6第五章 小学数学学习.docx
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6第五章小学数学学习
第四章小学数学学习
第一节小学数学学习概述
学习要求
初步认识数学学习的本质，理解小学数学学习的特点和过程，能够结合自己的理解解释说明。
学习要点
1、小学数学学习的含义与特征
2、小学数学学习的过程
基础阅读
数学学习的含义和特点
数学学习的含义是学生获取数学知识、形成数学技能和能力的一种思维活动过程。
由数学学科的特点所决定的。
在数学学习过程中，学生是学习的主体，他们在教师的引导下，能主动地去获取知识，主动地进行技能的训练，主动地发展自己的思维水平和解决实际问题的能力。
小学数学学习具有以下的特点：
1.逐步抽象的过程
小学生从其年龄阶段看来，正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维的过渡阶段，学习是经历一个逐步抽象的过程。
例如，小学生刚开始学习的时候，总是通过动手操作、观察一些具体形象的事物来进行学习，到了高年级才开始逐步对事物进行抽象，比如学会用字母去表示各种数，用等式表示一些数量关系等等。
2.进行初步逻辑思维训练的过程
数学是一门高度抽象、逻辑性很强的科学，被公认为是最充分、最有利于训练逻辑思维的活动。
在小学阶段，由于儿童年龄特征之限，教材上往往省略了一些严格的演绎推理和逻辑证明的过程，但它的编排体系仍然体现了系统严谨、逻辑严密的特点。
小学生在学习数学时，需要不断地进行分析、综合、比较、概括、抽象、具体化，需要不断地对数学对象进行判断和推理，这些思维过程和方式都使儿童们得到了初步的逻辑思维的训练。
3.符号化形式与生活实际相结合的学习
数学是抽象的，数学中的量的关系、量的变化等都是以符号（关系符号、运算符号还包括图形、图表等）加以表示的。
一般说来，数学学习就是对数学符号的学习。
小学生在学习这种形式化的数学符号时，往往与客观事物（现象）的实际相结合，尤其和自己周围的生活实际结合起来进行学习。
例如，小学生学习小数，很自然地联系到自己购物时的商品标价，学到百分数时，就会联想到本班同学体育锻炼达标的合格率。
4.存在着思维发展的不平衡性
这种不平衡表现在两个方面：
个体发展的差异和思维对象的差异。
比如儿童已经掌握整数的概念和运算的方法，而不需要具体事物的支持，可是他们开始学习分数概念和分数运算时，如果没有具体事物的支持，还会感到很大的困难。
数学学习的过程
数学学习一般要经历这样几个过程：
1.习得阶段：
给学生提供新的学习内容，创设适当的学习情境。
关键是使学生的原有认知结构与新的学习内容之间产生适当的认知冲突，而引起学生的学习需要，激发其学习动机。
2.保持阶段：
通过练习等活动，使学习的知识得到巩固，初步形成新的数学认知结构。
3.提取阶段：
学生利用习得的知识，通过解决数学问题，使新学习知识完全融化了原有的数学认知结构之中，形成完善的认知结构的过程，学生的能力得到进一步的发展。
数学学习过程的本质
从本质上说，学生的数学学习过程是一个自主构建自己对数学知识的理解的过程：
他们带着自己原有的知识背景、活动经验和理解走进学习活动，并通过自己的主动活动，包括独立思考、与他人交流和反思等，去建构对数学的理解。
因此，学生数学学习的过程可以说是一种再创造过程，而且是真正意义上的再创造（主观意义上，非客观意义上）：
学生从事对数学知识的提炼和组织——通过对低层次活动本身的分析，把低层次的知识变为高层次的常识，再经过提炼和组织而形成更高层次的知识，如此循环往复；再把数学放到现实中去加以使用。
