函数及其表示.docx
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函数及其表示
函数及其表示
一、函数的概念及其构成要素
函数在数学上的定义：
给定一个数集A,对A施加对应法则f,记作f（A）,得到另一数集B,也就是B=f（A）.那么这个关系式就叫函数关系式,简称函数.
例:
设数集A={1、2、3、4、5},对A施加对应法则求平方，得B={1、4、9、16、25}也就是B=f（A）=A^2，这个关系式就是函数
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数
和它对应，那么就称
为从集合A到集合B的一个函数，记作
或
。
其中x叫作自变量，
叫做x的函数，集合
叫做函数的定义域，与x对应的y叫做函数值，函数值的集合
叫做函数的值域，
叫做对应法则。
其中，定义域、值域和对应法则被称为函数三要素。
定义域，值域，对应法则称为函数的三要素。
一般书写为
。
二、判断两个函数是否为同一个函数
若两函数定义域相同,对应法则也相同,则称这两个函数相等。
其实就是看两个方面：
1、看定义域是否相同，如果定义域不同，就算函数式形式相同，也不是相同的函数。
例如函数f（x）=x和g（x）=x²/x，尽管当x≠0时，两个函数相等，但是f（x）的定义域是全体实数，g（x）的定义域是x≠0，定义域不一样，所以不是相同的函数。
2、定义域相同的情况下，看相同的x计算出来的函数值是否一样，如果有相同的x算出来的函数值不一样，那么就不是相同的函数。
例如f（x）=x和g（x）=|x|，定义域相同，但是当x＜0的时候，函数值不同，所以不是相同的函数。
如上述两个方面都相同，那么就一定是相同的函数了。
三、函数的定义域及其求法
1.如果f（x）为整式,其定义域是R
2.如果f（x）=x分之1,其定义域是x≠0
3.如果f（x）=根号x,其定义域是x≥0
4.如果f（x）=x0,其定义域是x≠0
5.如果f（x）是由几个部分的式子构成,定义域是使几个部分有意义的公共部分（交集）
6.已知f（x）的定义域是【1,2】,则f（x+1）的定义域是[0,1]
7.已知f（x+1）的定义域是【1,2】,则f（x）的定义域是[2,3]
四、函数的值域
1：
直接法：
从自变量的范围出发，推出值域，也就是直接看咯。
这个不用例题了吧？
2：
分离常数法
例题：
y=（1-x^2）/（1+x^2）
解，y=（1-x^2）/（1+x^2）
=2/（1+x^2）-1
∵1+x^2≥1，∴0＜2/（1+x^2）≤2∴-1＜y≤1即y∈（-1，1】
3：
配方法（或者说是最值法）
求出最大值还有最小值，那么值域不就出来了吗。
例题：
y=x^2+2x+3x∈【-1，2】
先配方，得y=（x+1）^2+1∴ymin=（-1+1）^2+2=2ymax=（2+1）^2+2=11
4:
判别式法
5：
换元法：
适用于有根号的函数
例题：
y=x-√（1-2x）
设√（1-2x）=t（t≥0）∴x=（1-t^2）/2∴y=（1-t^2）/2-t
=-t^2/2-t+1/2=-1/2（t+1）^2+1∵t≥0，∴y∈（-∝，1/2）
6：
图像法，直接画图看值域
7：
反函数法。
求反函数的定义域，就是原函数的值域。
例题：
y=（3x-1）/（3x-2）
先求反函数y=（2x-1）/（3x-3）明显定义域为x≠1所以原函数的值域为y≠1
五、函数的图像（无）
六、函数的值
对于自变量在取值范围内的一个确定的值x=a.函数都有惟一确定的对应值.这个对应值.叫作当x=a时的函数值。
七、函数的图像与图像变化
三种基本变换规律：
1．平移变换规律
（1）水平平移：
y=f（x+a）的图象,可由y=f（x）的图象向左（a>0）,或向右（a<0）平移|a|个单位得到.
（2）垂直平移：
y＝f（x）+b的图象,可由y＝f（x）的图象向上（b＞0）或向下（b＜0）平移|b|个单位得到.
2．对称变换规律
（1）y=-f（x）与y=f（x）的图象关于x轴对称.
（2）y=f（-x）与y=f（x）的图象关于y轴对称.
（3）y=f-1（x）与y=f（x）的图象关于直线y＝x对称.
（4）y=-f-1（-x）与y=f（x）的图象关于直线y＝-x对称.
