五年级奥数第一次考试.docx

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五年级奥数第一次考试

往返行程

　　甲、乙两地之间的距离是420千米，两辆汽车同时从甲地开往乙地，第一辆汽车每小时行42千米，第二辆汽车每小时行38千米，第一辆汽车到达乙地立即返回，两辆车从开出到相遇共用了多少小时？

　　举一反三1

　　1、甲、乙两地之间的距离是360千米，两辆汽车同时从甲地开往乙地，第一辆汽车每小时行40千米，第二辆汽车每小时行50千米，第二辆汽车到达乙地立即返回，两辆车从开出到相遇共用了多少小时？

　　2、A、B两城之间的距离是880千米，甲车和乙车同时从A城开往B城，甲车每小时行60千米，乙车车每小时行50千米，甲车车到达B城立即返回，两辆车从开出到相遇共用了多少小时？

　　3、东、西两城之间的距离是600千米，客车和货车同时从东城开往西城，客车每小时行65千米，货车车每小时行55千米，客车车到达西城立即返回，客车从开出到与货车相遇共用了多少小时？

　　典型例题2

　　甲、乙两人同时从东村骑车到西村去，经过4.5小时甲到达西村后立即返回东村，在距离西村15千米处遇到乙。

已知甲每小时比乙快6千米，求东西两村相距多少千米？

　　举一反三2

　　1、小黄和小林同时从学校去电影院，小黄每分钟比小林多走20米，30分钟后，小黄刚到电影院立即返回，在距离电影院350米处遇到小林，小黄每分钟走多少米？

　　2、甲、乙两辆汽车同时从南站开往北站，甲车每小时比乙车多行12千米，甲车行驶4个半小时到达北站后，没有停留，立即从原路返回，在距离北站30千米的地方和乙车相遇。

求两站之间的距离。

　　3、甲、乙两辆汽车同时从东站开往西站，甲车每小时比乙车多行14千米。

甲车行驶5小时到达西站后，立即按原路返回，在离西站42千米处于乙车相遇。

求东西两站之间的距离。

　　典型例题3

　　A、B两地相距21千米，上午8时甲、乙两车分别从A、B两地出发，相向而行，甲到达B地后立即返回，乙到达A地后也立即返回，上午10时他们第二次相遇，此时甲走的路程比乙多9千米。

