离散数学定义定理下.docx
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离散数学定义定理下
1、设A为任意非空集合，*是集合A上的二元运算。
（1）封闭性：
（2）结合律：
a*（b*c）=（a*b）*c
（3）交换律：
a*b=b*a（4）幂等率：
a*a=a
（５）分配律：
a#（b*c）=（a#b）*（a#c）（b*c）#a=（b#a）*（c#a）
（6）吸收率：
a*b=b*aa#（b*c）=a和a*（b#c）=a，则称和*运算时可吸收的。
2、左幺元：
e*x=x右幺元：
x*e=x。
幺元：
x*e=e*x=x
3、左零元：
β*x=β右零元：
x*β=β零元：
β*x=β*x=β
4、在A中有关于运算*的左幺元和右幺元，则A中幺元e是惟一的。
5、在A中有关于运算*的左零元和右零元，则A中零元β是惟一的。
6代数系统中，A的元素个数多于1个，e≠β。
7.e是关于*的幺元，若对A中某个元素a，ョb
左逆元：
b*a=e右逆元：
a*b=e
逆元：
a*b=b*a=e
8、A中存在幺元e，且每一个元素都有左逆元，*是可结合运算，左逆元=右逆元，逆元惟一。
9、半群：
（1）封闭
（2）（a*b）*c=a*（b*c）
10：
半群+含有幺元e===>独异点（含幺半群）===>*运算的任何两行两列均不同
11、是独异点，a，b均有逆元
（1）
（2）a*b有逆元，
。
定义4.3.1设是一个代数系统，其中G是非空集合，*是G上一个二元运算，
（1）如果*是封闭的；
（2）运算*时可结合的；
（3）存在幺元e；
（4）对于每一个元素，存在它的逆元；则称是一个群。
定义4.3.2设是一个群，如果G是有限群，那么称为有限群，G中元素的个数统称称为该有限群的阶数，记为。
定义4.3.3若群G中，只含有一个元素，即G=|e|，|G|=1，则称G为平凡群。
，G关于*运算，构成一个群，这个群称为Klein四元群。
定义4.3.4设是一个群，若运算*在G上满足交换律，则称G为交换群或Abel群（阿贝尔群）。
定义4.3.5设是群，若，使得成立的最小正整数k称为a的阶，记作|a|。
定理4.3.1设为群，有：
（1）；
（2）；（3）；（4）；（5）若G为Abel群，。
定理4.3.3对|G|>1的群不可能有零元。
定理4.3.4设是一个群，对于。
必存在惟一的，使a*x=b。
定义4.3.7设为群，若在G中存在一个元素a，使得G中存在一个元素a，使得G中的任意元素都由a的幂组成，则称该群为循环群，元素a称为循环群G的生成元。
定义4.3.8设是一个群，S是G的非空子集，如果也构成群，则称是的一个子群，记作S≤G。
子群判别定理：
定理4.3.5设是群，H是G的非空子集，则H≤Giff。
（1）a，b∈H，有a*b∈H；
（2）a∈H，有a-1∈H。
定理4.3.6设是群，H是G的非空子集，iffa，b∈H，则a*b-1∈H。
定理4.3.7设是群，H是G的有穷非空子集，则H是G的子群iffa，b∈H，有a*b∈H。
设是群，C={a|a∈G，且对x∈G有a*x=x*a}，C又称CentG.
