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月上柳梢头数模论文doc
月上柳梢头
摘要
本题是一个分析古诗中的天体运行规律，对其进行数学描述并预测的问题。
本文根据人的视角特点，结合古诗所描述的情景，给出了“月上柳梢头”现象的量化定义；根据民用晨光昏影的天文学描述给出了“黄昏后”现象的量化定义；通过太阳高度角计算公式以及“黄昏后”量化定义建立了基于民用昏影定义的“黄昏后”时间计算模型，解决了“黄昏后”时间段的计算问题；通过仿照太阳高度角对月亮高度角进行计算刻画，结合月亮的黄经黄纬天体位置描述，建立了基于月亮高度角的“月上柳梢头”时间计算模型，解决了“月上柳梢头”时刻的计算问题，同时指出古诗所发生的现象只出现在满月时期；利用2008年伦敦的天体数据对模型进行检验，发现仿真效果良好后，根据模型对2016年中国几大城市的两大现象的出现时间作出了计算预测。
针对问题一，我们首先基于人们的视角特点，给出了“月上柳梢头”现象的量化定义为月亮高度角15°的时刻；依据民用昏影的现象描述结合古人的生活作息习惯，获取了“黄昏后”时间段的量化定义为日落时刻到民用昏影终时刻，即太阳中心与地平角度从0°变化到地平下6°的时间段。
随后，主要根据太阳高度角以及月亮高度角对于时刻的刻画，建立起了“黄昏后”时间计算模型以及“月上柳梢头”时间计算模型。
为了保证模型的实用性以及所得结果的准确性，所以用了2008年伦敦格林威治天文台的天体数据对模型进行检验，以决定系数为模型准确性的主要衡量标准，算得“黄昏后”时刻计算模型中的日落时刻决定系数为0.978713382，昏影终时刻的决定系数为0.970194235，而“月上柳梢头”时刻计算模型的决定系数为0.98277451。
所以可以说这两个模型的假设合理，仿真性较好，是一个计算准确，切实可行的数学计算模型，可以用于问题二中2016年的中国几个城市的这两大现象的预测分析。
针对问题二，我们需要对上面所建立的两个模型进行应用，应用上面所建立起来的数学模型预测分析2016年北京地区的“月上柳梢头”以及“人约黄昏后的”的发生时间，以“月上柳梢头”时刻与“黄昏后”时间段的重合作为是否能发生此情境的可能性判断，算得在背景其发生时间为2月22日的17点59分34秒。
同时我们利用上面的模型判断哈尔滨、上海、广州、昆明、成都、乌鲁木齐等地会同时发生这两种现象，且大部分地方一年发生两次“月上柳梢头，人约黄昏后”现象，并得出了其发生的时间主要几种在2016年的2月22日和12月13日。
关键词：
晨光昏影月亮高度角决定系数量化定义
1.问题重述
1.1背景
由于古代所采取的日历为根据月相变化而定的阴历，所以古人的大部分重要节日活动都与月亮这一与我们生活息息相关的天体运动有关。
故而有过大量优美的诗句，或多或少、直接间接地都描述了月亮的运动规律，因此借助于研究欧阳修的名句“月上柳梢头，人约黄昏后”来了解月球这一个与人类生活密切相关，离地球最近的天体对于我们而言是十分有必要的，通过观测月球的运行规律，结合天文学的知识观点和数学的数据分析来解释甚至是预测它发生的日期与时间更加有助于了解地球与月亮的关系和验证一些天体运行的规律。
1.2数据
由于本题问题中并没有提供数据，所以本文从政府官方统计网以及论文中自行搜集某地观测天体运行数据，如某一地点，某天的日出日落时间、月出月落时间、月亮方位角等。
1.3问题
“月上柳梢头，人约黄昏后”是北宋学者欧阳修的名句，写的是与佳人相约的情景。
想要分析出本诗句所描述的情景所出现的日期，我们首先要建立太空中的太阳坐标系，以此来描述月球的运行位置，随后根据地心天顶距以及月亮高度角的关系通过合理的简化和模型分析建立数学建模来对某地某天的月出月落时间进行描述与预测，进而解决本题所提出的以下问题：
