小学奥数几何模型之蝴蝶模型+沙漏模型非常完整版讲义例题+作业带答案.docx
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小学奥数几何模型之蝴蝶模型+沙漏模型非常完整版讲义例题+作业带答案
小学几何模型之蝴蝶模型
准备练习
梯形中的蝴蝶模型
梯形的两个翅膀相等。
左=右
例题1
如图：
在梯形ABCD中，AD平行于BC,对角线AC和BD相交于点O。
已知三角形AOD与三角形DOC的面枳分别是16平方厘米与24平方厘米，求梯形ABCD的面积。
△AOB的面积为24cm2
△BOC的面积：
24X244-16=36（cm2）
梯形ABCD的面积：
16+24+24+36=100（cm2）
练习1
如图：
在梯形ABCD中，AD平行于BC,对角线AC和BD相交于点O。
己知三角形DOC与三角形BOC的面枳分别是35平方厘米与49平方厘米，求三角形AOD的面积。
△AOB的面积为35平方厘米
△AOD的面积：
35X35+49=25（cm2）
例题2
如图：
长方形ABCD被一些直线分成了若干部分。
已知三角形ADG的面积是7平方厘米,三角形BCH的面枳是9平方厘米，求四边形EGFH的面积。
连接EF
四边形EGFH的面积：
7+9=16（cm2）
练习2
如图：
长方形ABCD被一些直线分成了若干部分。
已知三角形ADG的面积是24平方厘米,三角形BHC的面积是17平方厘米，求四边形GEHF的面积。
AFB
㈢
DEC连接EF
四边形EGFH的面积:
24+17=41（cm2）
风筝模型
dS2:
S]=BO:
OD
S3：
S4=bo：
od
\S2:
S]=S3:
SA
S3S]XS3=S2XS4
BC上X下=左、右
例题3如图：
一个不规则四边形被两条对角线分成四个小三角形。
求三角形CDG的面枳。
AD
金C△CDG的面积：
3X84-4=6（cm2）
己知其中三个小三角形的面积,
练习3
如图：
一个不规则四边形被两条对角线分成四个小三角形。
己知其中三个小三角形的面积,求三角形ABG的面枳。
1）
△ABG的面积：
8X64-12=4（cm2）
例题4
如图：
四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O。
己知三角形ABD的面积是30平方厘米，三角形ABC的面积是48平方厘米，三角形BCD的面积是50平方厘米，求三角形BOC的面枳。
△BOC和△AOB是等高模型面积比为5:
3
△BOC的面积为：
484-（5+3）X5=30（cm2）
练习4
如图：
一个园林形状如四边形ABCD,现测得三角形BCD的面积是25公顷，三角形ABC的面积是24公顷，三角形ABD的面枳是15公顷。
其中在三角形BOC中有一个面积是5公顷的湖，求三角形BOC除去湖的部分的面积。
OC:
OA=25:
15=5:
3
△BOC和△AOB是等高模型面积比为5:
3
△BOC的面积为：
244-（5+3）X5=15（公顷）
△BOC除去湖的部分的面积:
15-5=10（公顷）例题5
如图：
四边形ABCD是边长为4厘米的正方形，点E是边BC的中点，CD=4DF,求阴影部分的面积。
连接AF、EF
B
2
E
2
△ABF的面积：
4X44-2=8（cm2）
△BEF的面积：
2X3+2=3（cm2）
OA:
OE=8:
3
△ABE的面积：
4X24-2=4（cm2）
△AOB和△BOE的面积比为8:
3
△AOB的面积为:
4+（8+3）X8=32/11（cm2）
练习5
如图：
四边形ABCD是边长为8厘米的正方形，点E、F分别是边BC、CD的中点，求阴影部分的面积。
B
连接AF、EF
△ABF的面积：
8X8+2=32（cm2）
△BEF的面积：
4X44-2=8（cm2）
OA:
OE=4:
1
△ABE的面积：
8X44-2=16（cm2）
△AOB和△BOE的面积比为4:
1
△AOB的面积为:
16+（4+1）X1=16/5（cm2）
例题6
如图：
在三角形ABC中，NACB是直角。
已知AC=CD=8厘米，BC=12厘米，点M是边AB的中点，求三角形AMN的面积。