甲共行了多少千米？

甲每小时行多少千米？

　　举一反三3

　　1、A、B两地相距21千米，上午9时整，甲、乙两人分别从A、B两地出发，相向而行，甲到达B地后立即返回，乙到达A地后立即返回，上午11时他们第二次相遇。

此时，甲行的路程比乙行的路程多5千米。

甲每小时行多少千米？

　　2、A、B两城相距160千米，早晨6时整，甲车和乙车分别从A、B两城出发，相向而行，甲车到达B城后立即返回，乙车到达A城后立即返回，12时整他们第二次相遇。

此时，甲行的路程比乙行的路程多24千米。

甲车每小时行多少千米？

3、东西两城相距120千米，上午8时整，客车和货车分别从东西两城出发，相向而行，客车到达西城后立即返回，货车到达东城后立即返回，11时整他们第二次相遇。

此时，客车型的路程是货车的2倍。

客车每小时行多少千米？

行程问题做为国考每年必考的题型，在出题方式上一直非常富有创新性和灵活性。

通过对近几年真题的统计，常规题型虽是每年考试的“主力”，但更加复杂的“多次相遇”问题已初试锋芒。

苏州华图数量教师尹嵘博士通过归纳总结，将多次相遇问题可能在今后考试中出现的几种类型一一向大家进行展示，希望对备考的广大考生起到抛砖引玉的作用。

多次相遇问题宏观上分“两端型”和“单端型”两种。

“两端型”是指甲、乙两人从路的两端同时出发相向而行；“单端型”是指甲、乙两人从路的一端同时出发同向而行。

行测中的相遇问题我们都只需考虑迎面相遇的情况，无需考虑背面追及相遇的情况，这是和小学奥数一个很大的区别。

对于这两种类型，我们一一来介绍。

（1）两端型

如下图，甲、乙两人从A、B两地同时相向而行，第一次迎面相遇在a处，则共走了1个全程；到达对面b后两人转向第二次迎面相遇在c处，共走了3个全程。

依次类推，第n次相遇两人走的路程和为（2n-1）s（s为全程，下同）。

（2）单端型

如下图，甲、乙两人同时从A端出发，甲乙第一次迎面相遇在a处，共走2个全程。

在b处迎面第二次相遇，共走4个全程。

依次类推，当第n次迎面相遇时，两人的路程和为2ns，每次相遇用的时间相同。

下面列出几种常见的多次相遇问题类型：

（1）根据两次相遇路程求AB两地的距离。

【例1】甲、乙两人在A、B两地间往返散步，甲从A，乙从B同时出发，第一次相遇点距B点60米，当乙从A处返回时走了10米第二次与甲相遇。

A、B相距多少米？

A、150B、170C、180D、200

【答案及解析】B。

第一次相遇两人走的总路程为S=（v甲+v乙）t1，第二次相遇总路程3S=（v甲+v乙）t2。

对于甲来说，第一次相遇走的路程S1=S-60=v甲t1，第二次相遇S2=2S-10=v甲t2，因此S1/S2=t1/t2，即（S-60）/（2S-10）=1/3，解得S=170

（2）告诉两人的速度和给定时间，求相遇次数。

【例2】甲、乙两人在长30米的泳池内游泳，甲每分钟游37.5米，乙每分钟游52.5米。

两人同时分别从泳池的两端出发，触壁后原路返回，如是往返。

如果不计转向的时间，则从出发开始计算的1分50秒内两人共相遇多少次？

A、2B、3C、4D、5

【答案及解析】B。

1分50s两人走过的总路程为（37.5+52.5）×11/6=165米。

第n次相遇两人走过的总路程是（2n-1）S≤165，n=3

例1 甲乙两辆汽车分别从相距63千米处的矿山与堆料场运料同时相向开出，时速分别为40千米和50千米，如果不计装卸时间，那么，两车往返运料自出发到第三次相遇共经过多少时间？

　　该题为往返行程问题，即两者往返于两地之间，不止一次地相遇。

这种问题除具备相遇问题的特征外，还有如下特征：

　　由图可见，第一次相遇两车行的路程和等于两地距离。

以后每增加一次相遇，两车行的路程和为两地距离的2倍。

故到第三次相遇，两车行的总路程为两地距离的5倍，这样便不难得出该题的解法：

　　63×5÷（40+50）=3.5（小时）

　　掌握了上述特征后，就能把较复杂的往返行程问题化难为易，解法化繁为简。

如：

例2 甲、乙两人同时从东西两镇相向步行，在距西镇20千米处两人相遇，相遇后两人又继续前进。

甲至西镇、乙至东镇后都立即返回，两人又在距东镇15千米处相遇，求东西两镇距离？

解法一 设东西两镇相距为x千米，由于两次相遇时间不变，则两人第一次相遇前所走路程之比等于第二次相遇前所走路程之比，故得方程：

　　所以东西两镇相距45千米。

解法二 紧扣往返行程问题的特征，两人自出发至第二次相遇所走路程总和为东西两镇距离的3倍，而第一次相遇距西镇20千米，正是乙第一次相遇前所走路程，则从出发至第二次相遇乙共走（20×3=）60（千米），第二次相遇时乙已从东镇返回又走了15千米，所以，两镇的距离为（20×3-15=）45（千米）

