二元一次.docx

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二元一次

一、一周知识概述

1、二元一次方程

（1）含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的方程，叫做二元一次方程．

（2）二元一次方程的一般形式：

　　ax＋by=c（a、b、c均为已知数，且ab≠0）

2、二元一次方程组

（1）把由两个一次方程组成，且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组．

（2）二元一次方程组通常可写成：

（a1，b1，c1，a2，b2，c2均为已知数，且a1b2≠a2b1）

3、二元一次方程组的解

二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．

4、二元一次方程组解法的基本思想

　　二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程，就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一个未知数，这种将未知数的个数由多化少，逐一简化的思想方法，叫做消元思想.

　　即二元一次方程组

形如：

ax=b（a，b为已知数）的方程.

5、代入消元法

　　由方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.

6、用代入消元法解二元一次方程组的步骤

（1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来.

（2）把

（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.

　　（3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.

　　（4）把所求得的一个未知数的值代入

（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.

7、加减消元法

　　两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.

8、加减消元法解二元一次方程组的一般步骤

（1）把一个方程或者两个方程的两边乘以适当的数，使方程组的两个方程中一个未知数的系数互为相反数或相等；

（2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；

　　（3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；

　　（4）把求得的未知数的值代入到原方程组中的系数比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；

　　（5）把求出的未知数的值写成

的形式.

9、二元一次方程组解的情况

　　若二元一次方程组

（a1，a2，b1，b2，c1，c2均为不等于0的已知数），则

（1）当

时，这个方程组只有唯一解；

（2）当

时，这个方程组无解；

（3）当

时，这个方程组有无穷多个解.

二、重难点知识归纳

　　二元一次方程组的解的理解，二元一次方程组的解法，运用有关概念解决相关数学问题．

三、典型例题讲解

例1、

（1）下列方程中是二元一次方程的有（　）

　①

　　　　②

　　　　③

　④mn＋m=7　　　　　　⑤x＋y=6

　A．1个　　　　　B．2个　　　　　C．3个　　　　　D．4个

（2）在方程（k2－4）x2＋（2－k）x＋（k＋1）y＋3k=0中，若此方程为二元一次方程，则k的值为（　）

　A．2　　　　　　B．－2　　　　　C．±2　　　　　D．以上都不对

[解析]

分析：

　　一个方程是否是二元一次方程，必须看它是否满足或使它满足三个条件：

　　①含有两个未知数；②未知数项的次数为1；③整式方程．

解答：

（1）∵方程①③不是整式方程，

　　∴它们不是二元一次方程．

　　∵mn的次数为2，

　　∴方程④不是二元一次方程．

　　∵方程②⑤满足二元一次方程的三个条件，∴方程②⑤是二元一次方程．

　　故此题应选择B．

（2）∵方程（k2－4）x2＋（2－k）x＋（k＋1）y＋3k=0是二元一次方程，

　　∴它应满足条件：

k2－4=0且2－k≠0且k＋1≠0，

　　解得k=±2且k≠2且k≠－1．

　　∴k=－2．

　　故此题应选择B．

例2、在方程3x－ay=0中，如果

是它的一个解，那么a的值为_____．．

[解析]

分析：

　　由于方程的解必使方程左右两边的值相等，

　　所以只需将

代入方程中，解关于a的一次方程即可．

解答：

　　∵

是方程3x－ay=0的一个解，

　　∴3×3－a·2=0，

例3、甲、乙两人同时解方程组

乙因抄错c，解得

求a、b、c的值．

[解析]

分析：

　　将正确的解代入方程组中可直接求出c的值，

　　但不能求a、b的值．错误解

有什么作用呢？

　　方程组的解应满足每一个方程，因此正确解

　　满足ax＋by=2，错误的解

同样能满足方程ax＋by=2，

　　那么就可以建立a、b的方程组，于是a、b、c的值均可求出．

解答：

都是方程①的解．

　　又∵

是方程②的解，∴c＋3=－2，∴c=－5．

　　故a、b、c的值分别为

例4、解下列方程组.

[解析]

分析：

（1）先将①化简为3y=4x＋5，再代入②即可消去y，从而求出x的值.

（2）先将方程组进行化简，整理为标准的二元一次方程组的形式，再观察选择消去哪个未知数.