定义4.4.1设是一个代数系统，如果满足
（1）是阿贝尔群；
（2）是半群；
（3）运算*对于运算☆是可分配的；
则称是环。
定理4.4.1设是一个环，则对任意a，b∈A有
（1）；
（2）；（3）；
（4）；（5）
其中是加法幺元，-a是a的加法逆元，a+（-b）记为a-b，注意上面各式中不能只理解是实数上的加法与乘法。
定义4.4.2设是环，对a，b∈R，a≠0，b≠0，但a·b=0；则称a是R中的一个左零因子，b是R中一个右零因子；若一个元素既是左零因子，又是右零因子，则称它是一个零因子。
定义4.4.3设R是一个环，对于任意的a，b∈R，若a·b=0，则a=0或b=0，就称R是一个无零因子环。
（整数环、有理环、实数环、复数环都是无零因子环。
）
定理4.4.2设是环，R是无零因子环的充分必要条件，是在R中乘法适合消去律，即对任意a，b，c∈R，a≠0，若有a·b=a·c（或b·a=c·a），则有b=c。
定义4.4.4设是环。
如果是可交换的，则称是可交换环。
如果含幺元，则称是含幺元。
定义4.4.5设是一个代数系统，如果满足：
（1）是阿贝尔群；
（2）是可交换独异点，且无零因子，即对任意a，b∈A，a≠，b≠必有a·b≠；
（3）运算对于运算+是可分配的。
则称是整环。
定义4.4.6设是一个环，且|R|≥2，
（1）R有幺元；
（2）每个非零元有逆元；则称这个环是除环。
如果一个除环是可交换的，称为域。
当为域时，及是阿贝尔群，其中R*=R-|0|。
定义4.5.1设是一个偏序集，如果A中任意两个元素都有最小上界和最大下界，则称为格。
定义4.5.2设是一个格，P是由格中元素及≤，=，≥，∧，∨等符合所表示的命题，如果将P中的分别换成≥，≤，∨，∧得到的命题P*，称P*为P的对偶命题，简称对偶。
格的对偶原理：
如果命题P对一切格L为真，则P的对偶命题业对一切格为真。
定义4.5.3设是一个格，如果在A上定义两个二元运算∨和∧，使得对任意a，b∈A，a∨b等于a和b的最小上界，a∧b等于a和b的最大下界。
称为由格所诱导的代数系统。
二元运算∨和∧分别称为并运算和交运算。
定理4.5.1在格中，对任意a，b∈A，都有：
a≤a∨b，b≤a∨b，a∧b≤a，a∧b≤b。
定理4.5.2设是格，a，b∈A，
（1）a≤b，且a≤c=>a≤b∧c；
（2）a≥b且a≥c=>b∨c。
定理4.5.3在格中，对于a，b，c，d∈A，如果a≤b，c≤d，则a∨c≤b∨d，a∧c≤b∧d。
定理4.5.4设是一个格，由所诱导的代数系统为，则对于任意a，b，c，d∈A，有：
（1）；（交换律）
（2）；结合律
（3）a∨a=a；a∧a=a（幂等律）
（4）a∨（a∧b）=a；a∧（a∨b）=a；（吸收律）
定理4.5.5设是一个代数系统，其中∨和∧都是二元运算，且满足交换性，结合性和吸收性，则A上存在偏序关系≤，使是一个格。
定义4.5.4设是代数系统，其中∧和∨是二元运算，若∧和∨运算满足交换律，结合律，吸收律，则称是一个格。
定理4.5.6设是格，则
（1）a，b，c∈L有a≤b=>a∧c≤b∧c，且a∨c≤b∨c；
（2）a，b，c，d∈L有a≤b且c≤d=>a∧c≤b∧d，且a∨c≤b∨c；
定理4.5.5设是格，S是L的非空子集，若S关于运算∧和∨是封闭的，则称是格L的子格。
定义4.6.1设是由格所诱导的代数系统，如果对任意a，b，c∈A满足：
，称是分配格。
定义4.6.2设和是两个格，由它们分别诱导的代数系统为和，如果存在着一个从A1到A2的映射f，使得对任意a，b∈A1有：
，称f为从到格同态，也可称是的格同态象。
当f是双射时，格同态也称为格同构。
定理4.6.1格L是分配格，当且仅当L既不含有与五角格同构的子格，也不含有与钻石格同构的子格。
（1）每一条链都是分配格。
（2）小于五个元素的格都是分配格。
定义4.6.3设是一个格，如果存在元素a∈A对于任意x∈A，都有a≤x（或x≤a），则称a为格的全下界（全上界）。
记作0（全下界为1）。