连接MD,SAABC=8X124-2=48（cm2）
SAACM=SABCM=484-2=24（cm2）
CD:
BD=2:
1SACDM=24-r（2+1）X2=16（cm2）
AN:
ND=3:
2
SAABD=48-r（2+1）Xl=16（cm2）
SAAMD=164-2=8（cm2）
SAAMN=84-（3+2）X3=24/5（cm2）
练习6
如图：
在直角三角形ABC中，点M、D分别是边AB、BC的中点。
己知AC和DC等长,且都是6厘米，求阴影部分的面枳。
连接MD,SAABC=6X6X24-2=36（cm2）
SAACM=SABCM=364-2=18（cm2）SACDM=18^-2=9（cm2）AN:
ND=2:
1
SAACD=6X64-2=18（cm2）
SACDN=184-（2+1）Xl=6（cm2）
例题7
如图：
平行四边形ABCD的两条对角线AC和BD相交于点O。
己知三角形CEF、三角形OEF、三角形ODF和三角形BOE的面积分别是3平方厘米、5平方厘米、5平方厘米和7平方厘米，求三角形GCE的面积。
SABCD=7+5+3+5=20（cm2）
SAOBC=SAOCD=204-2=10（cm2）
SAOEC=10-7=3（cm2）
SAOCF=10-5=5（cm2）
EG:
GF=3:
5
SAGCE=3-r（3+5）X3=9/8（cm2）
课后作业
1、如图：
在梯形ABCD中，己知三个小三角形的面枳，那么三角形COD的面积为（平方厘米。
答案：
6
2、求下面长方形中不规则四边形GEHF的面积，可以连接点（）和点（）
将其分割成两个三角形，这样可以构成（）组蝴蝶模型，它们分别在梯形（）
中和梯形（）中。
答案：
EF2ABEFCDFE
3、如图：
四边形ABCD被分割成四个已知面枳的小三角形。
根据图中所标出的面积可知：
SAAOD:
SAAOB=（）：
（）,SACOD:
SABOC=（）：
（）,
由此可得出关于不规则四边形的一个结论：
SAAOD:
SAAOB=SACOD:
SABOCo
答案：
4：
86：
12
4、如图：
已知在四边形ABCD中，三角形ACD的面枳是24平方厘米，三角形ABD的面
积是27平方厘米，三角形ABC的面积是30平方厘米，那么OB:
OD=（）:
（
（括号中填具体的数。
）
答案：
5:
4
C
5、在下面的图形中，我们（）（填“可以"或坏可以“）构造蝴蝶模型。
如果可
以，那么我们要怎么样添加辅助线呢，请在图中画出来。
答案：
可以
6、在下图的三角形ABC中可以构造出蝴蝶模型吗？
如果可以，请作出辅助线；如果不可以，请说明理由。
7、如图：
在一块梯形花圃中，梅花的种植面积是15平方米，君子兰的种植面积是25平方米。
这块梯形花圃的面积是多少平方米？
ACOD的面积为15平方米
△AOD的面积：
15X154-25=9（m2）梯形ABCD的面积：
15+154-9+25=64（m2）8、如图：
在长方形中，甲、乙两个小三角形的面积分别是8平方厘米和13平方厘米。
不规则四边形丙的面积是多少平方厘米？
四边形丙的面积：
8+13=21（cm2）
9、如图：
不规则四边形ABCD被分成了四个小三角形。
己知三个小三角形的面积，求三角形BOC的面枳。
△BOC的面积：
6X84-3=16
10、如图：
在四边形ABCD中，三角形ACD的面积是16平方厘米，三角形BCD的面积是20平方厘米，三角形ABC的面积是24平方厘米，求三角形BOC的面积。
OB:
OD=24:
16=3:
2
ABOC和ACOD是等高模型面积比为3:
2
△BOC的面积为：
20+（3+2）X3=12（cm2）11、如图：
四边形ABCD是边长为6厘米的正方形，点E是边BC上靠近点C的三等分点,点F为边CD的中点。
求三角形AOD的面积。
连接AF、EF
△ADE的面积：
6X6+2=18（cm2）
△DEF的面积：
3X24-2=3（cm2）
OA:
OF=6:
1
△ADF的面积：
6X3+2=9（cm2）
△AODflJADOF的面积比为6:
1
△AOD的面积为:
9+（6+1）X6=54/7（cm2）12、如图：
在直角三角形ABC中，点D为BC边的中点，点E为AC边上靠近点A的三等分点。
