鲁教版六年级数学67完全平方公式自主学习同步训练附答案.docx

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鲁教版六年级数学67完全平方公式自主学习同步训练附答案

2021年鲁教版六年级数学6.7完全平方公式自主学习同步训练（附答案）

1．计算：

①2a2•8a6﹣（﹣5a4）2；

②（﹣

x﹣1）（﹣

x﹣1）．

2．已知，a+b＝3，ab＝﹣2，求下列各式的值：

（1）（a﹣2）（b﹣2）；

（2）a﹣b．

3．已知x2+y2＝29，x+y＝7，求各式的值：

（1）xy；

（2）x﹣y．

4．已知（x+y）2＝12，（x﹣y）2＝8，求下列各式的值：

（1）xy；

（2）x3y+xy3．

5．计算：

（2x+1）2﹣（x+2）2．

6．计算：

（2a﹣3b）2﹣（3a﹣2b）2．

7．已知（m﹣53）（m﹣47）＝12，求（m﹣53）2+（m﹣47）2的值．

8．已知：

x+y＝5，xy＝3．

求：

①x2+5xy+y2；

②x4+y4．

9．某学生化简a（a+1）﹣（a﹣2）2出现了错误，解答过程如下：

解：

原式＝a2+a﹣（a2﹣4a+4）（第一步）

＝a2+a﹣a2﹣4a+4（第二步）

＝﹣3a+4（第三步）

（1）该学生解答过程是从第　　步开始出错，其错误原因是　　；

（2）请你帮助他写出正确的简化过程．

10．运算：

（x+2）2

11．已知：

am•an＝a5，（am）n＝a2（a≠0）．

（1）填空：

m+n＝　　，mn＝　　；

（2）求m2+n2的值；

（3）求（m﹣n）2的值．

12．利用整式乘法公式计算：

（1）2012；

（2）20192﹣2018×2020．

13．已知实数m，n满足m+n＝3，mn＝﹣3．

（1）求（m﹣2）（n﹣2）的值；

（2）求m﹣n的值．

14．已知x﹣y＝1，x2+y2＝9，求xy的值．

15．完全平方公式：

（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．

例如：

若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．

解：

因为a+b＝3，

所以（a+b）2＝9，即：

a2+2ab+b2＝9，

又因为ab＝1

所以a2+b2＝7

根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；

（2）填空：

①若（4﹣x）x＝5，则（4﹣x）2+x2＝　　．

②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝　　．

（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和S1+S2＝18，求图中三角形ACF部分面积．

16．如图①，是一个长为2m、宽为2n的长方形，用剪刀沿图中的虚线（对称轴）剪开，把它分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形（中间是空的）．

（1）图②中画有阴影的小正方形的边长等于多少？

（2）观察图②，写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2与mn之间的等量关系；

（3）根据

（2）中的等量关系解决下面的问题：

若a+b＝7，ab＝5，求（a﹣b）2的值．

17．如图，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD、BF，若两个正方形的边长满足a+b＝10，ab＝20，你能求出围成的BDEF部分的面积吗？

18．一个长方体的高是8cm，它的底面是边长为1cm的正方形，如果底面正方形的边长增加acm，那么它的体积增加多少？

（结果用a的代数式表示）

19．

（1）已知a﹣b＝2，ab＝5，求a2+b2﹣3ab的值；

（2）已知a2﹣a﹣1＝0，求a3﹣2a2+3的值．

（3）如图，有A型、B型、C型三种不同类型的纸板，其中A型是边长为a的正方形，B型是长为a，宽为b的长方形，C型是边长为b的正方形．若想用这些纸板拼成一个长方形，使其面积为（a+b）（a+2b）．