存在全上界和全下界的格称为有界格，记作。
定义4.6.4设是有界格a∈A，若存在b∈A，使得a∨b=1，且a∧b=0，称b是a的补元。
定义4.6.5在一个有界格中，如果每个元素至少有一个补元，则称此格为有补格。
定义4.7.1一个有补格称为布尔格（或布尔代数）。
定理4.7.1设有代数系统，其中B至少包含两个元素，∧，∨为B上两个二元运算，‘为B上一元运算，对任何a，b∈B满足
（H1）a∧b=b∧a，a∨b=b∨a（交换律）
（H2）a∧（b∨c）=（a∧b）∨（a∧c），a∨（b∧c）=（a∨b）∧（a∨c）（分配率）
（H3）在B中存在零元0，使a∨0=a，a∧0=0，存在单位元1，使得a∧1=a，a∨1=1（同一律）
（H4）a’∈B，使得a∧a’=0，a∨a’=1（补元律）
则称是布尔格。
定理4.7.2设为代数系统，∧，∨，是B上的二元运算，‘为B上的一元运算，满足条件（H1）-（H4）则称此代数系统为布尔代数。
定义4.7.3设B是布尔代数，函数称为B上的一个n元布尔函数。
定义5.1.1一个图是二元组，其中V是非空结点集，E是连接结点的边集。
在一个图中，不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点。
在一个图中，若两点由一条有向边或一条无向边关联，则这两个结点称为邻接点。
关联与同一结点的两条边称为邻接边。
在图G=中，若V≠∅，但E=∅，称这个图G是零图。
当|V|=n，E=∅时称为n阶零图。
连接于同一对结点间的多条边称为平行边。
如果有向边要求方向相同，含有平行边的任何一个图称为多重图。
定义5.1.2设G=是一个图，结点v（v∈V）关联的边数称为该结点的度数，记为d（v），或deg（v）。
若v有自环，则使d（v）增加2。
deg（v）=1的结点称为悬挂点。
度数为奇（偶）数的结点称为奇（偶）结点。
定理5.1.1每个图中，结点度数总和等上边数的2倍，。
定理5.1.2在任何图中，奇结点个数为偶数个。
定义5.1.3设G=是一个有向图，以结点v为起点的弧数称为v的出度，记为deg+（v），以结点v为终点的的弧数称为v的入度，记作deg-（v）。
结点的入度与出度之和就是这个结点的度数。
定理5.1.3在有向图中，所有结点的入度和等于所有结点的出度之和。
定义5.1.4在简单无向图G=中，如果V中每个结点都与其余的所有结点邻接，则该图称为完全图，记作Kn，n是|V|。
定义5.1.5对于无向图G=，记，，它们分别为图G的最大度和最小度。
定义5.1.6在无向图G=中，如果每个结点的度是K，则图G称为K度正则图。
定义5.1.7设图G=，如有图G’=，且E’E，V’V，则称G’是G的子图。
如果G的子图包含G的所有结点，即E’E，V’V，则称G’为G的生成子图。
定义5.1.8设图G=及图G’=，如果存在一一对应的映射，且（或）是G的一条边，当且仅当或是G’的一条边，则称G和G’是同构，记作。
G和G’同构的充要条件是：
两图的结点和边分别存在一一对应而且保持关联关系。
定义5.2.1给定图G=设v0,v1,…,vn∈V，e1,e2,…,en∈E，其中ei是关联的边。
交替序列称为联接到的路。
和分别称为路的起点和终点，边的数目n称为路的长度。
当时，这条路称为回路。
若一条路中，所有边均不相同，称作迹。
若一条路中所有结点均不相同（当然边也不相同），则称次路为初级路。
若回路中除外其余结点各不相同，所有边也各不相同，则称此回路为初级回路或圈。
有边重复出现的路称为复杂路。
有边重复数显的回路称为复杂回路。
定理5.2.1若图G中每个结点度数至少为2，则G包含一个初级回路。
定义5.2.2在无向图G中，结点u和v之间若存在一条路，则称结点u和结点v是连通的。
若图G中任何两个不同结点之间存在一条路，则称图G为连通图，否则称G为不连通图。
无向图结点之间的连通性，是结点集的一个等价关系，设，则u到u之间连通，若联通关系为R，则，故R是自反的。
若uRv，则vRu，故R是对称的。
