小学奥数几何模型之蝴蝶模型+沙漏模型非常完整版讲义例题+作业带答案.docx
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小学奥数几何模型之蝴蝶模型+沙漏模型非常完整版讲义例题+作业带答案
小学几何模型之蝴蝶模型
准备练习
梯形中的蝴蝶模型
梯形的两个翅膀相等。
左=右
例题1
如图:
在梯形ABCD中,AD平行于BC,对角线AC和BD相交于点O。
已知三角形AOD与三角形DOC的面枳分别是16平方厘米与24平方厘米,求梯形ABCD的面积。
△AOB的面积为24cm2
△BOC的面积:
24X244-16=36(cm2)
梯形ABCD的面积:
16+24+24+36=100(cm2)
练习1
如图:
在梯形ABCD中,AD平行于BC,对角线AC和BD相交于点O。
己知三角形DOC与三角形BOC的面枳分别是35平方厘米与49平方厘米,求三角形AOD的面积。
△AOB的面积为35平方厘米
△AOD的面积:
35X35+49=25(cm2)
例题2
如图:
长方形ABCD被一些直线分成了若干部分。
已知三角形ADG的面积是7平方厘米,三角形BCH的面枳是9平方厘米,求四边形EGFH的面积。
连接EF
四边形EGFH的面积:
7+9=16(cm2)
练习2
如图:
长方形ABCD被一些直线分成了若干部分。
已知三角形ADG的面积是24平方厘米,三角形BHC的面积是17平方厘米,求四边形GEHF的面积。
AFB
㈢
DEC连接EF
四边形EGFH的面积:
24+17=41(cm2)
风筝模型
dS2:
S]=BO:
OD
S3:
S4=bo:
od
\S2:
S]=S3:
SA
S3S]XS3=S2XS4
BC上X下=左、右
例题3如图:
一个不规则四边形被两条对角线分成四个小三角形。
求三角形CDG的面枳。
AD
金C△CDG的面积:
3X84-4=6(cm2)
己知其中三个小三角形的面积,
练习3
如图:
一个不规则四边形被两条对角线分成四个小三角形。
己知其中三个小三角形的面积,求三角形ABG的面枳。
1)
△ABG的面积:
8X64-12=4(cm2)
例题4
如图:
四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O。
己知三角形ABD的面积是30平方厘米,三角形ABC的面积是48平方厘米,三角形BCD的面积是50平方厘米,求三角形BOC的面枳。
△BOC和△AOB是等高模型面积比为5:
3
△BOC的面积为:
484-(5+3)X5=30(cm2)
练习4
如图:
一个园林形状如四边形ABCD,现测得三角形BCD的面积是25公顷,三角形ABC的面积是24公顷,三角形ABD的面枳是15公顷。
其中在三角形BOC中有一个面积是5公顷的湖,求三角形BOC除去湖的部分的面积。
OC:
OA=25:
15=5:
3
△BOC和△AOB是等高模型面积比为5:
3
△BOC的面积为:
244-(5+3)X5=15(公顷)
△BOC除去湖的部分的面积:
15-5=10(公顷)例题5
如图:
四边形ABCD是边长为4厘米的正方形,点E是边BC的中点,CD=4DF,求阴影部分的面积。
连接AF、EF
B
2
E
2
△ABF的面积:
4X44-2=8(cm2)
△BEF的面积:
2X3+2=3(cm2)
OA:
OE=8:
3
△ABE的面积:
4X24-2=4(cm2)
△AOB和△BOE的面积比为8:
3
△AOB的面积为:
4+(8+3)X8=32/11(cm2)
练习5
如图:
四边形ABCD是边长为8厘米的正方形,点E、F分别是边BC、CD的中点,求阴影部分的面积。
B
连接AF、EF
△ABF的面积:
8X8+2=32(cm2)
△BEF的面积:
4X44-2=8(cm2)
OA:
OE=4:
1
△ABE的面积:
8X44-2=16(cm2)
△AOB和△BOE的面积比为4:
1
△AOB的面积为:
16+(4+1)X1=16/5(cm2)
例题6
如图:
在三角形ABC中,NACB是直角。
已知AC=CD=8厘米,BC=12厘米,点M是边AB的中点,求三角形AMN的面积。
连接MD,SAABC=8X124-2=48(cm2)
SAACM=SABCM=484-2=24(cm2)
CD:
BD=2:
1SACDM=24-r(2+1)X2=16(cm2)
AN:
ND=3:
2
SAABD=48-r(2+1)Xl=16(cm2)
SAAMD=164-2=8(cm2)
SAAMN=84-(3+2)X3=24/5(cm2)
练习6
如图:
在直角三角形ABC中,点M、D分别是边AB、BC的中点。
己知AC和DC等长,且都是6厘米,求阴影部分的面枳。
连接MD,SAABC=6X6X24-2=36(cm2)
SAACM=SABCM=364-2=18(cm2)SACDM=18^-2=9(cm2)AN:
ND=2:
1
SAACD=6X64-2=18(cm2)
SACDN=184-(2+1)Xl=6(cm2)
例题7
如图:
平行四边形ABCD的两条对角线AC和BD相交于点O。
己知三角形CEF、三角形OEF、三角形ODF和三角形BOE的面积分别是3平方厘米、5平方厘米、5平方厘米和7平方厘米,求三角形GCE的面积。
SABCD=7+5+3+5=20(cm2)
SAOBC=SAOCD=204-2=10(cm2)
SAOEC=10-7=3(cm2)
SAOCF=10-5=5(cm2)
EG:
GF=3:
5
SAGCE=3-r(3+5)X3=9/8(cm2)
课后作业
1、如图:
在梯形ABCD中,己知三个小三角形的面枳,那么三角形COD的面积为(平方厘米。
答案:
6
2、求下面长方形中不规则四边形GEHF的面积,可以连接点()和点()
将其分割成两个三角形,这样可以构成()组蝴蝶模型,它们分别在梯形()
中和梯形()中。
答案:
EF2ABEFCDFE
3、如图:
四边形ABCD被分割成四个已知面枳的小三角形。
根据图中所标出的面积可知:
SAAOD:
SAAOB=():
(),SACOD:
SABOC=():
(),
由此可得出关于不规则四边形的一个结论:
SAAOD:
SAAOB=SACOD:
SABOCo
答案:
4:
86:
12
4、如图:
已知在四边形ABCD中,三角形ACD的面枳是24平方厘米,三角形ABD的面
积是27平方厘米,三角形ABC的面积是30平方厘米,那么OB:
OD=():
(
(括号中填具体的数。
)
答案:
5:
4
C
5、在下面的图形中,我们()(填“可以"或坏可以“)构造蝴蝶模型。
如果可
以,那么我们要怎么样添加辅助线呢,请在图中画出来。
答案:
可以
6、在下图的三角形ABC中可以构造出蝴蝶模型吗?
如果可以,请作出辅助线;如果不可以,请说明理由。
7、如图:
在一块梯形花圃中,梅花的种植面积是15平方米,君子兰的种植面积是25平方米。
这块梯形花圃的面积是多少平方米?
ACOD的面积为15平方米
△AOD的面积:
15X154-25=9(m2)梯形ABCD的面积:
15+154-9+25=64(m2)8、如图:
在长方形中,甲、乙两个小三角形的面积分别是8平方厘米和13平方厘米。
不规则四边形丙的面积是多少平方厘米?