例3 甲乙两人同时从东镇出发，到相距90千米的西镇办事，甲骑自行车每小时行30千米，乙步行每小时行10千米，甲到西镇用1小时办完事情沿原路返回，途中与乙相遇。

问这时乙走了多少千米？

解法一 东西两镇相距90千米，甲每小时行30千米，共需（90÷30=）3（小时）。

　　连办事共用了（3+1=）4（小时）。

　　乙每时行10千米，4小时共行（10×4=）40（千米）。

　　这时两人相距（90-40=）50（千米），两人正好同时从A、B相向而行，其相遇时间为（50÷（30+10）=）1.25（小时）。

于是乙从出发至相遇经过了（4+1.25

　　因此，共走了10×5.25＝52.5（千米）。

解法二 根据题意可知甲从东镇到西镇，返回时与乙相遇（乙未到西镇，无返回现象），故两人所行路程总和为（90×2=）180（千米），但因甲到西镇用了1小时办事。

倘若甲在这1小时中没有停步（如到另一地方买东西又回到西镇，共用1小时），这样两人所行总路程应为：

　　90×2+30=210（千米），又因两人速度和为30+10=40（千米），故可求得相遇时间为：

（210÷40=）5.25（小时），则乙行了（10×5.25=）52.5（千米）。

例4 快慢两车同时从甲乙两站相对开出，6小时相遇，这时快车离乙站还有240千米，已知慢车从乙站到甲站需行15小时，两车到站后，快车停留半小时，慢车停留1小时返回，从第一次相遇到返回途中再相遇，经过多少小时？

解法一 240÷6=40（千米）（慢车速度）

　　40×15=600（千米）（甲乙两站距离）

　　（600-240）÷6=60千米（快车速度）

　　快车第一次相遇后继续前进至乙站，又开了（240÷60=）4（小时），连停留时间共用了4.5小时。

　　慢车第一次相遇后，向前开了4.5小时，应行（40×4.5=180（千米），到A处，这样慢车距离甲站还有（600-240-180=）180（千米），如继续开到甲站，加上停留时间，还要用（180÷40+1=）5.5（小时）。

　　在这5.5小时中，快车又从乙站返回开至B处，距甲站为（600-60×5.5＝）270（千米）。

　　这时就相当于两车从相距270千米的两地（甲站和B处）同时相向开出，则可求出其相遇时间为：

270÷（60+40）=2.7（小时）

　　最后，求得慢车从第一次相遇到返回途中再相遇所经过的时间为（4.5+5.5+2.7=）12.7（小时），即为问题所要求的。

解法二 根据往返相遇问题的特征可知，从第一次相遇到返回途中再相遇，两车共行的路程为甲乙两站距离的2倍，再根据例3解法二的设想方法，即假设快车不在乙站停留0.5小时，慢车不在甲站停留1小时，则两车从第一次相遇到第二次相遇所行总路程为600×2+60×0.5+40×1=1270（千米），故此期间所经时间为1270÷（60+40）=12.7（小时）

容斥问题

有一根长为180厘米的绳子，从一端开始每隔3厘米作一个记号，每隔4厘米也作一个记号，然后将标有记号的地方剪断。

问绳子共被剪成了多少段。

解答：

1-180中，3的倍数有60个，4的倍数有45个，而既是3的倍数又是4的倍数的数一定是12的倍数，这样的数有180÷12=15个。

注意到180厘米处无法标上记号，所以标记记号有：

（60-1）+（45-1）-（15-1）=89，绳子被剪成90段。

一、介绍三集合整体重复型核心公式

　　在三集合题型中，假设满足三个条件的元素数量分别是A、B和C，而至少满足三个条件之一的元素的总量为W。

其中，满足一个条件的元素数量为x，满足两个条件的元素数量为y，满足三个条件的元素数量为z，可以得到以下两个等式：

　　W=x+y+z

　　A+B+C=x×1+y×2+z×3

　　二、典型的三集合整体重复型的题目讲解

　　例1、某班有35个学生，每个学生至少参加英语小组、语文小组、数学小组中的一个课外活动。

现已知参加英语小组的有17人，参加语文小组的有30人，参加数学小组的有13人。

如果有5个学生三个小组全参加了，问有多少个学生只参加了一个小组?