问题一：
通过天文学的知识来定义“月上柳梢头”时的月亮高度角；同时，研究晨昏蒙影时间与“黄昏后”时间的关系，从而对“黄昏后”的时间进行定义。
问题二：
根据天体运行规律，合理地提出模型假设，进而确定日落时间以及太阳高度角的公式，以此根据黄昏后的定义转化建立模型计算“黄昏后”时间。
问题三：
根据月球运动规律，判断出现“月上柳梢头，人约黄昏后”现象的相近月相，然后利用月亮高度角的计算公式建立计算“月上柳梢头”所发生时间的数学模型。
问题四：
利用所查找的某地某年的天体运行数据对模型的准确性进行检验。
问题五：
根据模型，分析2016年北京地区的“月上柳梢头”以及“人约黄昏后的”时间，以及判断哈尔滨、上海、广州、昆明、成都、乌鲁木齐等地是否能发生此情境。
2.问题分析
在古代，人们都习惯于观察月色来判定时间，故月亮一直以来都扮演着一个不可替代的重要角色。
自古以来，“月上柳梢头，人约黄昏后”描绘了一个诗情画意的浪漫时光，那么为了准确得知此情境发生时所需的时间地点，月亮的状态，本文首先给一些专业名词进行解释且利用天文官方统计数据着力探讨日出日落，月出月落以及月亮方位角等方面的计算公式，构建一个数学模型。
利用某地的数据对本文的模型进行检验，再利用其来有效分析北京等地区能否能发生“月上柳梢头，人约黄昏后”的唯美情境。
2.1对于问题一
问题一需要定义黄昏后时间以及月亮高度角，问题一的存在主要是由于在后面计算模型中的月亮高度角以及黄昏后时间需要一个可以被用于量化描述的标准，所以为了后面问题解答的方便以及必要性，首先我们必须对“月上柳梢头”以及“黄昏后”这两个现象定义一个合乎天文学知识而又能够利用数学知识予以量化的准确界定标准。
为此，我们广泛参照和阅读了天文学数据，通过合乎情理的推理，得出科学的界定如下：
“黄昏后”：
关于黄昏后的时间范围可以用晨昏蒙影中的昏影终时间进行定义，而晨昏蒙影有根据不同的意义划分为了民用晨昏蒙影、航海晨昏蒙影和天文晨昏蒙影分别对应于太阳中心在地平以下6°、12°、18°。
而在其中，民用晨光始或民用昏影终是指从民用晨光始到日出或从日没到民用昏影终的一段时间，这时天空明亮，可以进行户外作业；航海晨光始或航海昏影终是指从航海晨光始到民用晨光始或从民用昏影终到航海昏影终的一段时间，此时周围景色模糊，星象陆续消失或陆续出现；天文晨光始或天文昏影终是指天空背景上开始显示或不再显示日光影响，即为将脱离或呈现黑夜的景象。
而考虑到古代的生活作息时间较早，所以我们认为诗歌中的“人约黄昏后”中的黄昏后时刻可以定义为民用昏影终，即将“黄昏后”时间定义为日落到民用昏影终的这段时间。
“月上柳梢头”：
月亮高度角就是指月球相对于某时某地地平的角距离，而根据人们的观测天文的视角特点，我们可以将“月上柳梢头”的月亮高度角可以大致设为10°—20°。
随后，根据题设的“月上柳梢头，人约黄昏后”的条件下，主要基于人的正常视角的特点，不妨规定“月上柳梢头”的月亮高度角为15°。
2.2对于问题二
问题二中我们需要确定黄昏后以及太阳高度角之间的关系，进而根据黄昏后的定义转化建立起日落时间的计算模型。
出于计算方便以及考虑主要误差的原因，我们可以先忽略影响较少，而且分析较为繁琐的太阳视半径、大气折射等天文、气象等因素。
首先，由于我们在问题一中已经将“黄昏后”定义为了民用蒙影终，由于蒙影是高空大气对太阳光的散射所造成的，它的明亮程度，决定于太阳中心地平以下的高度，而我们知道民用蒙影终是指日落或日出到太阳中心在地平以下6°的一段时间。
接着，我们先计算出太阳的日落时间，由于天体升起和落下的时角由观测点的纬度和天体的赤纬决定。
而观测点的纬度我们可以由官方统计中轻易地获得，所以现在问题在于如何计算出太阳的赤纬。
