人教版数学七年级下册《平面直角坐标系》教学详案.docx

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人教版数学七年级下册《平面直角坐标系》教学详案

《平面直角坐标系》教学详案

认识平面直角坐标系,了解点的坐标的意义,会用坐标表示点,能画出点的坐标位置.

渗透对应关系,提高学生的数感.

体验数、符号是对描述现实生活的重要手段.

【重点】　平面直角坐标系和点的坐标.

【难点】　根据点的位置写出点的坐标,根据点的坐标描出点的位置.

　　【教师准备】　教材图7.1-3,7.1-4,7.1-5,7.1-6的投影图片.

　　【学生准备】　复习有序数对的定义和表示方法.

导入一:

如图是一条数轴,数轴上的点与实数是一一对应的.数轴上每个点都对应一个实数,这个实数叫做这个点在数轴上的坐标.例如,点A在数轴上的坐标为-4,点B在数轴上的坐标为2.反过来,知道数轴上一个点的坐标,这个点在数轴上的位置也就确定了.例如,数轴上坐标为5的点是点C.

导入二:

数学家笛卡儿潜心研究能否用代数中的计算来代替几何中的证明.有一天,在梦中他用金钥匙打开了数学宫殿的大门,遍地的珠子光彩夺目,他看见窗框角上有一只蜘蛛正忙着结网,顺着吐出的丝在空中飘动,一个念头闪过脑际:

眼前这一条条的横线和竖线不正是自己全力研究的直线和曲线吗?

由此笛卡儿发明了直角坐标系,你是不是很想知道什么是直角坐标系呢?

就让我们一起进入本节课的学习吧!

　　　数轴上的点是与实数一一对应的,但这种对应有个弊端,就是无法准确确定点的位置.直角坐标系就很好地解决了这个问题.

　　1.建立直角坐标系.

出示教材图7.1-3,回答问题:

（1）你如何表示A,B,C,D这四个点的位置?

（2）用一条数轴能否表示这四个点的位置?

（3）用两个原点互相重合、垂直的数轴,能表示这四个点的位置吗?

活动方式:

学生交流、讨论、动手操作.

问题预设:

第

（1）问学生可能会想到用上个课时的“有序数对”的知识进行说明,采取横纵标上数字的办法.对于学生的这种做法要给予积极的肯定,鼓励学生再去尝试其他的方法.第

（2）问,从A,B,C,D这四个点的位置看都不在同一条直线上,用一个数轴只能表示出两个点的位置.第（3）问首先介绍了利用两条数轴的方法,也就是原点重合、互相垂直,这也是直角坐标系建立的基本条件.两个这样的坐标轴放到图7.1-3上,注意相应的横线和竖线分别与坐标轴重合,这样就可以读出A,B,C,D四个点的坐标.

2.平面直角坐标系的相关概念.

（1）建立直角坐标系.

在平面内,两条互相垂直、原点重合的数轴,组成平面直角坐标系,如图所示.

水平的数轴称为x轴或横轴,竖直的数轴称为y轴或纵轴,两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点.

（2）平面直角坐标系的点.

把直角坐标系如下图建立起来,就可以读出A,B,C,D四个点的坐标.

问题1:

由点A分别向x轴和y轴作垂线,垂足M在x轴上的坐标是3,垂足N在y轴上的坐标是4,我们说点A的横坐标是3,纵坐标是4,有序数对（3,4）就叫做点A的坐标,记作A（3,4）.类似地,请你写出点B,C,D的坐标:

B（　　,　　）,C（　　,　　）,D（　　,　　）. 

处理方式:

学生交流讨论完成,老师巡视指导.

问题2:

原点O的坐标是什么?

x轴和y轴上的点的坐标有什么特点?

提示:

原点O的坐标为（0,0）;x轴上的点的纵坐标为0,例如（1,0）,（-1,0）,…;y轴上的点的横坐标为0,例如（0,1）,（0,-1）,….

（3）平面直角坐标系的象限.

问题:

什么是象限?

坐标原点属于哪个象限?

提示:

建立了平面直角坐标系以后,坐标平面就被两条坐标轴分成Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ四个部分（图7.1-5）,每个部分称为象限,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限.坐标轴上的点不属于任何象限.

3.例题讲解.