解：

（1）将①化简得：

3y=4x＋5　　③

　　把③代入②得：

2x－（4x＋5）=1

　　解得x=－3

　　将x=－3代入③得：

3y=4×（－3）＋5

　　∴

　　∴原方程组的解为

.

（2）原方程组整理为

　　由③×3－④×4，得7b=14，∴b=2.

　　将b=2代入③，得a=2.

　　∴原方程组的解为

.

例5、已知方程组

与方程组

有相同的解，求a、b的值.

[解析]

解析：

　　题设的已知条件是两个方程组有相同的解。

按常规思路是分别求出这两个方程组的解，再根据其解相同，得到关于a、b的方程组从而求出问题的解，显然这两个方程不易求解，须另辟思路，根据方程组的解相同，利用解的定义可知，这一组解既满足第一个方程组，又满足第二个方程组，因此该组解必须满足第一个方程组中的第一个方程2x＋3y=7，又满足第二个方程组的第二个方程4x－5y=3。

所以两方程组的相同解即为方程组

的解.

解：

例6、已知方程组

当m为何值时，方程组有惟一解？

无解？

有无数组解？

[解析]

解析：

　　先将方程组消去一个元，变形为方程ax=b的形式，再讨论方程ax=b有惟一解、无解和无穷多个解的情况.

解：

　　由①×2－②，得（m－6）y=2－n　　③

　　显然当m≠6时，方程③有惟一解，即方程组有惟一一组解.

　　当m=6时且n≠2时，方程③无解，即原方程组无解；

　　当m=6且n=2时，方程③有无穷多个解，即方程组有无数多组解.

例7、已知

，

求

（1）x︰z的值；

（2）x︰y︰z的值；（3）

的值.

[解析]

解析：

　　把未知数z看做是常数，则把方程组看做是关于x，y的二元一次方程组，解这个方程组，即可把x，y用z的代数式表示出来.

解：

　　由①－②，得3x－2z=0，

例8、求二元一次方程3x＋2y=19的正整数解．

[解析]

分析：

　　求二元一次方程的正整数解的问题，实质上只能采取试探求解的方法．

解法一：

　　以x=1开始，通过逐个数的检验，发现当x>6时，

　　3x＋2y>19，故x=1，2，3，4，5，

　　从而得原方程的正整数解为

解法二：

　　因为19为奇数，2y是偶数，所以19－2y是奇数，

　　则x必为奇数，又∵x>6时3x＋2y>19．

　　∴x<6又x≥1，∴1≤x<6，

　　∴x=1，3，5，从而原方程的整数解为：

解法三：

　　∵3x＋2y=19，

　　∵x、y均为正整数，∴x必为奇数且x<6，

　　∴x=1，3，5，相应地y=8，5，2．

　　∴原方程的正整数解为

例9、市府超市某种罐头比解渴饮料贵1元，小彬和同学买了3听罐头和2听解渴饮料一共用了16元，你能求出罐头和解渴饮料的单价各是多少元吗？

[解析]

解析：

　　问题中包含两个条件：

罐头价格－饮料价格=1元，3听罐头的金额＋两听饮料的金额=16元.

解：

　　设罐头的单价为x元，饮料的单价为y元，根据两个条件，得

　　由①得x=y＋1　　③

　　把③代入②得3（y＋1）＋2y=16

　　解这个方程，得y=2.6

　　把y=2.6代入③得x=3.6

　　这个方程组的解是

答：

罐头的单价为3.6元，饮料的单价为2.6元.

例10、已知某一铁桥长1000米，现有一列火车从桥上通过，测得火车开始上桥到完全过桥共用1分钟，整列火车在桥上的时间为40秒，求火车的速度和车长.

[解析]

解析：

　　本题涉及两个未知量：

火车的速度和车长，依据题意，

　　火车开始上桥到完全过桥所跑过的路程为：

桥长1000米＋车身长；

　　整列火车在桥上时火车所跑的路程为：

桥长1000米－车身长，

　　易发现如下的等量关系：

（1）1分钟所跑的路程=1000＋车长；

（2）40秒钟所跑的路程=1000－车长.

解：

　　设火车的速度为x米/秒，车身长为y米，依题意得：

答：

　　火车的速度为20米/秒，火车车身长为200米.