在这一活动过程中，获得经验、对经验的分析与理解、对获得过程以及活动方式的反思至关重要。
具体来说，学生的有效数学学习活动主要呈现出如下一些特点。
1.学生数学学习的过程是建立在经验基础上的一个主动建构的过程
如前所述，在学生来到学校之前，他们已经拥有了大量的日常生活经验。
而随着学生的成长，他们从学校里所获得的经验会比在学校外的日常生活中所获得的经验更多、更重要。
正是基于这些校内、校外的经验，学生才能够通过各种活动将新旧知识联系起来，思考现实中的数量关系和空间形式，由此发展他们对数学的理解。
而数学中的量的关系、量的变化等都是以符号（关系符号、运算符号、图形、图表等）加以表示的。
学生身心发展的这一特点和数学的抽象性特征共同决定了学生数学学习基本是一种符号化语言与生活实际相结合的学习，两者之间的相互融合与转化，成为学生主动建构的重要途径。
2.学生数学学习的过程充满了观察、实验、猜想、验证、推理与交流等丰富多彩的数学活动
从学生认识发生、发展的规律来看，传统的数学学习中，教师讲授、学生练习的单一学习方式已不能适应学生发展的需求了，这种方式甚至造成了学生学习的障碍（如过多的演练使学生对数学生厌和畏惧）。
注重学生发展的数学学习应该提供多样化的活动方式，让学生积极参与，并在这些丰富的活动中进行交流。
从数学的发展来看，它本身也是充满着观察与猜想的活动。
传统教科书把这一活动过程“压缩”成了毫无生气的形式结构，这实在是一种“误导”。
更何况数学发展到今天，由于借助了计算机手段，其应用的方式大大拓展，现代公民收集数据、处理数据、解决问题的方式也是多样的，学校中的数学教育就有必要改变传统数学的面貌以便和人们日常生活中使用的数学趋于一致。
学生在学校学习数学的目的不仅仅是获得计算的能力（它占的比例将大大缩小），而更重要的是获得自己去探索数学的体验和利用数学去解决实际问题的能力，获得对客观事实尊重的理性精神和对科学执着追求的态度。
因此，在数学教学中，必须通过学生主动的活动，包括观察、描述、操作、猜想、实验、收集整理、思考、推理、交流和应用等等，让学生亲眼目睹数学过程形象而生动的性质，亲身体验如何“做数学”、如何实现数学的“再创造”，并从中感受到数学的力量，促进数学的学习。
3.学生的数学学习过程应当是富有个性、体现多样化学习需求的过程
不同发展阶段的学生在认知水平、认知风格和发展趋势上存在着差异，处于同一发展阶段的不同学生在认知水平、认知风格和发展趋势上也存在着差异。
例如，学生对字母的理解分为好几个水平：
从最初把字母当做具体的东西，到忽略字母，再到把字母当做特定的一个数．把字母当做一个未知数，把字母当做可以取不同的数，最后到把字母当做变量。
而十四五岁的学生中，真正达到把字母当做变量这一级抽象学习水平的只有10％～20％。
学生个体的差异很大，同一年级的差异甚至可能达到7岁。
人的智力结构是多元的，有的人善于形象思维，有的人长于计算，有的人擅长逻辑推理，这本没有优劣之分，只表现出不同的特征与适应性。
另外，每个学生都有自己的生活背景、家庭环境和一定的文化感受，从而导致不同的学生有不同的思维方式和解决问题的策略。
就个体的整个数学学习而言，多种风格的认知方式可以为其形成良好的数学认知结构提供保证。
因此，学生在学习过程中应当尽可能多地经历数学交流的活动，使得他们能够在活动中感受别人的思维方法和思维过程。
以改变自己在认知方式上的单一性，促进其全面发展。
同时，通过向他人表达自己的思维过程，有助于反思与完善自我认知方式，从而达到个性发展的目的。
为此，数学课程要把学生的一般发展视为首要目标，要极为关注学生数学学习的个别差异。
第二节学习理论在小学数学学习中的应用