　（补充）如图所示,其中所画的平面直角坐标系符合要求的是（　　）

〔解析〕　A选项中x轴与y轴不互相垂直,故此选项不正确,B选项中两数轴的交点不对,故B选项也不正确;D选项中没有标明坐标原点及x轴与y轴,故也排除.故选C.

　（教材例题）在平面直角坐标系中描出下列各点:

A（4,5）,B（-2,3）,C（-4,-1）,D（2.5,-2）,E（0,-4）.

解:

先在x轴上找出表示4的点,再在y轴上找出表示5的点,过这两个点分别作x轴和y轴的垂线,垂线的交点就是点A.类似地,在图上描出点B,C,D,E.

4.坐标平面内的点与有序实数对的一一对应.

数轴上的点与实数是一一对应的.坐标平面内的点与一对有序实数是一一对应的吗?

对于坐标平面内任意一点M,都有唯一的一对有序实数（x,y）（即点M的坐标）和它对应;反过来,对于任意一对有序实数（x,y）,在坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的.

（1）求点的坐标时,横坐标要写在前面,纵坐标写在后面,中间用逗号隔开,再把它们括起来.

（2）坐标轴上点的坐标:

x轴上到原点的距离为|a|的点的坐标为（±a,0）,y轴上到原点的距离为|b|的点的坐标为（0,±b）.可类比数轴上的点与实数的关系来研究.

（3）建立直角坐标系的方法不同,同一个点在不同的直角坐标系中的坐标是不同的.

1.平面直角坐标系的相关概念:

横轴、纵轴、原点、象限.

2.坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的.

1.点（-2,1）所在的象限是（　　）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

解析:

点（-2,1）的横坐标在x轴的负半轴上,纵坐标在y的正半轴上,所以点（-2,1）在第二象限.故选B.

　　2.在平面直角坐标系中,点P（-3,4）到x轴的距离为（　　）

A.3B.-3

C.4D.-4

解析:

点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值,到y轴的距离为点的横坐标的绝对值.因为|4|=4,所以点P（-3,4）到x轴距离为4.故选C.

　　3.如图所示,点A关于y轴的对称点的坐标是　　　　. 

解析:

首先根据平面直角坐标系可知点A的坐标为（-5,3）,再由平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标特点:

横坐标互为相反数,纵坐标相等,可得点A关于y轴的对称点的坐标是（5,3）.故填（5,3）.

4.如图所示,根据坐标平面内点的位置,分别写出图中点A,B,E的坐标.

解:

点的坐标分别为:

A（2,4）,B（1,3）,E（3,3）.

7.2.2　平面直角坐标系

1.建立直角坐标系

2.平面直角坐标系的相关概念

3.例题讲解

例1

例2

4.坐标平面内的点与有序实数对的一一对应

一、教材作业

【必做题】

教材第68页练习第1,2题.

【选做题】

教材第68页习题7.1第14题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.有以下三个说法:

①坐标的思想是法国数学家笛卡儿首先建立的;②除了平面直角坐标系,我们也可以用方向和距离来确定物体的位置;③平面直角坐标系内的所有点都属于四个象限.其中错误的是（　　）

A.只有①B.只有②

C.只有③D.①②③

2.在平面直角坐标系中,位于第三象限的点是（　　）

A.（0,-1）B.（1,-2）

C.（-1,-2）D.（-1,2）

3.若点A（2,n）在x轴上,则点B（n-2,n+1）在（　　）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

4.（2014·张家界中考）若点A（m+2,3）与点B（-4,n+5）关于y轴对称,则m+n=　　　　. 

5.如果点A的坐标为（-a2-3,b2+3）,那么点A在第几象限?

说说你的理由.

【能力提升】

6.若点P（x,y）满足xy=0,则点P在（　　）

A.原点处

B.四个象限中的某一个

C.y轴上

D.x轴上或y轴上或原点处

7.若点P（m,1-2m）的横坐标与纵坐标互为相反数,则点P一定在（　　）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

8.点A在y轴的左侧,到x轴,y轴的距离分别是2和3,则点A的坐标是（　　）

A.（-3,2）B.（-3,-2）

C.（3,2）或（-3,2）D.（-3,2）或（-3,-2）

9.已知点P在第四象限,它的横坐标与纵坐标的和为-3,则点P的坐标是　　　　.（写出符合条件的一个点即可） 

10.如图所示,平面直角坐标系中,已知点A（-3,-2）,B（0,3）,C（-3,2）,求△ABC的面积.

