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基于NEXT/ERA时域联合算法的模态参数识别
基于NEXT/ERA时域联合算法的模态参数识别
王红伟
【摘要】摘 要:
归纳总结了NEXT法和特征系统实现算法的基本思想,以及实施的基本步骤.在此基础上,基于matlab编制了模态识别程序.以东海大桥监测数据作为算例进行数值分析,成功识别了大桥的竖向振动动力学参数.识别结果可为桥梁动力特性计算,抗震分析,健康监测和损伤识别等提供基础数据.
【期刊名称】上海师范大学学报（自然科学版）
【年（卷）,期】2015（044）002
【总页数】8
【关键词】关键词:
模态参数;环境激励;结构模态
近年来,桥梁的安全性、耐久性与正常使用日渐得到关注,促使桥梁健康监测、损伤识别技术、模态参数识别技术迅速发展,并且日益成为国内外学术界和工程界的研究热点.姜浩等研究了在环境激励下对桥梁结构进行模态参数识别的一种时域联合算法,通过对某一预应力混凝土连续梁桥结构的仿真,验证了方法的有效性[1].吕中亮等介绍了多点激励模态参数识别方法的基础上,总结了近十多年来多点激励模态参数识别方法中的进展,并分析了多点激励参数识别方法在基于环境激励下模态参数识别中的发展与应用[2].很多大学的课题组都进行了模态参数识别的研究[3-8],重点在理论方法上进行研究.本研究在此基础上,重点进行程序编制和工程实例验证工作,可为桥梁抗震分析和健康监测提供帮助.
1 NExT法（响应间的互相关函数理论）
NExT法的主要思想是受白噪声环境激励下结构两点之间响应的互相关函数和脉冲响应函数表达式相似,求出两点之间响应的互相关函数后,利用时域中模态识别方法进行模态参数识别.
n个自由度线性时不变结构的动力特性方程可用振动微分方程式
（1）表示:
（1）
输出信号x（t）可以利用标准变换为模态坐标系下的形式:
（2）
假定是实模态,式
（2）两边同时乘以ΦT,则M、C、K是对角阵.则有:
（3）
由杜哈密积分,得出:
（4）
由式
（2）和式（4）得到如下结果:
（5）
由式（3）,当系统k点受到外力f（t）激励时,系统l点得响应Xlk（t）可表示为:
（6）
式中:
是第l测点的第i阶模态振型分量.
当系统的k点受到单位脉冲力作用时,由式（6）就得到系统l点的脉冲响应hlk（t）,可表示为:
（7）
在k点白噪声激励下,系统l,p两测点的响应分别为xlk（t）和xpk（t）,这两个响应的互相关函数的表达式可以写成:
（8）
将式（6）代入式（8）得到如下等式:
（9）
假设式中激励f（t）为理想白噪声,根据相关函数的定义,则有:
（10）
式中:
αk为仅同激励点k有关的常数项.δ（t）是狄拉克（Diracdelta）函数.
将式（10）代入式（9）中并积分,得到:
（11）
式中:
β=t-τ.
利用式（4）的定义,考虑周期T,对式（11）进行整理得:
（12）
式中:
是与测点及模态阶次i有关的常数项,Ωi是与模态阶次i有关的相位角.
将式（7）和式（12）进行对照比较,可以看出,线性系统在白噪声激励下两点响应的互相关函数和脉冲激励下的脉冲响应的数学表达式在形式上是完全一致的.互相关函数确实可以表征为一系列复指数函数的叠加形式.在这点上,相关函数具有和系统的脉冲响应函数同样的性质.同时各测点的同阶模态振型乘以同一因子时,并不改变模态振型的特征.因此,互相关函数可以用来替代脉冲响应函数进行环境激励下的模态参数识别.
为了使用该方法,将一个响应信号作为参考信号,该参考信号和其他响应信号可以求得互谱密度函数,对互谱密度函数进行傅里叶逆变换就能够得到互相关函数.参考信号位置的选择必须考虑到在那个位置所有的模态都能够被观测到.如果参考信号位置在某一模态的节线上,那么该模态就不能被识别出来.