学习要求
理解主要的学习理论流派，并能够谈出其在小学数学学习中的具体体现。
学习要点
1、行为主义学习理论
2、认知主义学习理论
3、建构主义学习理论
基础阅读
行为主义学习理论
（一）桑代克的“联结说”
桑代克做了许多动物学习的实验，提出了联结主义的试误说。
他认为学习是刺激和反应的联结。
在桑代克看来，“学习即联结，心即人的联结系统”，“学习是结合，人之所以长于学习，即因形成许多联结”。
他这里所讲的“联结”是指学习者对情境所引起的反应，他认为这种反应是学习者在情境中经过不断地舍弃错误和改正错误的结果。
桑代克的试误说的主要内容有以下四点：
（1）认为学习的实质就是形成一定的刺激反应的联结，即学习者对某个情境所作的反应（可用公式S-R表示，其中S为刺激或情境，R为反应）。
（2）学习是在尝试与错误中进行的，在重复的尝试中，错误反应逐渐摒除，正确反应逐渐增强，最后形成固定的刺激反应联结，获得成功。
（3）认为人类学习虽与动物的学习有别，人类的学习在尝试过程中是有意识的分析与选择，而动物是无意识的，但这仅仅是简单与复杂、联结数量多与少的区别。
（4）桑代克在总结他早期实验的基础上提出了三条学习定律：
准备律、练习律和效果律。
后来，桑代克对准备律和练习律作了修改，把它们看成是效果律的从属性原则。
他的效果律的基本涵义是：
决定学习的最重要因素是机体的行为后果，凡是导致满意后果的行为会被加强，而带来烦恼的行为则会被削弱或淘汰。
因为桑代克的学习理论多数是出自对动物的实验，不少是将对动物实验推及人类，因而他的理论存在着机械主义的倾向，忽视了人的学习的社会性、主观能动作用和学习过程中理解的作用。
尽管如此，桑代克的学习理论对当今学习仍有一定的指导价值，特别在培养学生的学习情绪，引起学生的学习动机，引导学生在尝试的过程中应用推理和批判的方法，在概念、原理、法则学习之后予以必要的重复练习并在以后的学习中加以应用，重视学习者对学习的心理准备等方面，值得我们借鉴。
（二）斯金纳的操作性条件反射学说
斯金纳提出了刺激——反应——强化的学习模式。
他指出，在操作性（即工具性）疾动条件的场合，强化刺激和反应的形成是关联的。
如果说在操作性活动发生之的随即呈现强化刺激物，反应就增强；如果在操作性活动发生之后，没有强化刺激物出现，反应就会减弱。
斯金纳认为，学生学会某门学科正是通过操作性条件作用而形成的一个又一个的反应，有效的教学就是要提供良好的教学程序，用以诱发出学生的合适行为。
他认为在教学过程中，教师的作用应在两方面得到体现：
一方面是设计教学程序以进行刺激控制（包括辨别刺激和强化刺激），具体表现为组织教材、设计教案、进行教学以及准备促进学生做出预期反应的有关刺激等等；另一方面是在适当时刻给以恰当的强化刺激物。
强化刺激按反应与强化之间间隔时间的长短，分为即时强化和延时强化。
在学习形成期运用即时强化，在学习保持期运用延时强化。
认知主义学习理论
（一）皮亚杰的发生认识论
儿童的认识与人类的认识一样，在主体与客体的相互作用之中，逐渐建立起来的一系列结构（简称“建构”），从而心理才不断产生量与质的变化。
认知结构的发展是经过不断的同化、顺应、适应和平衡的。
个体要与外界环境保持平衡，其适应方式可分为同化和顺应。
当外界刺激与原来的认识结构相一致时，则同化于原认知结构之中，即类化新经验；当外界刺激与原来的认知结构不相一致时，在适应中受阻，就发生了不平衡，产生顺应的过程，既要通过改组，重建新的认知结构。
同化与顺应两者相辅相成，功能互补。
同化乃是认知结构的扩大，即量的增加，属于认知广度的增加；顺应乃是认知内容的改变，即质的不同，属于认知深度的增长；同化与顺应的两个过程互为消长，直到达到平衡为止……