（2004年浙江公务员考试行测第20题）

　　A.15人　　　B.16人　　　C.17人　　　D.18人

　　【答案】A　解析：

此题有两种解法可以解出：

　　解一：

分别设只参加英语和语文、英语和数学、语文和数学小组的人为x、y、z，则只参加英语小组的人为17-5-x-y，只参加语文小组的人有30-5-x-z，只参加数学小组的人有13-5-y-z，则只参加三个小组中的一个小组的人和只参加其中两个小组的人和三个小组都参加的人的总和为总人数，即17-5-x-y+30-5-x-z+13-5-y-z+x+y+z+5=35。

则求x+y+z=15，所以只参加一个小组的人数的和为15。

　　解二：

套用三集合整体重复型公式：

　　W=x+y+z

　　A+B+C=x×1+y×2+z×3

　　35=x+y+5

　　17+30+13=x×1+y×2+5×3

　　解得：

x=15，y=15

　　例2、某调查公司就甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，其中有24人三部电影全看过，20人一部也没有看过，则只看过其中两部电影的人数是（）（2009年江苏公务员考试行测A类试卷第19题）

　　A.69　　　B.65　　　C.57　　　D.46

　　【答案】D　解析：

本题也是一道典型的三集合整体重复型题目，直接套用三集合整体重复型公式：

　　W=x+y+z

　　A+B+C=x×1+y×2+z×3

　　这里需要注意的是W=105，而非125，

　　105=x+y+24

　　89+47+63=x×1+y×2+24×3

　　两个方程，两个未知数，解出y=46，这里y表示只看过两部电影的人数，即所求。

　　例3、某高校对一些学生进行问卷调查。

在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试?

准备参加的有24人，准备选择两种考试参加的有46人，不参加其中任何一种考试的有15人。

问接受调查的学生共有多少人?

（2010年国家公务员考试行测第47题）

　　A.120　　　B.144　　　C.177　　　D.192

　　【答案】A　解析：

本题的特征也很明显，直接套用公式，只是要注意的是，题目中最后问的是接受调查的总人数，我们求出W之后，还需要再加上不参加其中任何一种考试的那15个人，

　　W=x+46+24

　　63+89+47=x×1+46×2+24×3

　　通过解方程，可以求出W=105，这只是至少准备参加一种考试的人数，所以接受调查的总人数为105+15=120。

　　例4、某市对52种建筑防水卷材产品进行质量抽检，其中有8种产品的低温柔度不合格，10种产品的可溶物含量不达标，9种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的有7种，有1种产品这三项都不合格，则三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少种?

（2011年国家公务员考试行测试卷第74题）

　　A.37　　　B.36　　　C.35　　　D.34

　　【答案】D　解析：

本题属于典型的三集合整体重复，直接套用公式：

　　W=x+7+1

　　8+10+9=x×1+7×2+1×3

可以解除W=18，所以至少有一项不合格的有18种，则三项全部合格的建筑防水卷材产品有52-18=34。

六年级奥数牛吃草问题练习题及答案

（１）牧场上有一片牧草，可供27头牛吃6周，或者供23头牛吃9周。

如果牧草每周匀速生长，可供21头牛吃几周？

27×6=16223×9=207207-162=4545/（9-6）=15每周生长数

162-15×6=72（原有量）72/（21-15）=12周

（２）有一口水井，如果水位降低，水就不断地匀速涌出，且到了一定的水位就不再上升。

现在用水桶吊水，如果每分吊4桶，则15分钟能吊干，如果每分钟吊8桶，则7分吊干。

现在需要5分钟吊干，每分钟应吊多少桶水？

4×15=608×7=5660-56=44/（15-7）=0.5（每分钟涌量）

60-15×0、5=52、5（原有水量）52、5+/（5×0.5）/5=11桶

（３）有一片牧草，每天以均匀的速度生长，现在派17人去割草，30天才能把草割完，如果派19人去割草，则24天就能割完。

如果需要6天割完，需要派多少人去割草？

17×30=51019×24=456510-456=5454/（30-24）=9每天生长量

510-30×9=240原有草量240+6×9=294294/6=49人

（４）有一桶酒，每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒，现在这桶酒如果给6人喝，4天可喝完；如果由4人喝，5天可喝完。