又设u,v,w∈V，如果uRv，vRw=>uRw，因此，R在V上是传递的。
对应上述等价关系，必可对结点集做作一个划分，吧结点集V分成个子集（划分块）使得两个结点和是连通的，当且仅当它们属于同一中，我们把子图称为图（G）的连通分支。
连通分支数记作W（G）。
定理5.2.2设有，V的结点数|V|=n，则称该图为n阶连通图，若从结点到存在路，则从到必存在一条长度小于等于n-1的一条路。
推理：
在一个n阶图中，若从结点到（），存在路，则从到存在长度小于等于n-1的初级路。
无向图的连通性，不能直接推广到有向图。
在有向图中，从结点u到v有一条路，称从u到v可达。
可达性是有向图结点集上的二元关系，它是自反和传递的。
但一般不是对称的，故可达性不是等价关系。
定义5.2.3在简单有向图G中，任何一对结点间，至少有一个结点到另一个结点是可达的，则称这个图是单侧连通图。
如果对于图G中任何一对结点，两者之间是相互可达的，则称这个图是强连通。
如果在图G中，略去边的方向，将它看成无向图后，图是连通的，则称该图为弱连通。
定义5.2.4设无向图为连通图，若有点集，使图G删除了的所有结点后（将中结点与其相关联的边都删除）得到的子图是不连通的，而删除了的任何真子集后所得到的子图仍是连通的，则称是G的一个点割集。
若一个结点构成一个点割集，则称该结点为割点。
定义5.2.5设无向图G=为连通图，若有边集，在图G中删除了中所有边后得到的子图是不连通图，而删除了的任一真子集后得到的子图是连通图，称是G的一个边割集。
若某一个边构成一个边割集则称此边为割边或称为桥。
定义5.3.1设G是n个结点，无多重边的图，设结点以此标记则有矩阵
其中若与邻接为1，若与不邻接为0。
称M（G）为图G的邻接矩阵。
定理5.3.1设M是n个结点的简单图G的邻接矩阵，是M所得k次幂，则在中的等于结点与之间长度为k的路径的数目。
定义5,3,1设G是n个结点无多重边的图，矩阵称为路径矩阵，记为：
，
其中，若则与之间至少存在一条路径为1，若与之间不存在路径为0。
路径矩阵也称可达矩阵。
定义5.4.1给定无孤立结点图G，若存在一条路，经过图中每一边一次且仅一次，该条路称为欧拉路；若存在一条回路，经过图中每边一次且仅一次，该回路称为欧拉回路。
存在欧拉回路的图称为欧拉图。
定理5.4.1无向图G具有一条欧拉路，当且仅当G是连通的，且有零个或两个奇结点。
无向图G具有一条欧拉回路，当且仅当G是连通的，且所有节点都是偶结点。
定义5.4.2给定有向图G，通过图中每一边一次且仅一次的一条单向路（回路）称作单向欧拉图（回路）。
定理5.4.2有向图G具有一条单向欧拉路，当且仅当是弱连通，且每个结点入度等于出度。
一个有向图G具有欧拉路，当且仅当它是连通的，而且除两个结点结点外，每个结点的入度等于出度，而这两个结点中，一个结点的入度比出度大1，另一个结点的入度比出度小1。
定义5.4.3给定图G，若存在一条路，经过图中每个结点恰好一次，这条路称作汉密尔顿路，若存在一条回路，经过图中每个结点恰好一次，这条回路称为汉密尔顿回路。
定理5.4.3若图G=具有汉密尔顿回路，则对于结点集v的每个非空子集S，均有W（G-S）≤|S|成立。
其中W（G-S）是G-S连通分支数。
定理5.4.4设G是具有n个结点的无向简单图，如果G中每一对结点度数之和大于等于n-1，则在G中存在一条汉密尔顿路。
定理5.4.5设G是具有你个结点的简单图，如果G中每一对结点度数之和大于等于n，则在G中存在一条汉密尔顿回路。
定义5.5.1若一个图能画在平面上，使它的边互不相交（除结点处），则称该图为平面图。
画出的没有边交叉出现的图G，亦称为G的一个平面嵌入。
定义5.5.2设G是一个连通平面图（G的某个平面嵌入），G的边将所在的平面划分成若干个区域，每个区域称为G的一个面，其中面积最大的区域称为无限面或外部面。
面积有限的区域称为有限面或内部面。
包围每个面的所有边构成的回路的长度称为该面的次数，若区域记为R，则次数可记为deg（R）。