（二）奥苏贝尔的认知同化学习理论
认为意义学习有两个先决条件：
学生表现出一种意义学习的心向；学习内容对学生具有潜在意义，即能与学生已有的认知结构联系起来。
这种“联系”是非人为的和实质性的联系（教材72页），即a--A----a'A'
认知结构是指学生现有知识的数量、清晰度和组织方式，是由学生眼下能回想出的事实、概念、命题、理论等构成。
研究认知结构，在于识别和控制影响意义学习的变量
（1）学生认知结构中能与新教材建立联系的有关概念是否可利用；
（2）这些概念与要学习的新概念之间区别程度如何；（3）起固定作用的概念是否稳定、清晰。
建构主义学习理论
（一）学习是学习者主动地建构内部心理表征的过程，它不仅包括结构性的知识，而且包括大量的非结构性的经验背景
维特罗克（M.C.Wittroek，1983）提出的学生学习的生成过程（generativeproeeess）模式较好地说明了这种建构过程。
他认为，在学习过程中，人脑并不是被动地学习和记录输入的信息，而是主动地建构对信息的解释，学习者以长时记忆的内容和倾向为依据，对信息进行主动选择，并进行推断;另外，学习者对事物意义的理解总是与其已有的经验相结合，需要借助于贮存在长时记忆中的事件和信息加工策略（参见陈琦，1988）。
古宁汉（D.J.Cunningham，1991）认为，“学习是建构内在的心理表征的过程，学习者并不是把知识从外界搬到记忆中，而是以已有的经验为基础，通过与外界的相互作用来建构新的理解”。
学习要建构关于事物及其过程的表征，但它并不是外界的直接翻版，而是通过已有的认知结构（包括原有知识经验和认知策略）对新信息进行加工而建构成的，在这一基本观点上，当今的建构主义者更多的强调在具体情境中形成的非正式的（informal）经验背景的作用，即非结构性的经验背景。
将它们看成是建构的目标和基础（Winograd，Flores，1986;Duffy，Jonassen，1991），甚至也有少数人走向极端，只重视非结构性的一面而忽视概念的抽象与概括作用。
（二）学习过程同时包含两方面的建构
当今的建构主义者对于学习的建构过程做出了更深入的解释。
作为建构主义的一支的
“认知灵活性理论”（CognitiveFlexibilityTheory）认为，建构包含两方面的含义:
（1）对新信息的理解是通过运用已有经验，超越所提供的新信息而建构成的。
（2）从记忆系统中所提取的信息本身，也要按具体情况进行建构，而不单是提取（Spiroetal，1991）。
建构一方面是对新信息的意义的建构，同时又包含对原有经验的改造和重组。
这与皮亚杰关于通过同化与顺应而实现的双向建构的过程是一致的，当今的建构主义者用这种建构来解释学习，说明知识技能的获得和运用中的建构，而且，他们对于后一种建构给予了更高的重视，他们强调，学习者在学习过程中并不是发展起供日后提取出来用以指导活动的图式或命题网络，相反，他们形成的对概念的理解是丰富的、有着经验背景的，从而在面临新的情境时，能够灵活地建构起用于指导活动的图式（Spiro，1992）。
（三）学习者以自己的方式建构对于事物的理解，从而不同人看到的是事物的不同方面，不存在唯一的标准的理解。
但是，我们可以通过学习者的合作而使理解更加丰富和全面
传统教学认为，通过字词就可以将观念、概念甚至整个知识体系由说话者传递给听话者，其实这是一种误解（Glasersfeld，1991）。
当今的建构主义者认为，事物的意义并非独立于我们而存在的，而是源于我们的建构（Brown，CollinsDuguid，1989a），每个人都以自己的方式理解到事物的某些方面，教学要增进学生之间的合作，使他看到那些与他不同的观点的基础（Cunningham，1991）。