（5）y=-f（-x）与y=f（x）的图象关于原点对称
3．伸缩变换规律
（1）水平伸缩：
y=f（ωx）（ω>0）的图象,可由y＝f（x）的图象上每点的横坐标伸长（0<ω<1）或缩短（ω＞1）到原来的倍（纵坐标不变）得到.
（2）垂直伸缩:
y＝Af（x）（A＞0）的图象,可由y＝f（x）的图象上每点的纵坐标伸长（A＞1）或缩短（0＜A＜1）到原来的A倍（横坐标不变）得到.
八、函数解析式的求解及常用方法
（一） 待定系数法
（2）换元法（注意定义域的变化）
（3）配凑法（注意定义域的变化）
（四）消元法
（5）赋值法
九、函数的表示法
列表法、图象法、解析式法
十、分段函数的解析式求法及其图像的作法（无）
十一、映射
映射是有方向的，只能说A到B的映射，允许“一对一“和”多对一”。
一、函数的概念及其构成要素
1.函数y=f（x）的图像与直线x=a的交点个数为（）
A,至少有一个B,至多有一个C,必有一个D,有一个或两个
2.已知函数y=f（x）（x∈D）的图象是曲线C，则直线x=a（a∈R）与曲线C的交点个数是（ ）
A．1个B．0个C．至多1个D．至少1个
3.下列从集合A到集合B的对应中为函数的是（ ）
A.A=B=N*,对应法则f:
x→y=|x-3|
B.A=R,B={0,1},对应法则f:
x→y=
C.A=B=R,对应法则f:
x→y=±
D.A=Z,B=Q,对应法则f:
x→y=
4.下列集合A到集合B的对应f是映射的是（ ）
A.A={-1，0，1}，B={-1，0，1}，f：
A中的数平方；
B.A={0，1}，B={-1，0，1}，f：
A中的数开方；
C.A=Z，B=Q，f：
A中的数取倒数；
D.A=R，B=R+，f：
A中的数取绝对值
5.下列从集合A到集合B的对应f是映射的是（ ）
A、
B、
C、
D、
6.下列从集合A到集合B的对应中为函数的是（）
A.A=B=N*,对应法则f:
x→y=|x-3|
B.A=R,B={0,1},对应法则f:
x→y=
C.A=B=R,对应法则f:
x→y=±
D.A=Z,B=Q,对应法则f:
x→y=
7.下列对应法则是从集合A到集合B的映射的是（ ）
A．A=R，B={x|x＞0}，f：
x→y=|x|
B．A={x|x≥0}，B={y|y＞0}，f：
x→y=√X
C．A=N，B=N+，f：
x→y=|x-1|
D．A=R，B={y|y≥0}，f：
x→y=x2-2x+2
8.下列各个对应中，从A到B构成映射的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9.在下列从集合A到集合B的对应关系中，不可以确定y是x的函数的是
①A＝{x|x∈Z}，B＝{y|y∈Z}，对应法则f：
x→y＝x/3；
②A＝{x|x＞0，x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应法则f：
x→y2＝3x；
③A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应法则f：
x→y：
x2＋y2＝25；
④A＝R，B＝R，对应法则f：
x→y＝x2；
⑤A＝{（x，y）|x∈R，x∈R}，B＝R，对应法则f：
（x，y）→s＝x＋y；
⑥A＝{x|－1≤x≤1，x∈R}，B＝{0}，对应法则f：
x→y＝0．
[ ]
A．①⑤⑥B．②④⑤⑥C．②③④D．①②③⑤
10,下列各图象中，哪一个不可能是函数 y=f（x）的图象（ ）
A．
B．
C．
D．
二、判断两个函数是否为同一个函数
1.下列各组中的两个函数表示同一函数的是
A.f（x）=√x^2,g（x）=（√x）^2
B.f（x）=x^2-1/x-1,g（x）=x+1
C.f（x）=√x+1·√x-1,g（x）=√x^2-1
D.f（x）=x^2-2x-1,g（t）=t^2-2t-1
2.下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A、
，
B、
C、
,
D、
3.下列各组函数中表示同一函数的是（ ）
4.在映射
中，
，且
，则与A中的元素
对应的B中的元素为（ ）.