四边形丙的面积:
8+13=21(cm2)
9、如图:
不规则四边形ABCD被分成了四个小三角形。
己知三个小三角形的面积,求三角形BOC的面枳。
△BOC的面积:
6X84-3=16
10、如图:
在四边形ABCD中,三角形ACD的面积是16平方厘米,三角形BCD的面积是20平方厘米,三角形ABC的面积是24平方厘米,求三角形BOC的面积。
OB:
OD=24:
16=3:
2
ABOC和ACOD是等高模型面积比为3:
2
△BOC的面积为:
20+(3+2)X3=12(cm2)11、如图:
四边形ABCD是边长为6厘米的正方形,点E是边BC上靠近点C的三等分点,点F为边CD的中点。
求三角形AOD的面积。
连接AF、EF
△ADE的面积:
6X6+2=18(cm2)
△DEF的面积:
3X24-2=3(cm2)
OA:
OF=6:
1
△ADF的面积:
6X3+2=9(cm2)
△AODflJADOF的面积比为6:
1
△AOD的面积为:
9+(6+1)X6=54/7(cm2)12、如图:
在直角三角形ABC中,点D为BC边的中点,点E为AC边上靠近点A的三等分点。
已知AB和BD的长分别是12厘米和10厘米,求三角形AOE的面积。
连接DE,SAABC=12X10X24-2=120(cm2)
SAABD=SAACD=120-r2=60(cm2)E为AC上三等分点SAABE=120-r3=40(cm2)SAADE=604-3=20(cm2)BO:
OE=60:
20=3:
1
SAAOE=404-(3+0Xl=10(cm2)13、如图:
平行四边形ABCD的面积是3平方厘米,点M是边AD的中点。
求阴影部分的面积。
△ABM的面积:
△BCM的面积=1:
2
AG:
GC=1:
2
AABG的面积:
ZkABC的面积=1:
3
阴影部分面积:
平行四边形的面积=1:
3
阴影部分面积:
34-3X1=1(cm2)
小学几何模型之沙漏模型
课前引入:
相似三角形
(1)认识相似三角形
形状相同,大小相似(三个角对应相等)
(2)相似三角形的对应线段(对应高,对应边)的比等于相似比
ZA=ZD
ZB=ZE
ZC=ZF
沙漏模型
如图:
三角形AOB和三角形COD组成沙漏模型。
判定方法:
①一组平行线,②一组交叉线。
AOBOABOF
-CO-CO-OE
(其中OF和OE分别是两个三角形的高)
如果AO:
OD=1:
3,那么BO:
OC=(1:
3),AB:
CD=(1:
3),OE:
OF=(3:
1)。
例题1
AB=16厘米,AD=10厘米,BE=4厘米,求FC的长。
如图:
在平行四边形ABCD中,
BC=AD=10厘米
CD=AB=16厘米
CF:
BF=CD:
BE=4:
1
FC的长:
10+(4+1)X4=8(厘米)练习1
AE和DE的长度相同,求DF
AB=CD=14厘米
DE=AE=14+2=16(厘米)
DF:
FE=CD:
BE=7:
1
DF的长:
164-(7+1)X7=14(厘米)
沙漏模型
例题2
如图:
在正方形ABCD中,CE=2DEo己知正方形ABCD的面积是96平方厘米,求阴影部分的面积。
如图:
在平行四边形ABCD中,CD=14厘米,BE=2厘米,的长。
△ABD的面积为96+2=48(cm2)
假设SaDEF为1份,那么S^ABF为9份,SaADF为3份阴影部分面积:
484-(9+3)Xl=4(cm2)
练习2
如图:
在长方形ABCD中,点E是边DC的三等分点。
已知三角形DQE的面积是1平方厘米,求长方形ABCD的面积。
金字塔模型
如图:
三角形ADE和三角形ABC组成金字塔模型。
判定方法:
大三角形内有一组平行线。
zxADAEDEAM
(I)二-=
AB-ALBCAN
(其中和4N分别为两个三角形的高)
(2)5-0械・二。
々:
8^=彳0:
/*
例题3
如图:
在三角形ABC中,DE、FG、BC互相平行,并且AD=DF=FB,求三角形ADE、四边形DEGF和四边形FGCB之间的面积比。
AD:
AF:
AB=1:
2:
3
SAADE:
SAAFG:
SAABC=1:
4:
9
假设^ADE的面积为1份,那么AAFG的面积为4份,^ABC的面积为9份
四边形DEGF的面积为4-1=3(份)
四边形FGCB的面积为9-4=5(份)
SAADE:
S四边形DEGF:
S四边形FGCB=1:
3:
5
练习3
如图:
在三角形ABC中,DE、FG、BC互相平行。
已知AD=3厘米,DF=2厘米,FB=1厘米,求三角形ADE、三角形AFG和三角形ABC之间的面积比。
AD:
AF:
AB=3:
(3+2):
(3+2+1)=3:
5:
6
SAADE:
SAAFG:
SAABC=9:
25:
36
例题4
如图:
四边形MBNF是一个边长为2厘米的正方形,将边BM延长1厘米至点A,将边BN延长3厘米至点C,连接点A、C,割出如图所示的阴影部分,AC与MF、NF分别交于点E、Qo求阴影部分的面积。
ME:
BC=AM:
AB=1:
(1+2)=1:
3
ME的长度:
(2+3)-r3Xl=5/3(cm)
EF的长度:
2-5/3=1/3(cm)
QN:
AB=NC:
BC=3:
(3+2)=3:
5
QN的长度:
(1+2)4-5X3=9/5(cm)
FQ的长度:
2-9/5=1/5(cm)
阴影部分的面积:
1/3X1/54-2=1/30(cm2)
练习4
如图:
正方形BDEF和直角三角形ABC重叠在一起,已知AF:
FB=1:
3,BD:
DC=3:
4,AC与EF、ED分别交于点G、Ho求三角形EGH与正方形BDEF的面积比。
假设BF和BD的长度均为3,那么AF的长度为1,CD的长度为4
FG:
BC=AF:
AB=1:
(1+3)=1:
4
FG的长度:
(3+4)4-4X1=7/4
GE的长度:
3-7/4=5/4
HD:
AB=DC:
BC=4:
(4+3)=4:
7
HD的长度:
(1+3)4-7X4=16/7
HE的长度:
3-16/7=5/7
△EGH的面积:
5/4X5/74-2=25/56
正方形BDEF的面积为3X3=9
AEGH与正方形BDEF的面积比为25/56:
9=25:
504
例题5
如图:
在三角形ABC中,MN平行于BC。
已知三角形MNP的面积是8平方厘米,三角形BPC的面积是18平方厘米,并且AM的长是4厘米,求BM的长。
SAMNP:
SABPC=8:
18=4:
9
MN:
BC=2:
3
AM:
AB=2:
3
AB的长度:
44-2X3=6(厘米)
BM的长度:
6-4=2(厘米)
练习5
AM=2厘米,BM=3厘米,三角形MNP的面
如图:
在三角形ABC中,MN平行于BC,积是4平方厘米,求三角形BPC的面积。
MN:
BC=AM:
AB=2:
(2+3)=2:
5
SAMNP:
SABPC=4:
25
△BPC的面积:
44-4X25=25(平方厘米)
例题6
如图:
一张铁皮形如锐角三角形ABC,边BC长120厘米,高AD长80厘米。
现将这张铁皮加工成一个正方形零件,使正方形的一边在边BC上,其余两个顶点分别在边AB、AC上,求这个正方形零件的边长。
(80—x):
80=x:
120
80x=9600—120x
200x=9600
x=48
正方形零件的边长为48厘米。
练习6
如图:
在三角形ABC中,AM=2厘米,BM=4厘米,BC=9厘米,求正方形MNQP的面枳。
MN:
BC=AM:
AB=2:
(2+4)=1:
3
MN的长度:
94-3X1=3(厘米)
正方形MNQP的面积:
3X3=9(平方厘米)
例题7
如图:
在长方形ABCD中,点F是AB边的中点,AD边的长是AE长的4倍。
已知三角形ADF的面枳是44平方厘米,求三角形DEG的面积。
DE:
AD=3:
4
SADHE:
SAADF=9:
16
SADHE=44^16X9=99/4(平方厘米)
EH:
AF=DE:
AD=3:
4
EH:
CD=3:
8
HG:
DG=3:
8
SAEHG:
SADEG=3:
8
△DEG的面积:
99/4+(3+8)X8=18(平方厘米)
课后作业
1、如图:
AB平行于CD,三角形AOB和三角形COD构成沙漏模型。
己知AO:
OD=1:
2,那么同样比为1:
2的线段还有哪几组?
2、如图:
在正方形ABCD中,点E为边CD上的三等分点,AE与BD相交于点F,可知三角形()和三角形()组成沙漏模型。
答案:
DEFABF
3、如图:
在三角形ABC中,DE和BC平行,如果DE:
BC=2:
3,那么ADE:
Sz\ABC=
():
()o
4、如图:
MN平行于BC,MP平行于AD,NQ平行于AD0已知图中所标示的线段长度,那么BM:
AB=():
(),MN:
BC=():
()。
5、如图:
在三角形ABC中,MN平行于BC,BN,CM相交于点P,请写出图中的沙漏模型和金字塔模型。
答案:
沙漏模型:
三角形MNP和三角形BPC金字塔模型:
三角形AMN和三角形ABC
6、如图:
在长方形ABCD中,点E为AD边上的四等分点,点F为AB边的中点,图中()(填“有”或“没有”)沙漏模型。
若利用三角形CDG来构造沙漏模型,
请画出辅助线。
答案:
没有。
7、如图:
在长方形中,甲、乙两个小三角形的面积分别是8平方厘米和13平方厘米。
不规则四边形丙的面积是多少平方厘米?