因此，合作学习（CooperativeLearning）受到建构主义者的广泛重视。
如前所述，这些思想也是与维果斯基对于社会交往在儿童心理发展中的作用的重视以及“最近发展区”的思想是一致的。
同时，他们又使这种思想得以深入。
拓展阅读
除了这个认知发展的理论之外，皮亚杰还创立了一种学习如何发生的理论。
据皮亚杰说，学习和认知能力的发展是两回事。
学习的发生与认知能力发展的相应阶段有关系，但学习是通过周围环境的相互影响而取得的。
他说：
“Penser，c＇estopererc”（法语，思维就是建造）。
这句话的意思是，思维和学习都包含有把周围事物拆散了再重建起来的活动（具体的行动或是内心的活动）。
皮亚杰主张，学习有三个基本步骤，即：
（1）形或内心概念，
（2）修正这些概念使之适应于体验，（3）把概念与概念联系起来形成“结构。
皮亚杰认为，适应是学习的主要部分。
他说：
“智慧就是适应。
”这就和一个活的有机体使它们的行为适应环境一样，有智慧的动物也修正他们的内心活动以适应体验。
皮亚杰认为，我们是用两种方式之—来适应：
（1）同化，
（2）调节。
同化：
同化是把新体验结合到我们已有的概念上的过程。
皮亚杰说：
“智慧就是把同化做到这种程度，一切从体验而得的资料都结合到了它的框架里面。
”一个孩子见过五辆汽车，又发展到能表达“五只小猫”，他就是把一个新体验同化到了他的“五”的概念之中。
从另一方面说，孩子在同化过程中，也会表现出他的概念是不符合常规的。
在第二章第一节中，我们曾讲到海伦把饭碗叫做“澡盆”。
她是在把新体验同化到她的“澡盆”概念之中去，而她所说的“澡盆”的意思是“装水的东西”。
调节：
调节就是一种修改过程。
我们的概念通过调节，或是限定应用范围，或是扩大应用范围。
海伦不得不限制她的“澡盆”概念，而把饭碗排除出去。
从另一方面说，学会了“5”这个符号是表示“五个”的孩子，在面临着“54”这个数字时，就不得不扩大他们对于“5”这个符号的概念。
因为这时候的“5”表示“五十”。
我们可以把同化叫做“舒服的适应”，而把调节叫做“不舒服的适应”。
调节在我们已有的概念和新的体验之间造成了不平衡。
例如，毫无疑问你具有“香蕉”这个概念。
如果有一天你碰到一样东西，形状和味道都象香蕉，可是颜色是蓝的，你会有什么感觉呢?
到此为止，蓝颜色的香蕉对于你还是不可想象的，然而作为你的体验的结果，你很可能会扩大你的“香蕉”概念。
不得不接受“5”的意思有时候是“五十”这件事实的孩子，他所处的地位就和碰上了蓝色的香蕉的你相似。
他的世界暂时性地翻了个底朝上。
学习的过程看来是由“舒服”的同化时期和“不舒服”的调节时期两者组成的。
也许是因为这个，我们才常常说学习是跳跃式的前进，而不是稳步攀登。
皮亚杰坚持说，适应是学习的一个必不可少的伴侣。
他说：
“每一次你把孩子们本来能够自己去发现的事情教给了他们，你就妨碍了他们自己去发现它，也妨碍了他们自己去经历这个同化、调节与重新整理的过程”。
他这段话的意思，也许可以用本书第二十章中的一个例子来说明。
如果我们教给孩子们用写上11加两个零的办法来做11X100，他们就除了窍门之外什么也没有学到；但是，如果他们自己发现了这个办法，就会对我们这个数字体系的构成有所领悟了。
第三节小学生数学能力的发展
学习要求
理解有关小学生数学能力发展的常见理论，能够结合实例说明具体的发展过程。
学习要点
1.小学生数学能力发展理论
2.小学生的数学思维特点
基础阅读
孩子的抽象思维是怎样发展起来的?