而太阳的赤纬可以根据和初始时间点1月1日的时间差来进行计算，由此可以得到太阳赤纬变化一个反正弦曲线，最后就可以利用空间球面上的三角函数已经反三角函数的知识的换算推出其中的关系，进而推算得到太阳落下的时角，最后再将时角和地方时进行换算便可以得到太阳落下的时间。
进一步，再根据晨光昏影计算公式算出昏影终或晨光始的时刻，其中大的是昏影终时刻，小的是晨光始时刻，随后根据“黄昏后”的时间定义知黄昏后时间为从日落时刻开始到昏影终时刻这段时间，进而可以得到黄昏后的维持时间。
但是，这样计算得到的误差在某些时间上会非常的显著，主要是由于以下两点：
1、平太阳时和真太阳时的差距
我们所有的时间是平太阳时，由于地球轨道的偏心率和黄赤交角的存在，会导致其在赤道上的投影不是匀速运动，换而言之，每个真太阳时的长度是不一样的！
所以太阳过中天并不一定是12点，而是会有一段偏差必须将其修正才能得到更精确的结果。
2、大气折射和太阳视圆面的影响
由于太阳不是一个点，当其上缘切地平线的时刻，就算日出了，而它的中心距离地平线还会有15′的差距。
与此同时，由于大气折射会将天体的位置变得比实际更高一些，一般来说，对于地平线附近的天体，大小大概是37′。
两者相叠，大约会有52′左右，也就是当太阳的天顶距在90°52′时，看起来就已经升起了，这也必须要进行修正方可以得到正确准确的黄昏后持续时间计算模型。
2.3对于问题三
我们根据问题一的“月上柳梢头”定义，可以首先假设“月上柳梢头”现象出现时的月亮高度范围，接着我们可以模仿太阳高度角的计算公式，相似地给出月亮高度角的计算公式，然后根据我们所查询的资料给予月亮高度角计算公式的修正。
由于在太阳高度角计算公式中，太阳高度角与时间相关，同理月亮高度角计算公式也是如此，故而由此可以反推出时间与月亮高度角之间的计算公式，借此就可以求出月上柳梢头的月亮高度角的观测时间,然后将每个月的满月时的“黄昏后”时间计算出来的结果进行比较。
如果刚好存在某天的黄昏时间（可能存在多个）,则这天便是我们的所需日期,即此正是“月上柳梢头,人约黄昏后”的日期。
2.4对于问题四
由于用于解决计算“黄昏后”时间和“月上柳梢头”时刻问题的数学模型是进行过适当简化的，然而其假设化简的合理度还没有得到验证，所以在本问题中我们需要利用2008年英国伦敦格林威治天文台的天体运行数据，如日出日落、月出月落等可以由官方统计数据网中轻易获得的数据来对模型的准确性进行检验，而模型的准确性则可以利用所预测出来的数据与实际数据间的决定系数来进行衡量，若决定系数
则说明我们所得到的计算模型是化简合理，计算方便，切实可行的数学计算模型，可以用于下面问题五的预测。
2.5对于问题五
问题五则是对于上面我们所建立的模型的一个应用，我们首先需要通过官方数据统计网来获取某地的经纬度数据，然后将2015年某地的天体运行数据作为2016年的天体运行数据，应用上面所建立起来的数学模型预测分析2016年北京地区的“月上柳梢头”以及“人约黄昏后的”时间，同时判断哈尔滨、上海、广州、昆明、成都、乌鲁木齐等地是否能发生此情境。
3.名词解释
（1）太阳赤纬：
即地球赤道平面与太阳和地球中心的连线之间的夹角。
（2）晨昏蒙影：
视日出前和日落后，天空发亮的现象，在日出前的成为晨光，在日落后的成为昏影。
晨光和昏影合称为晨昏蒙影，简称蒙影。
（3）民用蒙影：
即指日落或日出到太阳中心在地平以下6°的一段时间。
（4）黄昏持续时间：
根据实际的情况，从日落时间开始到昏影终这一段时间。
（5）儒略日数：
以公元前4712年1月1日为历元（史家为公元前4713年1月1日）的一种不记年与月，只记日的历法。
（6）黄赤交角：
地球公转轨道面（黄道面）与赤道面（天赤道面）的交角，约为23°26'。
（7）黄经：