已知AB和BD的长分别是12厘米和10厘米，求三角形AOE的面积。
连接DE,SAABC=12X10X24-2=120（cm2）
SAABD=SAACD=120-r2=60（cm2）E为AC上三等分点SAABE=120-r3=40（cm2）SAADE=604-3=20（cm2）BO:
OE=60:
20=3:
1
SAAOE=404-（3+0Xl=10（cm2）13、如图：
平行四边形ABCD的面积是3平方厘米，点M是边AD的中点。
求阴影部分的面积。
△ABM的面积:
△BCM的面积=1:
2
AG:
GC=1:
2
AABG的面积:
ZkABC的面积=1:
3
阴影部分面积：
平行四边形的面积=1:
3
阴影部分面积：
34-3X1=1（cm2）
小学几何模型之沙漏模型
课前引入：
相似三角形
（1）认识相似三角形
形状相同，大小相似（三个角对应相等）
（2）相似三角形的对应线段（对应高，对应边）的比等于相似比
ZA=ZD
ZB=ZE
ZC=ZF
沙漏模型
如图：
三角形AOB和三角形COD组成沙漏模型。
判定方法：
①一组平行线，②一组交叉线。
AOBOABOF
-CO-CO-OE
（其中OF和OE分别是两个三角形的高）
如果AO:
OD=1:
3,那么BO:
OC=（1:
3）,AB:
CD=（1:
3）,OE:
OF=（3:
1）。
例题1
AB=16厘米，AD=10厘米，BE=4厘米，求FC的长。
如图：
在平行四边形ABCD中,
BC=AD=10厘米
CD=AB=16厘米
CF:
BF=CD:
BE=4:
1
FC的长：
10+（4+1）X4=8（厘米）练习1
AE和DE的长度相同，求DF
AB=CD=14厘米
DE=AE=14+2=16（厘米）
DF:
FE=CD:
BE=7:
1
DF的长：
164-（7+1）X7=14（厘米）
沙漏模型
例题2
如图：
在正方形ABCD中，CE=2DEo己知正方形ABCD的面积是96平方厘米，求阴影部分的面积。
如图：
在平行四边形ABCD中，CD=14厘米，BE=2厘米,的长。
△ABD的面积为96+2=48（cm2）
假设SaDEF为1份，那么S^ABF为9份，SaADF为3份阴影部分面积：
484-（9+3）Xl=4（cm2）
练习2
如图：
在长方形ABCD中，点E是边DC的三等分点。
已知三角形DQE的面积是1平方厘米，求长方形ABCD的面积。
金字塔模型
如图：
三角形ADE和三角形ABC组成金字塔模型。
判定方法：
大三角形内有一组平行线。
zxADAEDEAM
（I）二-=
AB-ALBCAN
（其中和4N分别为两个三角形的高）
（2）5-0械・二。
々：
8^=彳0：
/*
例题3
如图：
在三角形ABC中，DE、FG、BC互相平行，并且AD=DF=FB,求三角形ADE、四边形DEGF和四边形FGCB之间的面积比。
AD:
AF:
AB=1:
2:
3
SAADE:
SAAFG:
SAABC=1:
4:
9
假设^ADE的面积为1份，那么AAFG的面积为4份，^ABC的面积为9份
四边形DEGF的面积为4-1=3（份）
四边形FGCB的面积为9-4=5（份）
SAADE:
S四边形DEGF:
S四边形FGCB=1:
3:
5
练习3
如图：
在三角形ABC中，DE、FG、BC互相平行。
已知AD=3厘米，DF=2厘米，FB=1厘米，求三角形ADE、三角形AFG和三角形ABC之间的面积比。
AD:
AF:
AB=3:
（3+2）:
（3+2+1）=3:
5:
6
SAADE:
SAAFG:
SAABC=9:
25:
36
例题4
如图：
四边形MBNF是一个边长为2厘米的正方形，将边BM延长1厘米至点A,将边BN延长3厘米至点C,连接点A、C,割出如图所示的阴影部分，AC与MF、NF分别交于点E、Qo求阴影部分的面积。
ME:
BC=AM:
AB=1:
（1+2）=1:
3
ME的长度：
（2+3）-r3Xl=5/3（cm）
EF的长度：
2-5/3=1/3（cm）
QN:
AB=NC:
BC=3:
（3+2）=3:
5
QN的长度：
（1+2）4-5X3=9/5（cm）
FQ的长度：
