高中数学新设计同步 必修3 人教B版 第一章 算法初步 111.docx

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高中数学新设计同步必修3人教B版第一章算法初步111

1．1　算法与程序框图

1．1.1　算法的概念

[学习目标]

1．通过解二元一次方程组的方法，体会算法的基本思想．

2．了解算法的含义和特征．

3．会用自然语言表述简单的算法．

[知识链接]

1．初中时，可以通过消去法解二元一次方程组

.

2．只能够被1和本身整除的大于1的整数叫质数．

3．对于区间[a，b]上连续不断且f（a）·f（b）<0的函数f（x），通过不断把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

[预习导引]

1．算法

（1）算法的定义

算法可以理解为由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或者看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤或序列能够解决一类问题．

（2）描述算法的方式

描述算法可以有不同的方式．例如可以用自然语言和数学语言加以叙述，也可以借助形式语言（算法语言）给出精确的说明，也可以用框图直观地显示算法的全貌．

我们在描述算法时，用英文Step1，Step2，…来表示S1，S2，…，也可以简写为S1，S2，….

2．算法设计的目的

设计算法的目的实际上是寻求一类问题的算法，它可以通过计算机来完成．设计算法的关键是把过程分解成若干个明确的步骤，然后用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，从而达到计算机执行的目的．

3．算法设计的要求

（1）写出的算法，必须能解决一类问题（例如解任意一个二元一次方程组），并且能重复使用；

（2）要使算法尽量简单、步骤尽量少；

（3）要保证算法正确，且计算机能够执行.

要点一　算法的概念

例1　下列关于算法的说法，正确的个数是（　　）

①求解某一类问题的算法是唯一的；

②算法必须在有限步操作之后停止；

③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；

④算法执行后一定产生确定的结果．

AB．2C．3D．4

答案　C

解析　由于算法具有有限性、确定性、输出性等特点，因而②③④正确，而解决某类问题的算法不一定唯一，从而①错．

规律方法　1.算法实际上是解决问题的一种程序性方法，它通常解决某一个或一类问题，在用算法解决问题时，显然体现了特殊与一般的数学思想．

2．算法的特点有：

①有限性，②确定性，③顺序性与正确性，④不唯一性，⑤普遍性．解答有关算法的概念判断题应根据算法的这五大特点．

跟踪演练1　下列叙述中，①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤；②按顺序进行下列运算：

1＋1＝2,2＋1＝3,3＋1＝4，…，99＋1＝100；③从青岛乘动车到济南，再从济南乘飞机到沈阳观看全运会开幕式；④3x>x＋1；⑤求所有能被3整除的正数，即3,6,9,12，….

能称为算法的有________（填序号）．

答案　①②③

解析　根据算法的含义和特征：

①②③都是算法；④⑤不是算法．其中④，3x>x＋1不是一个明确的步骤，不符合明确性；⑤的步骤是无穷的，与算法的有限性矛盾．

要点二　算法的设计

例2　

（1）设计一个算法，判断7是否为质数．

（2）设计一个算法，判断35是否为质数．

解　

（1）S1　用2除7，得到余数1，所以2不能整除7.

S2　用3除7，得到余数1，所以3不能整除7.

S3　用4除7，得到余数3，所以4不能整除7.

S4　用5除7，得到余数2，所以5不能整除7.

S5　用6除7，得到余数1，所以6不能整除7.

因此，7是质数．

（2）S1　用2除35，得到余数1，所以2不能整除35.

S2　用3除35，得到余数2，所以3不能整除35.

S3　用4除35，得到余数3，所以4不能整除35.

S4　用5除35，得到余数0，所以5能整除35.

因此，35不是质数．

规律方法　设计一个具体问题的算法，通常按以下步骤：

（1）认真分析问题，找出解决此题的一般数学方法；

（2）借助有关变量或参数对算法加以表述；

（3）将解决问题的过程划分为若干步骤；

（4）用简练的语言将这个步骤表示出来．

跟踪演练2　判断一个大于2的整数是否为质数的算法步骤如何设计？

解　S1　给定一个大于2的整数n.

S2　令i＝2.

S3　用i除n，得到余数r.

S4　判断“r＝0”是否成立．若是，则n不是质数，结束算法；否则，将i的值增加1，仍用i表示．

S5　判断“i>n－1”是否成立．若是，则n是质数，结束算法；否则，返回S3.