定理5.5.1设连通平面图G，面的次数之和等于其边数的2倍。
定理5.5.2设有一个平面连通图Ｇ，共有ｖ个结点，ｅ条边，ｒ个面，则欧拉公式ｖ-e+r=2成立。
定理5.5.3设G是一个有v个结点e条边的连通简单图，若v≥3，则e≤3v-6。
定义5.5.3如果两个图G1和G2同构，或经过反复插入或消去2度结点后同构，则称G1和G2同胚。
定理5.5.4（库拉图斯基定理）一个图是平面图，当且仅当它不含与K5同胚子图；也不含与K3,3同胚子图。
定义5.6.1一个连通且无回路的无向图称为树。
树中读书为1的结点称为树叶，度数大于1的结点称为分支点或内点。
一个无回路的无向图称作森林，若它的每个连通分图是树。
定理5.6.1给定图T，有n个结点，以下关于树的定义是等价的。
（1）无回路的连通图；
（2）无回路e=v-1，其中e是边数，v是结点数；
（3）连通且e=v-1；
（4）无回路但增加一条新边，得到一个且仅有一个回路；
（5）连通，但删去一边后便不连通。
（6）每一对结点间有且仅有一条路。
定理5.6.2任一棵非平凡树至少有两片树叶。
定义5.6.2设G=是无向连通图，若G的生成子图T是一棵树，则称T是G的生成树。
G在T中的边称为T的树枝，G不在T中的边称为T中的弦。
所有弦的集合及其导出的子图称为G的余树。
定理5.6.3连通图至少有一棵生成树。
定义5.6.3设无向连通带权图G=设T是G的一棵生成树，若给T的每一条边一个权值，T的各边权值之和，称为T的权，记作W（T）。
G的所有生成树种带权最小的生成树称为最小生成树。
定理5.6.4设图G=是无向连通带权图，它有m条边e1,e2,…，em，分别带权为：
a1，a2，…，am，不妨设a1≤a2≤…≤am，以下算法（Kruska）产生的是最小生成树：
（1）取权为a1的边e1，使e1属于T（e1非环，若e1是环则不取）。
（2）再取权位a2的边e2，使e2属于T，这时需保证e2与e1不构成回路，否则不取e2。
（3）再查e3，继续这一过程，直到形成生成树为止。
定义5.6.4如果有向图在不考虑边的方向时，是一棵树，那么这个有向图称为有向树。
定义5.6.5若一棵有向树，恰有一个结点入度为0，其余所有结点的入度均为1，则称该有向树为根树。
入度为0的结点称为根，出度为0的结点称为叶。
出度不为0的结点称为分支点或内点。
定义5.6.6设u是有根树的分支点，若从u到w有一条弧（u，w），则称w为u的儿子或称u为w的父亲。
若一个结点有两个儿子，则这两个儿子之间称兄弟。
若从u到z有一条有向路，则称z是u的子孙或称u是z的祖辈。
从根到某一结点v的路的长度，称为v的层数，从根到叶的最大层数，称为根树的高。
定义5.6.7在一棵有向树中，在每一级的结点都指定某种次序，称树为有序树。
定义5.6.8在根树中，若每一个结点的出度小于等于m，则这棵树称为m叉树。
如果每个结点的出度恰好等于m或零，则称这棵树为完全m叉树，若其所有树叶层次相同，称为正则m叉树。
对于二叉树，一个分支点的左右两个儿子为根的子树，分别称为左子树和右子树。
定理5.6.5设有完全m叉树，起树叶树为t，分支点数为i，则（m-1）i=t-1。
若T是有n个结点的完全二叉树，则T有（n+1）/2片叶子。
如果在有向树中规定了每一层上结点次序，这样的树称为有序树。
定义5.6.9树包含一个或多个结点，这些结点中的某一个称为根，而其他所有结点，被分成有限个称为子树的树。
在这个定义中，具有n个结点的树，用结点少于n的树来定义。
有向树任何一个结点是某一个子树的根，所以紧靠某一结点下面的子树，形成一个森林。
对于一棵根树的每个结点都访问一次且仅一次称为行遍或周游一棵树。
对于二叉有序正则树主要有以下三种行遍或周游方法：
（1）中序行遍法，其访问次序为：
左子树，树根，右子树。
（2）前序行遍法，其访问次序为：
树根、左子树，右子树。
（3）后序行遍法，其访问次序为：
左子树，右子树，树根。
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