2-9/5=1/5（cm）
阴影部分的面积：
1/3X1/54-2=1/30（cm2）
练习4
如图：
正方形BDEF和直角三角形ABC重叠在一起，已知AF:
FB=1:
3,BD:
DC=3:
4,AC与EF、ED分别交于点G、Ho求三角形EGH与正方形BDEF的面积比。
假设BF和BD的长度均为3,那么AF的长度为1,CD的长度为4
FG:
BC=AF:
AB=1:
（1+3）=1:
4
FG的长度：
（3+4）4-4X1=7/4
GE的长度：
3-7/4=5/4
HD:
AB=DC:
BC=4:
（4+3）=4:
7
HD的长度：
（1+3）4-7X4=16/7
HE的长度：
3-16/7=5/7
△EGH的面积：
5/4X5/74-2=25/56
正方形BDEF的面积为3X3=9
AEGH与正方形BDEF的面积比为25/56:
9=25:
504
例题5
如图：
在三角形ABC中，MN平行于BC。
已知三角形MNP的面积是8平方厘米，三角形BPC的面积是18平方厘米，并且AM的长是4厘米，求BM的长。
SAMNP:
SABPC=8:
18=4:
9
MN:
BC=2:
3
AM:
AB=2:
3
AB的长度：
44-2X3=6（厘米）
BM的长度：
6-4=2（厘米）
练习5
AM=2厘米，BM=3厘米，三角形MNP的面
如图：
在三角形ABC中，MN平行于BC,积是4平方厘米，求三角形BPC的面积。
MN:
BC=AM:
AB=2:
（2+3）=2:
5
SAMNP:
SABPC=4:
25
△BPC的面积：
44-4X25=25（平方厘米）
例题6
如图：
一张铁皮形如锐角三角形ABC,边BC长120厘米，高AD长80厘米。
现将这张铁皮加工成一个正方形零件，使正方形的一边在边BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上，求这个正方形零件的边长。
（80—x）:
80=x:
120
80x=9600—120x
200x=9600
x=48
正方形零件的边长为48厘米。
练习6
如图：
在三角形ABC中，AM=2厘米，BM=4厘米，BC=9厘米，求正方形MNQP的面枳。
MN:
BC=AM:
AB=2:
（2+4）=1:
3
MN的长度：
94-3X1=3（厘米）
正方形MNQP的面积：
3X3=9（平方厘米）
例题7
如图：
在长方形ABCD中，点F是AB边的中点，AD边的长是AE长的4倍。
已知三角形ADF的面枳是44平方厘米，求三角形DEG的面积。
DE:
AD=3:
4
SADHE:
SAADF=9:
16
SADHE=44^16X9=99/4（平方厘米）
EH:
AF=DE:
AD=3:
4
EH:
CD=3:
8
HG:
DG=3:
8
SAEHG:
SADEG=3:
8
△DEG的面积：
99/4+（3+8）X8=18（平方厘米）
课后作业
1、如图：
AB平行于CD,三角形AOB和三角形COD构成沙漏模型。
己知AO:
OD=1:
2,那么同样比为1:
2的线段还有哪几组？
2、如图：
在正方形ABCD中，点E为边CD上的三等分点，AE与BD相交于点F,可知三角形（）和三角形（）组成沙漏模型。
答案：
DEFABF
3、如图：
在三角形ABC中，DE和BC平行，如果DE:
BC=2:
3,那么ADE:
Sz\ABC=
（）：
（）o
4、如图：
MN平行于BC,MP平行于AD,NQ平行于AD0已知图中所标示的线段长度,那么BM:
AB=（）:
（）,MN:
BC=（）:
（）。
5、如图：
在三角形ABC中，MN平行于BC,BN,CM相交于点P,请写出图中的沙漏模型和金字塔模型。
答案：
沙漏模型：
三角形MNP和三角形BPC金字塔模型：
三角形AMN和三角形ABC
6、如图：
在长方形ABCD中，点E为AD边上的四等分点，点F为AB边的中点，图中（）（填“有”或“没有”）沙漏模型。
若利用三角形CDG来构造沙漏模型,
请画出辅助线。
答案：
没有。
7、如图：
在长方形中，甲、乙两个小三角形的面积分别是8平方厘米和13平方厘米。
不规则四边形丙的面积是多少平方厘米？
AB=CD=20-6=14（厘米）
DF:
FB=DE:
AB=20:
14=10:
7
BF的长:
10+（10+7）X7=70/17（厘米）
8、如图：
在正方形ABCD中，点E是CD边的中点，对角线BD与AE相交于点F。
已知三角形DEF的面枳是1平方厘米，求阴影部分的面积。
DE:
AB=1:
2
EF:
AF=1:
2
△ABF的面积为4cm2
△ADF的面积为2cm2
△ABD的面积为4+2=6（cm2）
正方形ABCD的面积为6X2=12（cm2）
阴影部分面积为12—4—2—1=5（cm2）
9、如图：
在三角形ABC中，DE,FG,BC互相平行，并且AD=4厘米，DF=3厘米，BF=1厘米，求三角形ADE、四边形DEGF和四边形FGCB之间的面积比。
AD:
AF:
AB=4:
（4+3）:
（4+3+1）=4:
7:
8
SAADE:
SAAFG:
SAABC=16:
49:
64
假设4ADE的面积为16份，那么4AFG的面积为49份，^ABC的面积为64份
四边形DEGF的面积为49-16=33（份）
四边形FGCB的面积为64-49=15（份）
SAADE:
S四边形DEGF:
S四边形FGCB=16:
33:
15
10、如图：
长方形BDEF和直角三角形ABC重叠在一起。
已知AF=1厘米，FB=3厘米,BD=4厘米，CD=3厘米，求三角形EGH的面积。
FG:
BC=AF:
AB=1:
（1+3）=1:
4
FG的长度：
（4+3）+4X1=7/4（cm）
GE的长度：
4-7/4=9/4（cm）
HD:
AB=CD:
BC=3:
（3+4）=3:
7
HD的长度：
（1+3）4-7X3=12/7（cm）
HE的长度：
3—12/7=9/7（cm）
△EGH的面积：
9/4X12/74-2=27/14（cm2）11、如图：
在三角形ABC中，已知MP,AD,NQ互相平行，点M为边AB上靠近点A的三等分点，AN=2厘米，NC=3厘米，三角形BMP的面积是8平方厘米，三角形NQC的面积是9平方厘米，求五边形AMPQN的面积。
BM:
AB=2:
3
SABMP:
SAABD=4:
9
SAABD=8^4X9=18（平方厘米）
S四边形MPDA=18-8=10（平方厘米）
NC:
AC=3:
（3+2）=3:
5
SANCQ:
SAADC=9:
25
SAADC=94-9X25=25（平方厘米）
S四边形ADQN=25-9=16（平方厘米）
五边形AMPQN的面积：
10+16=26（平方厘米）
12、如图：
在三角形ABC中，DE平行于BC,点D为AB边的中点，点E为AC边的中点。
已知三角形ABC的面积是48平方厘米，求阴影部分的面枳。
DE:
BC=AD:
AB=1:
2
SAADE:
SAABC=1:
4
SAADE=484-4X1=12（平方厘米）
SABDE=SAADE=12（平方厘米）
EF:
BF=DE:
BC=1:
2
SADEF:
SABDF=1:
2
SADEF=12-r（1+2）X1=4（平方厘米）阴影部分面积为4平方厘米。
13、如图：
四边形ABCD和四边形EFGH都是平行四边形。
已知四边形ABCD的面积是16平方厘米，BG=3GC,求四边形EFGH的面枳。
连接EG
BG:
CG=3:
1BG:
AE=3:
1
SABFG:
SAAEF=9:
1
EF:
BF=AE:
BG=1:
3
SAAEF:
SAAFB=1:
3
设4AEF的面积为1份，那么AABF和4EFG的面积均为3份，△BFG面积为9份。
阴影部分和平行四边形的面积比：
3:
（1+3+3+9）=3:
16
阴影部分的面积：
16+16X3=3（平方厘米）
14、如图：
四边形ABCD是直角梯形。
已知AB=4厘米，AD=5厘米，DE=3厘米，求梯形ABCD的面积。
作OH平行于AB
OH=DE=3厘米
OD:
BD=3:
4
OD:
OB=3:
1
CD:
AB=OD:
OB=3:
1
CD的长度：
44-1X3=12（厘米）
梯形ABCD的面积：
（上底+下底）XSJ4-2
=（4+12）X54-2
=40（平方厘米）
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