这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天？

6×4=244×5=2024-20=44/（5-4）=4每天漏掉数

24+4×4=40原有数

这桶酒每天漏掉的酒可供4人喝一天？

（５）一水库存水量一定，河水均匀入库。

5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干。

若要6天抽干，需要多少台同样的抽水机？

5×20=1006×15=90100-90=1010/（20-15）=2每天入库数

100-20×2=60原有库存数60+2×6=7272/6=12台

（6）自动扶梯以均匀速度由下往上行驶，小明和小红要从扶梯上楼，已知小明每分钟走20梯级，小红每分钟走14梯级，结果小明4分钟到达楼上，小红用5分钟到达楼上，求扶梯共有多少级？

20×4=8014×5=7080-70=1010/（5-4）=10每分钟减少数

80+4×10=120原有数70+5×10=120

（7）：

两只蜗牛由于耐不住阳光照射，从井顶走向井底，白天往下走，一只蜗牛一个白天能走20分米，另一只只能走15分米；黑夜里往下滑，两只蜗牛下滑速度相同，结果一只蜗牛5昼夜到达井底，另一只却恰好用了6昼夜。

问井深是多少？

20×5=10015*6=90100-90=1010/（6-5）=10黒夜下滑数

100+5×10=15015×6+10×6=150

（8）一块1000平方米的牧场能让12头牛吃16个星期，或让18头牛吃8个星期，那么一块4000平方米的牧场6个星期能养活多少头牛？

12×16-18×8=192-144=4848/（16-8）=6每星期生长数

192-16×6==96原有数96+6×6=132132/6=2222×4=88头

（9）有一只船有一个漏洞，水用均匀的速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。

如果用12个人淘水，3小时可以淘完。

如果只有5个人淘水，要10小时才能淘完。

现在要想2小时淘完，需要多少人？

12×3=365×10=5050-36=1414/（10-3）=2每小时增加数

36-3×2=30原有30+2×2=3434/2=17人

（10）有一个水井，水不断由泉涌出，井满则溢出。

若用4台抽水机，15小时可把井水抽干。

若用8台抽水机，7小时可把井水抽干。

现在要用几台抽水机，能5小时把井水抽干？

4×15=608×7=5660-56=44/（15-7）=0.560-15×0.5=52.552.5+5×0.5=5555/5=11台

（11）李村组织农民抗旱，从一个有地下泉的池塘担水浇地。

如果50人担水，20小时可把池水担完。

如果70人担水，10小时可把池水担完。

现有130人担水，几小时可把池水担完？

50×20=100070×10=7001000-700=300300/（20-10）=30每小时增加1000-30×20=400原有

400/（130-30）=4小时

例题:

1、六一班有学生46人,其中会骑自行车的17人,会游泳的14人,既会骑车又会游泳的4人,问两样都不会的有人.

[分析与解答]

所求人数=全班人数-（会骑车人数+会游泳人数-既会骑车又会游泳人数）=46-（17+14-4）=19（人）

全班

2、在1至10000中不能被5或7整除的数共有个.

[分析与解答]

在1到10000中,能被5整除的有

（个）,能被7整除的有

（个）,能被35整除的有

（个）.因此能被5或7整除的共有2000+1428-285=3143（个）.

从而不能被5或7整除的有10000-3143=6857（个）.

3、在1至10000之间既不是完全平方数,也不是完全立方数的整数有个.

[分析与解答]

1~10000中完全平方数有100个（因为1002=10000）,完全立方数有21个（因为213<10000<223）,完全六次方数有4个（因为46<10000<56）.