完成下列各题：

①填空（a+b）（a+2b）＝　　；

②请问需要A型纸板、B型纸板、C型纸板各多少张？

试说明理由．

20．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分面积为S2．

（1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2；

（2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值；

（3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3．

21．有一块直径为3a+2b的圆形零件，现需要在零件上挖去直径分别3a和2b的两个圆，求剩下的圆形零件的面积．

22．在整式乘法的学习过程中，我们常常利用图形的面积对运算结果加以说明．例如由图①中图形的面积可以得到等式：

m（a+b+c）＝ma+mb+mc．

（1）利用图②中图形的面积关系，写出一个正确的等式：

　　；

（2）计算（2a+b）（a+b）的值，并画出几何图形进行说明．

23．已知化简（x2+px+8）（x2﹣3x+q）的结果中不含x2项和x3项．

（1）求p，q的值；

（2）x2﹣2px+3q是否是完全平方式？

如果是，请将其分解因式；如果不是，请说明理由．

24．用等号或不等号填空：

（1）比较2x与x2+1的大小：

①当x＝2时，2x　　x2+1，

②当x＝1时，2x　　x2+1，

③当x＝﹣1时，2x　　x2+1；

（2）通过上面的填空，猜想2x与x2+1的大小关系为　　；

（3）无论x取什么值，2x与x2+1总有这样的大小关系吗？

试说明理由．

25．已知多项式A＝x2+2x+n2，多项式B＝2x2+4x+3n2+3．

（1）若多项式x2+2x+n2是完全平方式，则n＝　　；

（2）已知x＝m时，多项式x2+2x+n2的值为﹣1，则x＝﹣m时，该多项式的值为多少？

（3）判断多项式A与B的大小关系并说明理由．

26．阅读下面内容，并完成题目

通过计算容易得到下列算式：

152＝225，252＝625，352＝1225，…

（1）填写计算结果652＝　　，852＝　　，1052＝　　，

（2）观察以上各算式都是个位数字为5的数的平方数，可以看出规律，结果的末两位数字都是25，即是原来数字个位数字5的平方，前面的数字就是原来的数去掉5以后的数字乘以比它大1的结果，如：