黄经（太阳经度或天球经度）是在黄道坐标系统中用来确定天体在天球上位置的一个坐标值（另一个值是黄纬），在这个系统中，天球被黄道平面分割为南北两个半球。
（8）黄纬：
指天球黄道坐标系中的纬度。
（9）月亮高度角：
月球相对于某时某地地平的角距离。
4.假设与符号说明
4.1模型假设
（1）假设“黄昏后”以及“月上柳梢头”现象发生在满月的农历十五十六，故而只需要计算每月农历十五十六这两天的数据。
原因：
古诗“月上柳梢头，人约黄昏后”所描述的情景是黄昏之后，月亮就上升到柳树顶上的高度，也就是这边太阳刚落下，这时月亮已升起，说明地球在太阳、月球的中间，三者大约处于一条直线上。
故而，根据月相我们可以知道此时是月中接近满月的时候，所以我们只考虑每月的农历十五十六两天。
（2）从计算方便和误差较小的角度出发，可以忽略影响较少，而且分析较为繁琐的太阳视半径、大气折射的天文、气象因素，将太阳和月亮均视作天空中的一点，以太阳中心以及月亮中心代替。
原因：
这样的误差因素主要是由于我们计算的是平太阳时和不均匀的真太阳时之间存在的误差，同时大气折射和太阳视半径稍微改变了天体在天空中的位置误差。
但是在短期预测中这样带来的误差只会在冬天带来大约15分钟的误差，而平时的误差不会超过3分钟，故而可以将这些因素忽略不计。
（3）假设月上柳梢头现象出现时的月亮高度角为15°。
原因：
我们由柳梢的高度，以及人的抬头观测天体的视角特点，“月上柳梢头”现象出现的月亮高度角范围应该为10°—20°，因此我们取其中的平均值15°来作为“月上柳梢头”现象出现的月亮高度角估计值。
（4）假设儒略日数的计算起点以1900年1月0日12时作为计算的起点。
原因：
在传统的儒略日数的计算过程中我们是定义儒略日数的起点历年是公元前4713年1月1日12时作为起点进行计算，而我们根据转化计算公式，可以将1900年1月0日12时作为儒略日数的计算起点。
（5）获取城市经纬度数据时，将城市几何中心的经纬度作为该城市的经纬度代表。
原因：
如果我们计算整个城市每一点经纬度发生“黄昏后”以及“人月柳梢头”现象，计算所耗精力与人力将会记为庞大，故而将城市几何中心的经纬度作为该城市的经纬度代表，进行数据计算。
4.2符号说明
序号
符号
单位
意义
1
度
观测点地理纬度
2
度
观测点地理经度
3
年
观测所在年份
4
月
观测所在月份
5
日
观测所在日
6
时
观测时间
7
天
观测日期
8
天
为日序，从观测年1月1日始到观测日期
的天数
9
弧度
太阳赤纬
10
度
太阳中心在地平以下的角度
11
TE
时
晨光始或者昏影终的时刻
12
TD
时
日落时刻
13
天
儒略日数
14
T
天
儒略世纪数
15
h
太阳平黄经
16
s
弧度
月亮平黄经
17
p
弧度
月亮在近地点平黄经
18
n
弧度
月亮升交点平黄经
19
弧度
月亮黄经
20
弧度
月亮黄纬
21
S
弧度
观测点的地方恒星时，其中
为世界时为零时的恒星时
22
弧度
月亮高度角
5．模型建立与求解
5．1基于民用昏影定义的“黄昏后”时间计算模型
从上面的“黄昏后”时间定义，我们知道所谓的“黄昏后”时间段是指从每天的日落时刻到民用蒙影终的这一段时间，从天文学知识上来讲，也就是说太阳高度角到地平以下6度的这一段时间，我们可以先通过天文学知识来计算出这两个太阳高度角状态下的时角，然后将时角转化为地方时即可。
所以，现在进行便建立计算日落时刻与民用蒙影终时刻。
5．1．1民用昏影终计算模型
晨昏蒙影是日出前和日落后，天空发亮的现象，在日出前的成为晨光，在日落后的成为昏影。
晨光和昏影合称为晨昏蒙影，简称蒙影。
这种现象是由于大气散射太阳光所引起的，与季节、当地经纬度和海拔高度以及气象条件等有关。
但对于它的明亮程度影响最大的因素应该是太阳中心在地平以下的高度，也就是所决定于太阳高度角的地平以下的高度。
