圆锥曲线中的定点与定值问题教学设计精编版.docx
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圆锥曲线中的定点与定值问题教学设计精编版
课题名称：
《圆锥曲线中的定点与定值问题》
教学内容分析
圆锥曲线在高考中占有重要的位置，也是高考命题的热点之一•由于圆锥曲
线内容的丰富性，与其他章节知识交叉的综合性，决定了圆锥曲线在高考中地位的特殊性•定点、定值问题与运动变化密切相关，这类问题常与函数，不等式，向量等其他章节知识综合，是学习圆锥曲线的一个难点，这就要求我们在圆锥曲线的复习中，要重视基础知识和方法的学习，理解和掌握圆锥曲线中的基本知识与方法，帮助学生自我构架圆锥曲线思维导图，实现对圆锥曲线的整体把握•
学情分析
在学习本节课以前，学生对圆锥曲线中的基础知识和基本方法有了一定的理解和掌握，学生具备一定的探究问题、分析问题和解决问题的能力，但对圆锥曲线中的定点和定值等综合问题的解决缺乏一个明确的“主线”，正确解答这类问题既要有较强的分析问题能力、几何直观能力还要有较强的运算能力，是对学生数学能力的综合体现，但这几方面学生都比较欠缺，这也是本节课需要对学生数学素养进行培育的重要着眼点•
教学目标
（1）掌握圆锥曲线中定点与定值问题的分析方法和解题策略；
（2）通过师生互动探究的过程，理解和掌握圆锥曲线中的基本知识与方法在处理定点和定值综合问题中的应用，帮助学生自我构架圆锥曲线思维导图，实现对圆锥曲线章节的整体把握；
（3）通过合作学习，让学生在团队协作中，自我探究，进一步让学生学会思考问题的方法，培养学生计算能力，严谨的推理能力和多角度思考问题的数学素养。
教学重点
掌握圆锥曲线中定点与定值冋题的分析方法；参变量的选取原则
教学难点
对圆锥曲线基本知识与方法的综合运用；分析问题的能力和运算能力的突破
教学方法
启发式、讨论探究式.
教学过程设计
教学
环节
师生活动
设计意
图
（一）
通过
课
提问学生：
前面我们主要学习了圆锥曲线的哪些内
提冋，让
题
容？
学生总
引
结归纳
入
这节课我们来利用这些知识和方法一起研究圆锥曲线
之前学
中的一些综合问题.
习的圆锥曲线的基础知识和基本方法,为接下来的定点和定值问题的探究作铺垫.
（二）
22
例1:
已知椭圆一=1，过点F（1,0）的直线与椭圆交于
立
范
43
足于学
例
代B两点，点A关于x轴的对称点为A，求证：
直线AB横
生现有
讲
过一定点•
认知水
解
平，通过
教师活动：
让学生思考，小组讨论解决这一问题的策略.分析：
直线AB是变化的，本质是由于过点F（1,0）的直线的
此中等难度的例题，与
变化引起的，所以可以设过点F（1,0）的直线的斜率为参变
学生一
量，将直线AB的方程用斜率加以表示，由于定点是与参变
起探究
量的变化是无关的，然后通过代数变形，将参变量分离出来，令参变量的系数为零，即可求出定点•
解法1:
设Iab:
x=my1（m=0），A（x「yj,Bg,y?
），
则A（xi,-yi），联立3X4y=12，得
x=my+1
22
（3m4）y6my「9=0
6m
2
3m4
9
2
3m4
直线Iab：
y-y2二一（x-x2），x2
又/X2-x1二m（y2-yj，代入上式，得（y1y2）xm（y1-y2）y—2my1y2-（％y?
）=0，
不妨设％：
：
：
y2，上式化为
x2-m21y-4=0
y二0x二4
因为定点与m的变化无关，所以r，即彳
x—4=0_y=0
直线AB恒过点（4,0），
经检验，当直线AB的斜率为0时，结论也成立
综上，直线AB横过定点（4,0）
进一步提问：
这个定点能否通过分析，提前确定下来呢？
解法2：
IaB:
y-丫2=—（x-X2）
x2—为
根据椭圆的对称性，再结合几何直观感受，猜想直线很可
能过x轴上一定点.
在直线AB方程中，令y=0，得
xx『2（X2—xj_（my2+1）%+y2（my!
+1）
清楚的
y^Yiy2+yi
梳理.
=2myiy2+（yi+y2）
yi+y2
将yi+y2=——6m—,%y2=9—代入上式，
3m+43m+4
化简得x=4
所以，直线AB横过定点（4,0）
通过对
深入分析解题过程，与学生一起归纳定点问题的解决策略：
例i的探
（i）找到变化的根源，探究这一变化是由哪些量的变化引
究,再分
起的；进而引进参变量，根据题意建立这些参变量与已知
析此例
量之间的关系；要使参变量的变化对建立的关系没有影响，
可知，定
其系数或整个代数结构就应满足一定的条件，而恰恰是这
值问题
些条件决定了我们要探究的定点，这是解决定点问题的基
本质上
本思路。
与例i中
（2）特殊到一般的思想
的定点
可以先通过特殊情况找到这个定点，明确解决问题的
问题是
目标，然后就一般的情形进行推理计算证明•
类似的，
即这两
例2：
设点A,F分别是双曲线9x2-3y2=i的左顶点和右焦
个问题
点，点P是双曲线右支上的动点.问：
是否存在常数扎,使得
都是寻
NPFA=扎也PAF对于任意的动点P恒成立？
证明你的结
求运动
论.