一个婴儿，他（或她）看、摸、探查有形物体，如玩具。
不久之后他就知道了代表这些物体的语言（口头语言就是来自实际的一种抽象）。
随后他就会认识这些物体的图画（另一种抽象）。
再往后，他就会从书面符号联系到这些物体。
他在数学上也一定要通过这样几步抽象前进，所经历的过程和在所有其他方面一样。
我们把这种步骤划分为：
体验——对有形物体的体验。
语言——表达这种体验的口头语言。
图画——显示这种体验的图画。
符号——概括这种体验的书面符号。
我们来探索一下孩子学会“球”这个概念所经过的步骤。
体验——他看球、摸球，尝球的味道，把球拿在手里，滚球、投球，他一面玩耍，一面知道了球的许多属性。
语言——他把“球”这个字的发音和他的玩具联系起来。
这很有用。
他说出这个字，就可能有人给他球玩。
他很快就会把这个字和其他同样有滚动属性的物体联系起来。
图画——他认出了一张球的图画。
图画与球本身的差别很大。
图画不能滚动，摸着也不一样。
但是孩子还是看出了图画和他自己的球有足够的共同点，可以称之为“球”。
符号——再往后，他就学会了我们写出来表示“球”的发音的这个符号（文字）。
这一步相当复杂。
这个符号与真正的球之间完全没有共同属性，它仅仅是人为地和“球”的发音联在一起。
皮亚杰的发生认识论
①感知运动阶段（出生—2岁）。
主要是动作活动并有协调感觉、知觉和动作的活动，属于智慧萌芽时期。
②前运算阶段（2—7岁）。
出现了语言、符号，具有表象思维的能力，但缺乏可逆性。
③具体运算阶段（7—11岁、12岁）。
出现了逻辑思维和零散的可逆性，但一般还只能对具体事物或形象进行运算。
④形式运算阶段（11、12—14、15岁）。
能在头脑中把形式和内容会开，使思椎超出所感知的具体事物或形象，进行抽象的逻辑思维和命题运算。
林崇德关于小学生思维品质的发展研究
①整个小学时期内，智能从具体形象思维为主要形式过渡到以抽象逻辑思维为主要形式，但这种以抽象逻辑思维为核心成分的智能仍然带有很大的具体性。
②小学生的思维由具体形象到抽象逻辑的过渡，存在一个明显的“关键年龄”。
③小学生的智能由具体形象到抽象逻辑的发展过程中，存在着不平衡性。
——学习与发展，197页
小学生的数学思维特点
在小学阶段，学习者的思维发展水平主要处于具体运算阶段，他们能够因循逻辑规则进行推理思维，但是推理思维能力往往局限于眼前的具体情境或熟悉的经验，需要借助具体的形象进行。
无论从思维的凭借物、类型还是形式上来看，小学生的数学思维都具有鲜明的特点。
首先，从思维的凭借物看，小学生的数学思维是以直接经验为主的一种认识过程。
小学生学习数学离不开现实生活经验，他们需要从已有的生活经验出发，亲身经历将实际问题抽象为数学模型进而应用。
例如，一年级小学生学习认数，需要通过数小棒、摆物体等活动，获得有关的体验，从而认识数的意义；需要观察课桌、黑板、砖块等实物，感知长方体的形状；需要掂一掂各类物体，实际体验l千克的实际重量。
即使在复杂的数学思维过程中，如问题解决活动，他们也需要有与自己的直接经验有关的情境做支撑，否则思维活动的进行就比较困难。
其次，从思维类型上看，小学生的数学思维需要具体形象思维和抽象逻辑思维相结合。
尽管小学生的数学思维处于由具体形象思维为主向抽象逻辑思维为主的过渡阶段，但是纵观整个小学阶段，他们的思维是逐步发展的。
低年级更多的是具体形象思维；随着年龄的增长，知识的积累，到了中年级，具体形象思维的比重逐步减小，而抽象逻辑成分逐步加大。
但是，即使这样，到了五六年级，学生仍然不能像成人那样完全依托着抽象的数学概念进行思维，他们还往往要以具体的表象作为认识的支柱。
而且，小学生数学思维的发展过程，也不是单纯的相互替代关系。
在数学学习的过程中，形象思维、初步的逻辑思维往往是相互补充的。
再次，从思维形式上看，小学生对概念、规则的学习，主要凭借归纳推理进行。
也就是说，通过对一些典型实例的观察、比较、分析、综合，从中归纳出一般的结论。
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