而其中民用晨昏蒙影是指日落或日出到太阳中心在地平以下6°的一段时间。
所以，所谓的民用晨光始或者是昏影终的时刻可以由下式算出
（1）
其中
为太阳中心在地平以下的高度，在这里,我们使用民用晨昏蒙影,即令
；而
则是太阳赤纬。
然而，在这里我们还需要求出太阳赤纬，由于太阳赤纬是地球赤道平面与太阳和地球中心的连线之间的夹角，而且赤纬角是以年为周期，在纬度+23°26′与-23°26′的范围内移动的，所以应该是一个周期性的三角函数。
但是在这里，由于我们计算的大多是以天数为单位的短期数据，而太阳赤纬的日变化很小，所以在短期预测中一年内的太阳赤纬角可以用以下式子进行计算：
（2）
由以上的式
（1）
（2）我们便可以求出蒙影终时刻，但是由于余弦函数由两个解，所以最后会计算出两个值，其中一个大的就是我们所要的昏影终时刻，小的为晨光始时刻，在最后计算出来后需要对数值解进行甄别，取出大的数值记为我们所需要的昏影终时刻记为TE。
5．1．2日落时刻计算模型
从我们的模型假设中，我们已经假设了不考虑在大气层中的空气折射以及太阳的视半径对于太阳在空中视位置偏差的影响，进而我们类似于上面的昏影终计算方法，得到下面的日落时间计算式子如下：
（3）
5．1．3基于“黄昏后”定义的黄昏后持续时间计算
我们根据古诗所描述的情景以及古人的生活作息的实际的情况，综合考虑定从日落时刻开始到昏影终时刻的这一段时间为黄昏持续时间，故而黄昏时间为
∽
设为
。
5．1．3模型求解
我们首先查询了题目所要求的各城市的经纬度，将所求经纬度列城经纬度表如下所示：
表一：
题目要求城市经纬度列表
城市名
经度
纬度
北京
116.3833
39.9
成都
104.0833
30.6666
广州
113.2666
23.1166
哈尔滨
126.65
45.7666
上海
121.4666
31.2333
乌鲁木齐
87.6
43.7833
接着，再根据表一的数据以及上面所建立的基于民用昏影终定义“黄昏后”的计算模型，将上述的函数编程为自定义函数（程序详细请看附录一），利用MATLAB强大的数值计算能力算出了题目所要求的几个城市2016年的黄昏后时间段（表格中的数据均以十进制的小时为单位），如下表格所示（下面仅列出北京2016年的黄昏后时间表，其余表格详请看附录二）：
表二：
2016年北京每月满月时“黄昏后”时间段表
日期
日落时间
蒙影终时间
1月24日
19.1620
19.5773
1月25日
19.0753
19.5164
2月22日
19.8595
20.2594
2月23日
19.7428
20.1634
3月23日
20.4568
20.9313
3月24日
20.4228
20.8843
4月21日
20.9158
21.3461
4月22日
21.0476
21.348
5月21日
21.6339
22.128
5月22日
21.5413
22.0248
6月19日
21.8561
22.2868
6月20日
22.0452
22.4456
7月18日
21.8643
22.2642
7月19日
21.8667
22.2665
8月17日
21.0672
21.5077
8月18日
21.0476
21.448
9月15日
20.5403
21.0237
9月16日
20.4228
20.8843
10月15日
19.5261
19.8873
10月16日
19.5155
19.9196
11月14日
18.8619
18.2923
11月15日
18.7139
19.1535
12月13日
18.5453
19.0293
12月14日
18.5931
19.0412
5．2基于月亮高度角的“月上柳梢头”时间计算模型
5．2．1月亮相对观测点位置描述模型