2 特征系统实现算法（ERA法）
特征系统实现算法的基本思想是根据系统的脉冲响应函数（或自由响应）的离散时间序列,构成广义的Hankel矩阵,然后对它进行奇异值分解,通过奇异值分解的结果得到系统的最小实现,最后对最小实现的状态矩阵进行特征值分解,可得到系统动力学参数.
考虑m个输入、n个输出的N个自由度线性时不变系统,在时间离散域上的状态方程和观测方程可分别写成下列形式:
（13）
（14）
式中:
x（k）为kΔt时刻系统的状态矢量（2N维）;y（k）为kΔt时刻系统响应矢量（n维）;p（k）为kΔt时刻系统激励矢量（m维）;A是系统矩阵（2N×2N）;B是控制矩阵（2N×m）;C是输出矩阵（n×2N）;其中kΔt为采样时间间隔.
矩阵（A,B,C）反映了系统特征.特征系统实现算法是给定y（k）去构成系统的（A,B,C）,也就是要求辨识一组状态方程的内部描述去实现所要求的外部特性.但对同一输入输出关系,有无穷多个系统实现,人们感兴趣的是其中状态空间模型阶数最小的实现,称为最小系统实现.对应最小阶系统实现的特征值集称为固有特性参数.
对式（13）和式（14）进行z变换,得到:
由上面两式可以得到:
（15）
系统传递函数矩阵（n×m）:
（16）
或
（17）
因单位脉冲响应函数矩阵H（k）与传递函数矩阵服从z变换对,由式（17）可以得到下列脉冲响应函数矩阵序列式（18）,也称Markov参数.由Markov参数可组成下列（r+1）×（s+1）广义Hankel矩阵,如式（19）所示.
（18）
（19）
或
（20）
式中:
].
如果系统是完全可控和可观测的,则可控性矩阵Q和可观测性矩阵P的秩都是2N.系统的阶数为2N,则系统矩阵的秩为2N.理想情况下,Hankel矩阵的秩为2N.但由于噪声干扰,由实测数据生成的H（k-1）会有秩的亏损.当r与s的值足够大后,矩阵的秩才保持不变.适当地选择r与s的值,既保持矩阵的秩不变,又使H（k-1）尺寸最小.
由式（20）,得到:
（21）
对上式进行奇异值分解,得到:
（22）
其中U,V是归一化正交矩阵,Σ为对角矩阵:
其中,并且.
矩阵H（0）的秩可由非零奇异值的个数确定.
（23）
式中:
U2N、V2N分别由U和V前2N列构成的矩阵.
假设存在一个矩阵H*,满足下列关系:
（24）
式中:
I2N是2N阶单位矩阵.
由式（21）和式（24）,得到:
上式说明:
H*是H（0）的一种广义逆矩阵,便可得到下式.
（25）
式中:
）.
引进矩阵:
].
式中:
0m、0n为m阶、n阶零矩阵;Im、In为阶m、n阶单位矩阵.
由式（19）和式（20）得到:
进一步,上式可化为:
上式与式（18）比较,两者由极其相似的形式,即h（k+1）=CAKB.
式中:
（26）
上列关系是特征系统实现算法的基本公式,系通过奇异值分解获得最小阶系统实现.应该指出,由于测量噪声、结构的非线性影响和计算截断误差影响,H（k）的秩不一定等于系统真实的阶次,还需通过一定准则剔除噪声模态.
解矩阵A的特征值问题,可得到特征值λi和相应的特征矢量φi,有下式成立:
（27）
式中:
λ=diag[λ1 λ2 … λ2N],Φ=diag[φ1 φ2 … φ2N].
考虑拉氏变换与z变换的关系:
（28）
可求下列模态参数:
结构模态与噪声模态的鉴别.
引入模态幅值相关因子γ来评估模态置信度.在模态空间上,线性时不变系统的特征值和特征矢量是确定量,而噪声模态具有随机性.引入模态幅值相关因子γ,通过某阶实测模态的幅值与真实模态的幅值在时间历程上的相关程度鉴别结果模态和噪声模态,一般认为,γ≥0.5即可认为所识别的模态为结构本身真实的模态.