【拓展探究】

11.如图所示,动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动,第1次从原点运动到点（1,1）,第2次接着运动到点（2,0）,第3次接着运动到点（3,2）,…,按这样的运动规律,经过2015次运动后,动点P的坐标是　　　　. 

12.如图所示.

（1）写出五边形ABCDEF的顶点A,B,C,D,E,F的坐标;

（2）C,E两点的坐标有什么特征?

（3）直线CE与两条坐标轴有怎样的位置关系?

【答案与解析】

1.C（解析:

说法①②正确,说法③错误,因为平面直角坐标系把坐标平面分成四个部分,即把坐标平面分为四个不同象限,而在坐标轴上的点是不属于任何象限的.故选C.）

2.C（解析:

因为第三象限点的坐标特点是横纵坐标均为负数,所以只有选项C符合条件.故选C.）

3.B（解析:

由于点A（2,n）在x轴上,则n=0,那么点B的坐标为（-2,1）,所以点B在第二象限.故选B.）

4.0（解析:

因为点A（m+2,3）与点B（-4,n+5）关于y轴对称,所以m+2=4,3=n+5,解得m=2,n=-2,所以m+n=0,故答案为0.）

5.解:

因为-a2≤0,所以-a2-3≤-3,而b2≥0,所以b2+3≥3,即点A的横坐标一定小于零,而纵坐标一定大于零,所以点A一定在第二象限.

6.D（解析:

由xy=0可知x=0或y=0或x=y=0,所以该点位于x轴上或y轴上或原点处.）

7.D（解析:

因为点P（m,1-2m）的横坐标与纵坐标互为相反数,所以m=-（1-2m）,解得m=1,即1-2m=-1,所以点P的坐标是（1,-1）,所以点P在第四象限.故选D.）

8.D（解析:

因为点A在y轴的左侧,所以该点位于第二或第四象限,又因为该点到x轴,y轴的距离分别是2和3,所以其坐标为（-3,2）或（-3,-2）.）

9.答案不唯一,如（1,-4）（解析:

点P在第四象限,横坐标大于0,纵坐标小于0.先确定一个坐标的值,进而根据和为-3求解.设点P的坐标是（x,y）,则x>0,y<0,又因为横坐标与纵坐标的和为-3,所以当x=1时,就可以求出y=-4,就得到满足条件的一个坐标.）

10.解:

AC=2-（-2）=4,过点B作AC边上的高BD,垂线段BD的长与点A到y轴的距离相等.因为点A的坐标是（-3,-2）,所以BD=|-3|=3,所以△ABC的面积S=×4×3=6.

11.（2015,2）（解析:

因为动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动,第1次从原点运动到点（1,1）,第2次接着运动到点（2,0）,第3次接着运动到点（3,2）,所以第4次运动到点（4,0）,第5次运动到点（5,1）,…,所以横坐标为运动次数,经过第2015次运动后,动点P的横坐标为2015,纵坐标为1,0,2,0,每4次一循环,2015÷4=503……3,所以经过第2015次运动后,动点P的纵坐标为四个数中的第三个,即为2,所以经过第2015次运动后,动点P的坐标是（2015,2）.）

12.解:

（1）A（-2,0）,B（0,3）,C（3,3）,D（4,0）,E（3,-3）,F（0,-3）.　

（2）横坐标相等,纵坐标互为相反数.　（3）直线CE与x轴垂直,与y轴平行.

本课时的知识容量大、描述性概念多,需要做到抓住重点知识,条理清晰地把知识呈现给学生.在教学设计的过程中,紧紧把握了有序数对这个核心,围绕建立坐标系而展开的.通过建立坐标系的活动,学生体验到了建立坐标系的好处和方法,为后续的知识进行做了扎实的准备.在课时的教学过程中,注重学生的动手操作,强化了学生对知识的理解.

建立坐标系之后,如何读点的坐标和描出坐标所对应的点,只借助于例题对学生指导是不够的,没有做到更为具体和细化.对有序实数对与坐标平面内的点的一一对应关系,没有让学生动手操作来体验.