A．
B．
C．
D．
x，x≥0
-x，x＜0
5.与y=|x|为同一函数的是（ ）
Ay=（√x）2By=√xCy=
x，x＞0
-x，x＜0
Dy=
6.下列各组函数中表示同一函数的是（ ）
A．f（x）=x与g（x）＝（√x）2
B．f（x）=|x|与g（x）=x（x＞0）
C．f（x）=x0与g（x）=1
D．f（x）＝x2−1/x−1与g（x）=x+1（x≠1）
7.下列四组函数中，f（x）与g（x）表示同一个函数的是（ ）
A．f（x）=x-1，g（x）=x2/x-1
B．B．f（x）=x2，g（x）=（√x）4
C．C．f（x）=x2，g（x）=3√x6
D．D．f（x）=1，g（x）=x0
8.下列函数中，与函数y=x（x≥0）有相同图象的一个是（ ）
三、函数的定义域及其求法
1.已知函数f（x）的定义域是[0,1],则函数f（3x+4）的定义域是____
2.已知f（x-1）的定义域为[2,4],则f（x+3）的定义域为_____.
3.已知函数y=f（x）的定义域为[-2,4],则f（x+1）的定义域为___
已知y=f（x+2）的定义域为[-2,4],则f（x）的定义域为___
若函数f（x+1）的定义域是[-2,3],则y=f（2x-1）的定义域为.___
已知y=f（x）的定义域为[-1,2],则y=f（x）+f（-x）的定义域为.___
4.
A.[-3，1]B.（-3，1）C.RD.∅
5.
（1）已知函数f（x）的定义域是[-1,4],求函数f（2x+1）的定义域___.
（2）已知函数f（2x+1）的定义域是[-1,4],求函数f（x）的定义域.___
四、函数的值域
1.
2.已知函数f（x）=x2-4x+5，x∈[1，4]，则函数f（x）的值域为______．
3.已知函数f（x）=x^2-4x,x属于「1,5」,则函数f（x）值域
4.已知函数f（x）=-x2+4x，x∈[m，5]的值域是[-5，4]，则实数m的取值范围是（ ）
A.（-∞，-1）B.（-1，2]C.[-1，2]D.[2，5）
5.函数f（x）=x2-4x+6，x∈[1，5）的值域是______．
6.二次函数f（x）=x2-4x（x∈[0，5]）的值域为（ ）
A.[-4，+∞）B.[0，5]C.[-4，5]D.[-4，0]
7.
8.函数y=√（1＋x）-√（1－x）的值域是（）
五、函数的图像
1.一水池蓄水40m3，从一管道等速流出，50min流完，则水池的剩余水量Q（m3）与流出时间t（min）的函数关系图象可表示为（）
A．
B．
C．
D．
2.函数y=|x+1|的图像
3.画出函数y=|x-1|的图象．
4.下面的图象可表示函数y=f（x）的只可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
5.下列图象中不能表示函数的图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6.下列图象中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7.下列图象中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8.下列各图中，不能表示函数y=f（x）的图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
六、函数的值
1.若f（x+3）=x-1，则f（x）=
2.若f（x）=√（x+1）,则f（3）=
3.若函数g（x+2）=2x+3，则g（3）的值是______
4.若函数f（x）={f（x+2）,x<2或2^-x,x>=2，则f（-3）的值为
5.已知函数f（x－1）＝x2－3,则f
（2）的值为
6.已知函数f（x+1）=3x²+5则f
（2）的值为多少
7.已知函数y=f（x）,满足f
（1）=2,且f（x+1）=3f（X）则f（3）的值为_______________
七、函数的图像与图像变化
1.将函数y=f（x）的图象沿x轴向右平移2个单位，所得的图象为y=|x-2|，则y=f（x）的函数式为（ ）
A．y=|x+2|B．y=|x|C．y=|x|+2D．y=|x|-2
2.将函数y=2x2向左平移一个单位，再向上平移3个单位后可以得到（ ）
A．y=2（x+1）2+3B．y=2（x-1）2+3C．y=2（x-1）2-3D．y=2（x+1）2-3
3.将y=2x2的函数图象向左平移2个单位长度后，得到的函数解析式是（ ）
Ay=2x2+2By=2（x+2）2Cy=（x-2）2Dy=2x2-2
八、函数解析式的求解及常用方法
1.已知f（x-1）=x2+4x-5，则f（x）的表达式是______．
2.已知f（x+1）=x2-4,则f（x-1）=
3.
（1）已知f（x+1）=x2+4x+1，求f（x）；
4.