要点三　算法的应用

例3　一次青青草原园长包包大人带着灰太狼、懒羊羊和一捆青草过河．河边只有一条船，由于船太小，只能装下两样东西．在无人看管的情况下，灰太狼要吃懒羊羊，懒羊羊要吃青草，请问包包大人如何才能带着它们平安过河？

试设计一种算法．

解　包包大人采取的过河的算法可以是：

S1　包包大人带懒羊羊过河；

S2　包包大人自己返回；

S3　包包大人带青草过河；

S4　包包大人带懒羊羊返回；

S5　包包大人带灰太狼过河；

S6　包包大人自己返回；

S7　包包大人带懒羊羊过河．

规律方法　对于像查找、变量代换、文字处理等非数值型计算问题，设计算法时，首先建立过程模型，然后根据过程设计步骤，完成算法．

跟踪演练3　一位商人有9枚银元，其中有1枚略轻的是假银元，你能用天平（无砝码）将假银元找出来吗？

解　法一　算法如下：

S1　任取2枚银元分别放在天平的两边，若天平左、右不平衡，则轻的一枚就是假银元，若天平平衡，则进行S2.

S2　取下右边的银元放在一边，然后把剩下的7枚银元依次放在右边进行称量，直到天平不平衡，偏轻的那一枚就是假银元．

法二　算法如下．

S1　把9枚银元平均分成3组，每组3枚．

S2　先将其中两组放在天平的两边，若天平不平衡，则假银元就在轻的那一组；否则假银元在未称量的那一组．

S3　取出含假银元的那一组，从中任取2枚银元放在天平左、右两边称量，若天平不平衡，则假银元在轻的那一边；若天平平衡，则未称量的那一枚是假银元.

1．下列关于算法的描述正确的是（　　）

A．算法与求解一个问题的方法相同

B．算法只能解决一个问题，不能重复使用

C．算法过程要一步一步执行

D．有的算法执行完以后，可能没有结果

答案　C

解析　算法与求解一个问题的方法既有区别又有联系，故A不对．算法能够重复使用，故B不对．每一个算法执行完以后，必须有结果，故D不对．

2．下列四种自然语言叙述中，能称作算法的是（　　）

A．在家里一般是妈妈做饭

B．做米饭需要刷锅、淘米、添水、加热这些步骤

C．在野外做饭叫野炊

D．做饭必须要有米

答案　B

解析　算法是做一件事情或解决一个问题等的程序或步骤，故选B.

3．在用二分法求函数零点的算法中，下列说法正确的是（　　）

A．这个算法可以求所有的零点

B．这个算法可以求任何函数的零点

C．这个算法能求所有零点的近似解

D．这个算法可以求变号零点近似解

答案　D

解析　二分法的理论依据是函数的零点存在定理．它解决的是求变号零点的问题，并不能求所有零点的近似值．

4．计算下列各式中的S值，能设计算法求解的是（　　）

①S＝1＋2＋3＋…＋100；②S＝1＋2＋3＋…＋100＋…；③S＝1＋2＋3＋…＋n（n≥1，n∈N）．

A．①②B．①③

C．②③D．①②③

答案　B

解析　由算法的有限性知②不正确，而①③都可通过有限的步骤操作，输出确定结果．

5．已知一个学生的语文成绩为89，数学成绩为96，外语成绩为99，求成绩的总分和平均分的一个算法如下，请将其补充完整：

S1　取A＝89，B＝96，C＝99.

S2　____________________.

S3　____________________.

S4　输出计算结果．

答案　计算总分D＝A＋B＋C

计算平均分E＝

1．算法的特点：

（1）有限性：

一个算法应包括有限的操作步骤，能在执行有穷的操作步骤之后结束．

（2）确定性：

算法的计算规则及相应的计算步骤必须是唯一确定的，既不能含糊其词，也不能有二义性．

（3）可行性：

算法中的每一个步骤都是可以在有限的时间内完成的基本操作，并能得到确定的结果．

2．算法没有一个固定的模式，但有以下几个基本要求：

（1）符合运算规则，计算机能操作；

（2）每个步骤都有一个明确的计算任务；（3）对重复操作步骤作返回处理；（4）步骤尽可能少；（5）每个步骤的语言描述要准确、简明.

一、基础达标

1．下列可以看成算法的是（　　）

A．学习数学时，课前预习，课上认真听讲并记好笔记，课下先复习再做作业，之后做适当的练习题

B．今天餐厅的饭真好吃

C．这道数学题难做

D．方程2x2－x＋1＝0无实数根

答案　A

解析　A是学习数学的一个步骤，所以是算法．

2．下列所给问题中，不可以设计一个算法求解的是（　　）

A．二分法求方程x2－3＝0的近似解

B．解方程组

C．求半径为3的圆的面积

D．判断函数y＝x2在R上的单调性

答案　D

解析　A、B、C选项中的问题都可以设计算法解决，D选项中的问题由于x在R上取值无穷尽，所以不能设计一个算法求解．

3．下列各式中T的值不能用算法求解的是（　　）

A．T＝12＋22＋32＋42＋…＋1002

B．T＝

＋

＋

＋

＋…＋

C．T＝1＋2＋3＋4＋5＋…

D．T＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋99－100

答案　C

解析　根据算法的有限性知C不能用算法求解．

4．小明中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：

①洗锅盛水2分钟；②洗菜6分钟；③准备面条及佐料2分钟；④用锅把水烧开10分钟；⑤煮面条3分钟．以上各道工序，除了④之外，一次只能进行一道工序．小明要将面条煮好，最少要用的分钟数为（　　）