故1~10000中是完全平方数或完全立方数的数共有

100+21-4=117（个）;

从而既不是完全平方数,又不是完全立方数的数有

10000-117=9883（个）.

4、某班共有30名男生,其中20人参加足球队,12人参加蓝球队,10人参加排球队.已知没有一个人同时参加3个队,且每人至少参加一个队,有6人既参加足球队又参加蓝球队,有2人既参加蓝球队又参加排球队,那么既参加足球队又参加排球队的有人.

[分析与解答]

蓝球队

如图所示,设既参加是球队又参加排球队的人数为x,则依容斥原理,有20+12+10-6-2-x=30,解得x=4.

5、分母是1001的最简真分数有个.

[分析与解答]

1~1001中,有7的倍数

（个）;有11的倍数

（个）,有13的倍数

（个）;有711=77的倍数

（个）,有713=91的倍数

（个）,有1113=143的倍数

（个）.有1001的倍数1个.

由容斥原理知:

在1~1001中,能被7或11或13整除的数有（43+91+7）-（13+11+7）+1=281（个）,从而不能被7、11或13整除的数有1001-281=720（个）.也就是说,分母为1001的最简分数有720个.

6、在100个学生中,音乐爱好者有56人,体育爱好者有75人,那么既爱好音乐,又爱好体育的人最少有人,最多有人.

[分析与解答]

如图,当100人都是或者音乐爱好者,或者体育爱好者时,这两者都爱好的人数为最小值即56+75-100=31（个）.

当所有的音乐爱好者都是音乐爱好者时,这两者都爱好的人数最大可为56人.

体育

爱好者

7、某进修班有50人,开甲、乙、丙三门进修课、选修甲这门课的有38人,选修乙这门课有的35人,选修丙这门课的有31人,兼选甲、乙两门课的有29人,兼选甲、丙两门课的有28人,兼选乙、丙两门课的有26人,甲、乙、丙三科均选的有24人.问三科均未选的人数?

[分析与解答]

如图,选甲乙而不选丙的有a=29-24=5（人）,选甲丙而不选乙的b=28-

e

24=4（人）,选乙丙而不选甲的有c=26-24=2（人）,仅选了丁的人有d=35-24-a-c=4（人）,仅选了丙的人有e=31-24-b-c=1（人）,故少选了一科的人数是:

甲+d+c+e=45（人）,故三门均未选的人数为50-45=5（人）.

8、求小于1001且与1001互质的所有自然数的和.

[分析与解答]

由第5题的结论知分母是1001的最简分数的个数是720.又真分数

和真分数

（a与1001互质）是成对出现的,故上述720个真分数可以分成360对,每一对=数之和为1,故上述720个分母是1001的真分数之和为360.

所以所有小于1001且与1001互质的数之和为3601001=360360.

C

9、如图所示,A、B、C分别代表面积为8、9、11的三张不同形状的纸片,它们重叠放在一起盖住的面积是18,且A与B,B与C,C与A公共部分的面积分别是5、3、4,求A、B、C三个图形公共部分（阴影部分）的面积.

[分析与解答]

设阴影部分的面积是x,由容斥原理知

28-（5+3+4）+x=18,

故x=2.

10、分母是385的最简真分数有多少个,并求这些真分数的和.

[分析与解答]

因为385=5711,故在1~385这385个自然数中,5的倍数有

（个）,7的倍数有

（个）,11的倍数有

（个）,57=35的倍数有

（个）,511=55的倍数有

（个）,711=77的倍数有

=5（个）,385的倍数有1个.

由容斥原理知,在1~385中能被5、7或11整除的数有77+55+35-（11+7+5）+1=145（个）,而5、7、11互质的数有385-145=240（个）.即分母为385的真分数有240（个）.

如果有一个真分数为

则必还有另一个真分数

即以385为分母的最简真分数是成对出现的,而每一对之和恰为1.故以385为分母的240最简分数可以分成120时,它们的和为1120=120.

11、64人订A、B、C三种杂志.订A种杂志的28人,订B种杂