在t=kΔt（k=0,1,…,r-1）离散时刻,单位脉冲响应函数矩阵序列的值为:
（29）
同样
（30）
式中:
β是由噪声干扰产生的误差矩阵.
将式（29）和式（30）进行比较,得到:
（31）
考虑到第i阶模态,式（31）可写成:
（32）
β越小,表明第i阶模态具有理想线性特性,模态的纯度越高.
实测的模态幅值时间历程可根据Hankel矩阵分解得到:
（33）
利用辨识的特征值外推的模态幅值时间历程为:
（34）
式中:
[b1 b2 … bn]=Φ-1B.
这样,第j阶模态的幅值相关因子为:
（35）
γj在0和1之间取值.γj→1表明该阶模态接近真实模态;γj→0表明该阶模态是噪声模态.
3 NExT/ERA算法操作流程
NExT/ERA算法的应用可以归纳为以下几步:
（1）选择合适的参考点;
（2）计算各测点与参考点的互相关函数;
（3）选择合适的互相关函数数据构造Hankel矩阵H（0）;
（4）对Hankel矩阵H（0）进行奇异值分解,计算出U2N、V2N及Σ2N;
（5）构造Hankel矩阵H
（1）,并且得到系统最小实现的矩阵;
（6）计算矩阵A的特征值和特征向量;
（7）剔除虚假模态,最后得到结构的模态参数.
4 NExT/ERA算法数值仿真算例
以东海大桥监测数据作为算例进行数值分析.
东海大桥是我国第一座真正意义上的跨海大桥,工程起点为芦潮港客运码头东侧约5.6km,靠北约1.4km的海滩与现有老大堤的交接处,终点为浙江省嵊泗县崎岖列岛的小城子山（进入洋山深水港区的接线点）,芦潮港至小城子山线路总长度约32km.其中大桥海上段约28km.大桥设主通航孔桥一座,为双塔单索面半漂浮体系叠合梁斜拉桥,主塔为倒Y型钢筋混凝土结构,塔高150m,主跨420m,大桥南北走向,其从北向越东偏1.18°.
东海大桥作为上海国际航运中心洋山深水港区重要的配套工程,为保证东海大桥交通畅通和提高大桥的维护管理水平,东海大桥上安装了结构健康监测系统.大桥健康监测系统将大桥分8个区段,共计478个传感器.其中主航道斜拉桥位于第5区段,安装有169个传感器,实时监测大桥的加速度响应、位移响应、风速/风向、大气温度、结构温度、索力、结构应变,伸缩缝位移等（图1）.
主梁布设了14个竖向加速度传感器和7个横向加速度传感器,分别布置在主跨的1/4、跨中和边跨的跨中,共计7个断面,每个断面布设两个竖向加速度传感器和一个横向加速度传感器,其传感器布设的横向和立面图如下:
用NexT/ERA算法识别系统的模态特性,获得数据如表1所示:
表1中给出了所识别出的15阶系统模态参数,图1至图10是前10阶模态振型图.在计算中发现,所取Hankel矩阵的阶数越高,识别出的系统模态阶次越多,但是,当Hankel矩阵阶数达到一定值时,所识别出的模态阶数不再变化,达到稳定的状态.
本研究中所用的14个传感器采集的都是东海大桥的竖向加速度,所以识别出的模态都是竖向弯曲模态或者扭转模态,横向弯曲并未识别出来.
5 总 结
介绍了一种环境振动模态分析的时域算法:
自然环境激励技术和特征系统实现算法结合,称为NExT/ERA法.针对结构振动的离散状态空间数学模型,逐步推演了NExT/ERA算法流程并给出了相应的理论解释.最后对一座双塔单索面半漂浮体系叠合梁斜拉桥数值模型进行仿真分析,通过模拟该结构在平稳随机白噪声激励下的响应,应用NExT/ERA算法识别出该斜拉桥的部分模态参数,并对所得结果进行了分析.
参考文献:
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[7] LUOK.Applicationofstructuralmodalparameteridentificationbasedonnaturalexcitationtechnique[D].Wuhan:
WuhanUniversityofTechnology,2010.
（责任编辑：
顾浩然）
基金项目:
MTS土木结构试验系统在桥墩低周反复试验中的准确性和稳定性研究（SK201420）
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