变化过
教师活动：
引导学生类比例i的解题策略进行分析，
程中的
不变性，
ZPFA,ZPAF大小的变化是由于动点P在双曲线右支上移
而这些
动导致的，右存在满足条件的常数扎，则其值与动点P的变
不变性
化无关，所以可以设点P的坐标为参变量；进一步引导学
常常反
生通过观察图形，可以把探究乂PFA,NPAF的倍数关系，
映了数
转化为探究直线PF与直线PA斜率间的关系；
学对象
又；9x。
2-3yo2=1得3y。
2=9x/-1代入上式，得
化简或消参变量，求得疋值。
可根据特殊情形，先确疋疋值，这对一般情形的推理指明了解决方向•教师补充总结：
定值问题的含义比较丰富：
可以是一些几何量：
线段长度，三角形面积，向量的数量积、线段的比例系数等，但都有有个共同特征，即：
在变化过程中表现出来的不变量。
（三）
2
1、（2017上海春考20改编）已知双曲线r：
x2y-1，过
通过前
课
4
面两道
堂
点M（0,2）的直线1与双曲线『交于P,Q两点，P'为P关于
例题的
练
y轴的对称点，是否存在一个定点，使得直线PQ总经过此
分析和
习
策略总
定点？
若存在，求出该定点的坐标，若不存在，请说明理
结，学生
由。
对解决圆锥曲线中的定点与定值问题有了整体把
2、过抛物线y2-x上一点A（4,2）作倾斜角互补的两条直线
握,利用
AB,AC，它们分别交抛物线于B,C两点，求证：
直线BC的
这两道
斜率为定值•
题，当堂检验学生的课堂学习效果；并让学生在亲自的解题
体验中感悟“解决圆锥曲线的定点定值问题关键在于寻找产生变化的本质原因”•通过与学生一起尝试找出突破圆锥曲线的定点定值问题之“难”的对策，从而实现对圆锥曲线内容的
“整体把握”.
（四）
小
结
结合本节课所学内容，谈谈你的收获，与学生一起总结:
1、数学知识：
2、思想与方法：
特殊到一般、类比、化归、设参的原则
x2y2
4、（2017虹口一模20）椭圆C:
2*2=1（ab0）过
ab
点M（2,0）,且右焦点为F（1,0）,过F的直线I与椭圆C相交于A、B两点，设点P（4,3），记PA、PB的斜率分别为k1和k2；
（1）求椭圆C的方程；
（2）探讨k!
k2是否为定值？
如果
是，求出该定值，如果不是，求出
k!
k2的取值范围；
2
5、（2017奉贤一模20）过双曲线x2-y=1的右支上的一
4
点P作一直线I与两渐近线交于A、B两点，其中P是ab的中点.求证：
oa|ob是一个定值.
咼考中的重要地位，并对学生的数据分析，直观想象，数学运算,逻辑推理的数学素养的培养大有裨益.
6（2017青浦一模19）如图，F1、F2分别是椭圆
22
C:
-y+与=1（anb>0）的左、右焦点，且焦距为22，ab
动弦AB平行于x轴，且|F1A|■|F1B|=4;
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点P是椭圆C上异于点A、B的任意一点，且直线
PA、PB分别与y轴交于点M、N，若MF?
、NF2的斜率
分别为k1、k2，求证：
k1k2是
定值；
板书设计
《圆锥曲线中的定点与定值问题》
复习归纳
例题讲解
例1
例2
策略总结
四、小结
i■:
■:
2-
…（O,；）一（）「（O,）-（,）
223443
:
-=2
综上，存在常数=2,使得•PFA=PAF对于任意的
动点P恒成立•
回顾分析解题过程，归纳定值问题的解决策略：
与解决定点问题类似，首先寻找变化的根源，引入合适的参变量，建立参变量与其他已知量的关系；其次，把几何定值用引入的参变量表示；最后，利用代数恒等变形进行
1、（2016格致三模-22）
已知抛物线C:
y*123=2px（p■0），过点M（a,0）（a=0）与
x轴不垂直的直线I与C交于A（xi,yj、B（x2、y2）两点。
设A关于x轴的对称点为D，求证：
直线BD过定点。
2、（2017金山一模19）已知椭圆C以原点为中心，左焦点F的坐标是（—1,0），长轴长是短轴长的2倍，直线I与椭圆C交于点A与B，且A、B都在x轴上方，满足
■OFAOFB=180
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）对于动直线I，是否存在一个定点，无论•OFA如何变化，直线l总经过此定点？
若存在，求出该定点的坐标，若不存在，请说明理由。
3、（2017黄浦二模20）设椭圆
22
M:
令十占=1（a>b>0）的ab
左顶点为A、中心为O，
若椭圆M过点P（-1,1），
22且AP_PO.
（1）求椭圆M的方程；
（2）若厶APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求△APQ面积的最大值；
（3）过点A作两条斜率分别为匕飞2的直线交椭圆M于D,E
两点，且补2=1，求证：
直线DE恒过一个定点.
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