部分概念的理解交给学生自读完成,如平面直角坐标系、横轴、纵轴、原点、象限等概念.总结坐标在各象限中的特点由学生课后列表完成.

练习（教材第68页）

1.解:

A（-2,-2）,B（-5,4）,C（5,-4）,D（0,-3）,E（2,5）,F（-3,0）.

2.解:

如图所示.

习题7.1（教材第68页）

1.A（3,3）;C（7,3）;D（10,3）;E（10,5）;F（7,7）;G（5,7）;H（3,6）;I（4,8）.

2.从左往右,从上到下依次为:

-　+　-　-　+　-

3.解:

横坐标

纵坐标

A（-5,4）

-5

4

B（-2,2）

-2

2

C（3,4）

3

4

D（2,1）

2

1

E（5,-3）

5

-3

F（-1,-2）

-1

-2

G（-5,-3）

-5

-3

H（-4,-1）

-4

-1

4.解:

如图所示,得到“W”形.

5.解:

如图所示,A,B,C,D,E各点在它们所在象限（原点F除外）的角平分线上,它们到两个坐标轴的距离相等.类似的点有G（-4,4）,H（-1,1）,M（2,-2）,N（5,-5）等.

6.解:

以B为原点,以直线BC为x轴,向右为正,以垂直于BC的直线为y轴,向上为正,建立坐标系（以一个方格的边长为单位长度）,则A（-2,3）,D（6,1）,E（5,3）,F（3,2）,G（1,5）.A点在第二象限,D,E,F,G点在第一象限.

7.解:

如图所示.

（1）像“小山”,面积为6.　

（2）像粮仓,面积为17.

8.解:

如图所示.点C的纵坐标为4.

（1）平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等.　

（2）平行于y轴的直线上的点的横坐标相等.

9.解:

如图所示.

10.解:

如图所示.

（1）A,B为第一、三象限内的点,坐标满足xy>0.　

（2）C,D为第二、四象限内的点,坐标满足xy<0.　（3）E,F为坐标轴上的点,坐标满足xy=0.

11.解:

每条边上不含顶点各有2个横坐标、纵坐标均为整数的点,四个顶点的横、纵坐标也均为整数,共12个,坐标分别为:

（1,2）,（2,1）,（3,0）,（2,-1）,（1,-2）,（0,-3）,（-1,-2）,（-2,-1）,（-3,0）,（-2,1）,（-1,2）,（0,3）.

12.解:

可以设计一个钢笔水瓶的平面图形,其顶点坐标分别为A（0,0）,B（4,0）,C（4,2）,D（3,3）,E（3,4）,F（1,4）,G（1,3）,H（0,2）,A（0,0）.描出各点,顺次连接这些点即可.

13.解:

左眼A（-5,4）→左眼A'（4,4）,右嘴角B（-3,2）→右嘴角B'（6,2）,下巴C（-4,1）→下巴C'（5,1）.两图中各对应点纵坐标相同,右图中点的横坐标等于左图中点的横坐标加上9.

14.解:

如图所示,若点A在x轴上,则S△OAB=OA·yB=2,即×2·OA=2,所以OA=2,所以A1（2,0）,A2（-2,0）.若A点在y轴上,则S△OAB=OA·xB=2,即×1·OA=2,所以OA=4,所以A3（0,4）,A4（0,-4）.

平面内各点的坐标符号规律

点的位置

（a,b）的横、纵

坐标的符号

图　象

第一象限

（+,+）a>0,b>0

第二象限

（-,+）a<0,b>0

第三象限

（-,-）a<0,b<0

第四象限

（+,-）a>0,b<0

x轴上

正半轴（+,0）a>0,b=0

负半轴（-,0）a<0,b=0

y轴上

正半轴（0,+）a=0,b>0

负半轴（0,-）a=0,b<0

原点

（0,0）a=0,b=0

　若点P（x,y）满足xy>0,则点P在第几象限?

　因为xy>0,所以x>0,y>0,所以点P在第一象限.

　产生错解的原因在于考虑问题不全面.xy>0时还有一种情况,x<0,y<0,这时点P在第三象限.

　因为xy>0,所以x与y同号.当x>0,y>0时,点P在第一象限,当x<0,y<0时,点P在第三象限.