用除法求出1倍数，也就是较小的数，再求几倍数。

　　解题规律：

　　差÷倍数的差=1倍数（较小数）

　　1倍数×几倍=几倍的数（较大的数）

　　或：

较小的数+差=较大的数。

例4三

（1）班与三

（2）班原有图书数一样多.后来，三

（1）班又买来新书74本，三

（2）班从本班原书中拿出96本送给一年级小同学，这时，三

（1）班图书是三

（2）班的3倍，求两班原有图书各多少本？

　　分析两个班原有图书一样多.后来三

（1）班又买新书74本，即增加了74本；三

（2）班从本班原有图书中取出96本送给一年级同学，则图书减少了96本.结果是一个班增加，另一个班减少，这样两个班图书就相差96+74＝170（本），也就是三

（1）班比三

（2）班多了170本图书.又知三

（1）班现有图书是三

（2）班图书的3倍，可见这170本图书就相当于三

（2）班所剩图书的3-1=2倍，三

（2）班所剩图书本数就可以求出来了，随之原有图书本数也就求出来了（见上图）。

　　解：

①后来三

（1）班比三

（2）班图书多多少本？

　　74＋96=170（本）

　　②三

（2）班剩下的图书是多少本？

　　170÷（3-1）=85（本）

　　③三

（2）班原有图书多少本？

　　85＋96=181（本）（两个班原有图书一样多）

　　综合算式：

　　（74＋96）÷（3-1）＋96

　　＝170÷2+96

　　＝85＋96

　　=181（本）

　　验算：

181+74=255（本）

　　181-96=85（本）

　　255÷85=3（倍）

　　答：

两班原来各有图书181本。

例5两块同样长的花布，第一块卖出31米，第二块卖出19米后，第二块是第一块的4倍，求每块花布原有多少米？

　　分析已知两块花布同样长，由于第一块卖出的多，第二块卖出的少，因此第一块剩下的少，第二块剩下的多.所剩的布第二块比第一块多31-19=12（米）.又知第二块所剩下的布是第一块的4倍，那么第二块比第一块多出的12米正好相当于所剩布的（4-1）倍，这样，第一块所剩布的长度即可求出（见上图）。

　　解：

①第二块布比第一块布多剩多少米？

　　31-19＝12（米）

　　②第一块布剩下多少米？

　　12÷（4-1）=4（米）