AB=CD=20-6=14(厘米)
DF:
FB=DE:
AB=20:
14=10:
7
BF的长:
10+(10+7)X7=70/17(厘米)
8、如图:
在正方形ABCD中,点E是CD边的中点,对角线BD与AE相交于点F。
已知三角形DEF的面枳是1平方厘米,求阴影部分的面积。
DE:
AB=1:
2
EF:
AF=1:
2
△ABF的面积为4cm2
△ADF的面积为2cm2
△ABD的面积为4+2=6(cm2)
正方形ABCD的面积为6X2=12(cm2)
阴影部分面积为12—4—2—1=5(cm2)
9、如图:
在三角形ABC中,DE,FG,BC互相平行,并且AD=4厘米,DF=3厘米,BF=1厘米,求三角形ADE、四边形DEGF和四边形FGCB之间的面积比。
AD:
AF:
AB=4:
(4+3):
(4+3+1)=4:
7:
8
SAADE:
SAAFG:
SAABC=16:
49:
64
假设4ADE的面积为16份,那么4AFG的面积为49份,^ABC的面积为64份
四边形DEGF的面积为49-16=33(份)
四边形FGCB的面积为64-49=15(份)
SAADE:
S四边形DEGF:
S四边形FGCB=16:
33:
15
10、如图:
长方形BDEF和直角三角形ABC重叠在一起。
已知AF=1厘米,FB=3厘米,BD=4厘米,CD=3厘米,求三角形EGH的面积。
FG:
BC=AF:
AB=1:
(1+3)=1:
4
FG的长度:
(4+3)+4X1=7/4(cm)
GE的长度:
4-7/4=9/4(cm)
HD:
AB=CD:
BC=3:
(3+4)=3:
7
HD的长度:
(1+3)4-7X3=12/7(cm)
HE的长度:
3—12/7=9/7(cm)
△EGH的面积:
9/4X12/74-2=27/14(cm2)11、如图:
在三角形ABC中,已知MP,AD,NQ互相平行,点M为边AB上靠近点A的三等分点,AN=2厘米,NC=3厘米,三角形BMP的面积是8平方厘米,三角形NQC的面积是9平方厘米,求五边形AMPQN的面积。
BM:
AB=2:
3
SABMP:
SAABD=4:
9
SAABD=8^4X9=18(平方厘米)
S四边形MPDA=18-8=10(平方厘米)
NC:
AC=3:
(3+2)=3:
5
SANCQ:
SAADC=9:
25
SAADC=94-9X25=25(平方厘米)
S四边形ADQN=25-9=16(平方厘米)
五边形AMPQN的面积:
10+16=26(平方厘米)
12、如图:
在三角形ABC中,DE平行于BC,点D为AB边的中点,点E为AC边的中点。
已知三角形ABC的面积是48平方厘米,求阴影部分的面枳。
DE:
BC=AD:
AB=1:
2
SAADE:
SAABC=1:
4
SAADE=484-4X1=12(平方厘米)
SABDE=SAADE=12(平方厘米)
EF:
BF=DE:
BC=1:
2
SADEF:
SABDF=1:
2
SADEF=12-r(1+2)X1=4(平方厘米)阴影部分面积为4平方厘米。
13、如图:
四边形ABCD和四边形EFGH都是平行四边形。
已知四边形ABCD的面积是16平方厘米,BG=3GC,求四边形EFGH的面枳。
连接EG
BG:
CG=3:
1BG:
AE=3:
1
SABFG:
SAAEF=9:
1
EF:
BF=AE:
BG=1:
3
SAAEF:
SAAFB=1:
3
设4AEF的面积为1份,那么AABF和4EFG的面积均为3份,△BFG面积为9份。
阴影部分和平行四边形的面积比:
3:
(1+3+3+9)=3:
16
阴影部分的面积:
16+16X3=3(平方厘米)
14、如图:
四边形ABCD是直角梯形。
已知AB=4厘米,AD=5厘米,DE=3厘米,求梯形ABCD的面积。
作OH平行于AB
OH=DE=3厘米
OD:
BD=3:
4
OD:
OB=3:
1
CD:
AB=OD:
OB=3:
1
CD的长度:
44-1X3=12(厘米)
梯形ABCD的面积:
(上底+下底)XSJ4-2
=(4+12)X54-2
=40(平方厘米)