5.若函数f（2x+1）=x^2-2x,则f（3）等于多少
6.若函数f[g（x）]=6x+3且g（x）=2x+1，则f（x）等于（ ）
A.3B.3xC.6x+3D.6x+1
7.若函数f（x）=x3+x+1，若f（a）=2，则f（-a）的值为（ ）
A．3B．0C．-1D．-2
九、函数的表示法
1.下列图形中可以表示以M={x|0≤x≤1}为定义域，以N={y|0≤y≤1}为值域的函数的图象（）
A、
B、
C、
D、
2.已知f（x）与g（x）分别由下表给出：
那是f[g（3）]=______．
x1234
f（x）4321
x1234
g（x）3142
3.下列图象可作为函数y=f（x）的图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
十、分段函数的解析式求法及其图像的作法
1.设f（x+1）=x^2-3x+2，则f（x）=（）
2.f（x）=x/|x|的图象是
3.已知f（根号x+1）=x+1,则函数f（x）的解析式为多少
十一、映射
1.
2.设集合A={a，b}，B={0，1}，则从A到B的映射共有（ ）
A.2个B.4个C.6个D.8个
3.若f：
x→|x|是从集合M到集合N的映射，若M={-1，0，1，2}，则M∩N=（ ）
A．{0}B．{1}C．{0，1}D．{0，1，2}
4.已知集合A={a，b，c，d，e}，B={-1，0，1}，则从集合A到集合B的不同映射有（ ）个．A．15B．81C．243D．125
5.已知集合A={a，b}，集合B={0，1}，下列对应不是A到B的映射的是（ ）
A．
B．
C．
D．
答案
一、函数的概念及其构成要素
1.函数y=f（x）的图像与直线x=a的交点个数为0个或1个
若a在定义域内,就是1个；若a在定义域外,就是0个。
答案B
2.∵函数是从非空数集A到非空数集B的映射，
故定义域内的一个x值只能对应惟一一个y值，
∴函数y=f（x）的图象与一条直线x=a有交点个数至多有一个，
故选C．
3.意思是这个函数的定义域是集合A,值域是集合B
思路解析：
判断两个集合之间的对应是否为函数,只要按照对应法则f判断,对于集合A中的任何一个元素在集合B中是否有唯一的元素和它对应.如果“唯一”，则是函数，否则就不是函数.
在A中,当x=3时,|x-3|=0,于是A中的一个元素在B中没有元素和它对应,故不是函数；在C中,集合A中的负数在B中没有元素和它对应,故也不是函数（或者x＞0时,B中对应元素不唯一）；在D中,集合A中元素为0时,其倒数不存在,因而0在B中无对应元素,故同样不是函数；B符合定义.因此,选B.
答案：
B
4.根据映射的概念，对于集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与它对应，
对于B选项A集合中的1对应B集合中的两个元素，
对于选项C，集合A中的元素0在集合B中没有元素对应，
对于选项D，集合A中的元素0在集合B中没有元素对应，
故选A．
5.分析：
根据映射的定义分别判断即可．
解答：
解：
A．元素2的象有两个3和4，不满足唯一性．
B．元素2和3没有象，不满足任意性．
C..元素1的象有两个3和5，不满足唯一性．
D．满足映射的定义．
故选：
D．
6.思路解析：
判断两个集合之间的对应是否为函数,只要按照对应法则f判断,对于集合A中的任何一个元素在集合B中是否有唯一的元素和它对应.如果“唯一”，则是函数，否则就不是函数.
在A中,当x=3时,|x-3|=0,于是A中的一个元素在B中没有元素和它对应,故不是函数；在C中,集合A中的负数在B中没有元素和它对应,故也不是函数（或者x＞0时,B中对应元素不唯一）；在D中,集合A中元素为0时,其倒数不存在,因而0在B中无对应元素,故同样不是函数；B符合定义.因此,选B.