某一观测点在某一时刻月亮在太空中的坐标在天文学中可以用天文参数来表示，其中在《月亮高度及升降时刻与方位计算》一文中便给出了确定月亮位置的太阳参数表示如下两式表示：
（4）
（5）
其中h为太阳平黄经，而
为黄赤交角。
后来布朗于1919年给出了月亮位置的补充天文参数，即月亮平黄经的计算方法
，式子如下所示：
（6）
（7）
（8）
其中s为月亮的平黄经，其角速度为每小时0.5490165°，p为月亮在近地点的平黄经，其角速度为0.0046418°，N为月亮升交点的平黄点，其角速度为每小时0.000002°。
以上所有式子中的T表示儒略世纪数，由于儒略日数
是自1900年1月0日12时起至计算时刻之间的一个独立的连续不间断的计算天数，故而考虑到年份、闰年情况以及1900年1月0日的12小时这三个因素的情况下，可以用以下的式子进行计算：
（9）
而儒略世纪数是儒略日数来进行计算的，所以由上面儒略日数的定义可以得到计算的方法如下式所示：
（10）
由上面的天文参数就可以求出某一时刻的月球的黄经和黄纬如下式所示：
（11）
（12）
进而，从月球的某一时刻的月球位置黄经黄纬可以得到观测点的地方恒星时如下所示：
（13）
其中
为世界时为零时的恒星时,可以在天文年历中查得。
5．2．2“月上柳梢头”时间计算模型
单单是知道月亮相对于观测点在太空中的位置仍然无法利用起我们对于“月上柳梢头”的量化定义，所以我们需要将月亮相对于观测点的位置转换为用月亮高度角来进行表示，建立起月亮黄经黄纬与月亮高度角之间的关系，由于月亮高度角
就是月球相对于某地某一时刻的地平的角距离，所以参考了多篇文献
与仿照太阳高度角计算公式我们可由下面的式子算出月亮高度角：
（14）
进而得到：
（15）
我们先利用（15）式，求出S，此时其以弧度为单位,然后再利用（13）式，就可以利用“月上柳梢头”的月亮高度角求出观测时间
然后与“黄昏后”时间计算出来的结果进行比较。
如果
刚好被包含在某天的“黄昏后”时间（可能存在多个）或者是相互覆盖的时间区间最多,则将这天是或者最有可能是我们的所要求日期,设为
即此正是“月上柳梢头,人约黄昏后”的日期与时间。
5．2．3模型求解
我们根据表一所给出的各城市的经纬度数据以及上面所建立的“月上柳梢头”时刻计算模型，将上述的模型中的函数编程为自定义函数（程序详细请看附录三），利用MATLAB强大的数值计算能力算出了题目所要求的几个城市2016年的“月上柳梢头”时刻（表格中的数据均以十进制的小时为单位），由于需要对比“月上柳梢头”时刻与“黄昏后”时间段的重合，故在表二的基础上增添数据形成对比表格，如下表格所示：
（下面仅列出北京2016年的“月上柳梢头”时刻与“黄昏后”时间段对比表，其余表格详请看附录四）：
表三：
2016年北京的“月上柳梢头”时刻与“黄昏后”时间段对比表
日期
日落时间
蒙影时间
月上柳梢头时间
1月24日
17.3863
17.8228
17.9125
1月25日
17.3707
17.7938
18.8531
2月22日
17.9812
18.2896
17.9929
2月23日
17.8255
18.1754
18.5732
3月23日
18.3991
18.6016
18.3678
3月24日
18.4915
18.7176
19.2534
4月21日
18.9792
19.1756
18.0567
4月22日
19.1680
19.6226
18.9135
5月21日
19.4145
19.8942
18.8857
5月22日
19.3364
19.7705
19.7752
6月19日
19.4143
19.89
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