A．13B．14C．15D．23

答案　C

解析　①洗锅盛水2分钟、④用锅把水烧开10分钟（同时②洗菜6分钟、③准备面条及佐料2分钟）、⑤煮面条3分钟，共为15分钟．

5．已知A（x1，y1），B（x2，y2），求直线AB的斜率的一个算法如下：

S1　输入x1，y1，x2，y2的值．

S2　计算Δx＝x2－x1，Δy＝y2－y1.

S3　若Δx＝0，则输出斜率不存在，否则（Δx≠0），k＝__①__.

S4　输出斜率k.

则①处应填________．

答案　

6．给出下列算法：

S1　输入x的值．

S2　当x＞4时，计算y＝x＋2；否则执行下一步．

S3　计算y＝

.

S4　输出y.

当输入x＝0时，输出y＝________.

答案　2

解析　0＜4，执行S3，y＝

＝2.

7．已知某梯形的底边长AB＝a，CD＝b，高为h，写出一个求这个梯形面积S的算法．

解　算法如下：

S1　输入梯形的底边长a和b，以及高h.

S2　计算a＋b的值．

S3　计算（a＋b）×h的值．

S4　计算S＝

的值．

S5　输出结果S.

二、能力提升

8．对于算法：

S1　输入n.

S2　判断n是否等于2，若n＝2，则n满足条件；若n＞2，则执行S3.

S3　依次从2到（n－1）检验能不能被整除n，若不能被整除n，则执行S4；若能整除n，则结束算法．

S4　输出n.

满足条件的n是（　　）

A．质数B．奇数C．偶数D．约数

答案　A

解析　此题首先要理解质数，只能被1和自身整除的大于1的整数叫质数.2是最小的质数，这个算法通过对2到（n－1）一一验证，看是否有其他约数，来判断其是否为质数．

9．下面给出了解决问题的算法：

S1　输入x.

S2　若x≤1，则y＝2x－1，否则y＝x2＋3.

S3　输出y.

（1）这个算法解决的问题是________；

（2）当输入的x值为________时，输入值与输出值相等．

答案　

（1）求分段函数y＝

的函数值　

（2）1

10．请说出下面算法要解决的问题________．

S1　输入三个数，并分别用a，b，c表示；

S2　比较a与b的大小，如果a

S3　比较a与c的大小，如果a

S4　比较b与c的大小，如果b

S5　输出a，b，c.

答案　输入三个数a，b，c，并按从大到小顺序输出

解析　S1　是给a，b，c赋值．

S2　运行后a>b.

S3　运行后a>c.

S4　运行后b>c，∴a>b>c.

S5　运行后，显示a，b，c的值，且从大到小排列．

11．写出方程x2－4x－12＝0的一个算法．

解　法一　S1　移项，得x2－4x＝12.①

S2　①式两边同加4并配方，得（x－2）2＝16.②

S3　②式两边开方，得x－2＝±4.③

S4　解③得x＝6或x＝－2.

法二　S1　将方程左边因式分解，

得（x－6）（x＋2）＝0.①

S2　由①得x－6＝0或x＋2＝0.②

S3　解②得x＝6或x＝－2.

法三　S1　计算方程的判别式Δ＝42＋4×12＞0.

S2　将a＝1，b＝－4，c＝－12代入求根公式

x＝

，得x1＝6，x2＝－2.

三、探究与创新

12．鸡兔同笼问题：

鸡和兔各若干只，数腿共100条，数头共30只，试设计一个算法，求出鸡和兔各有多少只．

解　S1　设有x只鸡，y只兔，列方程组

S2　②÷2＋①×（－1），得y＝20.

S3　把y＝20代入x＝30－y，得x＝10.

S4　得到方程组的解

S5　输出结果，鸡10只，兔20只．

13．写出求1×2×3×4×5×6的一个算法．

解　法一　S1　计算1×2，得到2.

S2　将S1的运算结果2乘3，得到6.

S3　将S2的运算结果6乘4，得到24.

S4　将S3的运算结果24乘5，得到120.

S5　将S4的运算结果120乘6，得到720.

S6　输出运算结果．

法二　S1　输入n的值6.

S2　令i＝1，S＝1.

S3　判断“i≤n”是否成立，若不是，输出S，结束算法；若是，执行下一步．

S4　令S的值乘i，仍用S表示，令i的值增加1，仍用i表示，返回S3.