答案：
B
7.分析：
观察所给的四个选项，主要观察是否符合映射的概念，对于A，B选项，当x=0时，在B中没有元素与它对应，对于C选项，在B中没有和A的元素1对应的象，对于D选项，在B中总有与A的元素对应的象，得到答案．
解答：
解析：
x=0，y=0∉B，A错．同理B错．
C中：
当x=1时，y=0∉B．C错．
故选D．
8.按照映射的定义，A中的任何一个元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应．
而在选项A和选项B中，前一个集合中的元素2在后一个集合中没有元素与之对应，故不符合映射的定义．
选项C中，前一个集合中的元素1在后一集合中有2个元素和它对应，也不符合映射的定义，
只有选项D满足映射的定义，
故选D．
9.答案：
D
解析：
解：
①在对应法则f下，A中不能被3整除的数在B中没有象，所以不能确定y是x的函数．
②在对应法则f下A中的数在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数．
③在对应法则f下A中的数（除去5外）在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数．
④显然满足函数的三个特征，y是x的函数．
⑤A不是数集，所以不能确定y是x的函数．
⑥显然满足函数的三个特征，y是x的函数．
故应选D．
提示：
分析：
函数是一个特殊数集与数集间的对应关系，所给出的对应是否可以确定y是x的函数，主要是看其是否满足函数的三个特征．
评注：
在A到B的对应中，确定是否是函数关系，A、B首先必须是数集．从A到B可以是一对一或多对一的对应．
10.函数表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系．
选项D，对于x=1时有两个输出值与之对应，故不是函数图象
故选D．
二、判断两个函数是否为同一个函数
1.主要看定义域.
A/前一个式子中X属于R,而后一个式子X≥0
B/前一个式子中X≠0,而后一个式子X属于R
C/前一个式子中X≥1,而后一个式子X≥1且X≤﹣1
D/定义域与值域都相同,不要被未知数迷惑啊
即答案为D
2.【答案】
B
【解析】本试题主要考查了同一函数的概念的运用。
根据题意可知函数为同一函数时，定义域和对应关系相同。
选项A，
，中
，分式中分母不为零故，
，定义域不同，选项B，都是整式函数故定义域都是实数集，因此
是同一函数，
选项C，根据偶次根式被开方数是非负数可知其定义域分别是
,
定义域不同，
选项D中，
对应关系不同，故选B.
解决该试题的关键是判定函数中的定于和对应关系是否都相同。
3.A．g（x）=x，（x≥0），两个函数的定义域不相同．不是同一函数．
B．两个函数的定义域和对应法则都不相同．不是同一函数．
C．f（x）=1，（x≠0），两个函数的定义域不相同．不是同一函数．
D．f（x）=x+1（x≠1），两个函数的定义域和对应法则都相同．是同一函数．
故选：
D．
4.因为映射
中，
，且
那么与A中的元素
对应的B中的元素为（-1-2，-1+2）=（-3,1），选A.
5.分析：
先求原函数的定义域值域，再验证每个选项与原函数的定义域值域对应法则是否相同即可
解答：
解：
函数y=|x|的定义域为R，值域为[0，+∞），解析式可化为：
y=
x，x≥0
-x，x＜0
函数y=（
x
）2的定义域为[0，+∞），与原函数的定义域不同，∴A不正确
函数y=
x
的定义域为[0，+∞），与原函数的定义域不同，∴B不正确
函数y=
x，x≥0
-x，x＜0
，与原函数的定义域、值域、对应法则都相同，∴C正确
函数y=
x，x＞0
-x，x＜0
的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），与原函数的定义域不同，∴D不正确
故选C
6.A．g（x）=x，（x≥0），两个函数的定义域不相同．不是同一函数．
B．两个函数的定义域和对应法则都不相同．不是同一函数．
C．f（x）=1，（x≠0），两个函数的定义域不相同．不是同一函数．
D．f（x）=x+1（x≠1），两个函数的定义域和对应法则都相同．是同一函数．
故选：
D．
7.A中，f（x）=x-1的定义域为R， g（x）=
x 2
x
-1 的定义域为{x|x≠0}，故A中f （x）与g （x）表示的不是同一个函数；
B中，f（x）=x 2 的定义域为R， g（x）=（
x
） 4 的定义域为{x|x≥0}，故B中f （x）与g （x）表示的不是同一个函数；
C中，f（x）=x 2 ， g（x）=
3
x 6
=x 2 ，且两个函数的定义域均为R，故C中f （x）与g （x）表示的是同一个函数；
D中，f（x）=1，g（x）=x 0 =1（x≠0），故两个函数的定义域不同，故D中f （x）与g （x）表示的不是同一个函数；
故选C
8.一个函数与函数y=x（x≥0）有相同图象时，这两个函数应是同一个函数．
A中的函数和函数y=x（x≥0）的值域不同，故不是同一个函数．
B中的函数和函数y=x（x≥0）具有相同的定义域、值域、对应关系，故是同一个函数．
C中的函数和函数y=x（x≥0）的值域不同，故不是同一个函数．
D中的函数和函数y=x（x≥0）的定义域不同，故不是同一个函数．
综上，只有B中的函数和函数
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