152就是1×2＝2再连着写25得到225，252就是2×3＝6再连着写25得到625，352就是3×4＝12再连着写25得到1225，…

（3）如果记一个个位数字是5的多位数为10a+5，试用所学知识计算（10a+5）2并归纳解释上述规律．

27．

（1）当a＝﹣2，b＝1时，求两个代数式（a+b）2与a2+2ab+b2的值；

（2）当a＝﹣2，b＝﹣3时，再求以上两个代数式的值；

（3）你能从上面的计算结果中，发现上面有什么结论．结论是：

　　；

（4）利用你发现的结论，求：

19652+1965×70+352的值．

28．当x＝﹣2，y＝﹣4时，求下列各代数式的值（提示：

注意书写格式）：

（1）x2+2xy+y2；

（2）x2﹣2xy+y2．

29．把（x+3）（x+7）+4写成一个多项式的平方的形式．

30．一个单项式加上多项式x2﹣6x+4后等于一个整式的平方，试求这样的单项式并写出相应的等式（请写3个）

31．如果x2﹣2（m﹣3）x+25是一个完全平方式，那么m的值是多少？

32．小明在做作业时，不慎把墨水滴在纸上，将一个三项式前后两项污染得看不清楚了，中间项是12xy，请帮他把前后两项补充完整，使它成为完全平方式，有几种方法？

（至少写出三种不同的方法）

三项式：

■+12xy+■＝　　2．

（1）　　；

（2）　　；

（3）　　．

33．如果36x2+（m+1）xy+25y2是一个完全平方式，求m的值．

34．已知

，求值：

（1）

（2）

．

35．已知多项式4x2+1，添上一项，使它成为一个完全平方式，你有哪几种方法？

参考答案

1．解：

①原式＝16a8﹣25a8＝﹣9a8；

②原式＝

＝

＝

＝

．

2．解：

（1）∵a+b＝3，ab＝﹣2，

∴（a﹣2）（b﹣2）＝ab﹣2a﹣2b+4＝ab﹣2（a+b）+4＝﹣2﹣2×3+4＝﹣4；

（2）∵a+b＝3，ab＝﹣2，

∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×（﹣2）＝13，

∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝13﹣2×（﹣2）＝17，

∴a﹣b＝

．

3．解：

（1）∵x+y＝7，

∴（x+y）2＝49，

∴x2+2xy+y2＝49，

∵x2+y2＝29，

∴2xy＝20，

∴xy＝10．

（2）∵（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝29﹣20＝9，

∴x﹣y＝±3．

4．解：

（1）∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝12①，

（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝8②，

∴由①﹣②得：

4xy＝4，

∴xy＝1；

（2）由①+②得：

2x2+2y2＝2（x2+y2）＝20，

∴x2+y2＝10，

∴x3y+xy3＝xy（x2+y2）＝1×10＝10．

5．解：

（2x+1）2﹣（x+2）2＝4x2+4x+1﹣x2﹣4x﹣4＝3x2﹣3．

6．解：

原式＝4a2﹣12ab+9b2﹣9a2+12ab﹣4b2＝﹣5a2+5b2．

7．解：

（m﹣53）2+（m﹣47）2

＝[（m﹣53）﹣（m﹣47）]2+2（m﹣53）（m﹣47）＝（﹣6）2+2×12＝60．

8．解：

①∵x+y＝5，xy＝3，

∴x2+5xy+y2＝（x+y）2+3xy＝52+3×3＝34；

②∵x+y＝5，xy＝3，

∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝52﹣2×3＝19，

∴x4+y4＝（x2+y2）2﹣2x2y2＝192﹣2×32＝343．

9．解：

（1）第二步在去括号时，﹣4a+4应变为4a﹣4．故错误原因为去括号时没有变号．

（2）原式＝a2+a﹣（a2﹣4a+4）＝a2+a﹣a2+4a﹣4＝5a﹣4．

10．解：

（x+2）2＝x2+4x+4．

11．解：

（1）∵am•an＝a5，（am）n＝a2，

∴am+n＝a5，amn＝2，

∴m+n＝5，mn＝2，

故答案为5，2；

（2）m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝52﹣2×2＝21；

（3）（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn＝21﹣2×2＝17．

12．解：

（1）原式＝（200+1）2

＝2002+2×200×1+12＝40401；

（2）原式＝20192﹣（2019﹣1）（2019+1）＝20192﹣20192+1＝1．

13．解：

（1）∵m+n＝3，mn＝﹣3，

∴（m﹣2）（n﹣2）＝mn﹣2（m+n）+4＝﹣3﹣2×3+4＝﹣5；

（2）∵|m﹣n|＝

＝

＝

＝

，

∴m﹣n＝±

．

14．解：

因为x﹣y＝1，

所以（x﹣y）2＝1，

即x2+y2﹣2xy＝1；

因为x2+y2＝9，

所以2xy＝9﹣1，

解得xy＝4，

即xy的值是4．

15．解：

（1）∵x+y＝8，

∴（x+y）2＝64，

即，x2+2xy+y2＝64，

又∵x2+y2＝40，

∴2xy＝24

∴xy＝12；

（2）①（4﹣x）2+x2＝（4﹣x+x）2﹣2（4﹣x）x＝16﹣2×5＝6，

故答案为：

6；

②∵（4﹣x）（5﹣x）＝8，

∴（4﹣x）（x﹣5）＝8﹣，

∴（4﹣x）2+（5﹣x）2

＝（4﹣x）2+（x﹣5）2

＝[（4﹣x）+（x﹣5）]2﹣2（4﹣x）（x﹣5）

＝1﹣2×（﹣8）

＝1+16

＝17，

故答案为：

17；

（3）设AC＝a，BC＝b，则S1＝a2，S2＝b2，

由S1+S2＝18可得，a2+b2＝18，而a+b＝AB＝6，

而S阴影部分＝

ab，

∵a+b＝6，

∴a2+2ab+b2＝36，

又∴a2+b2＝18，

∴2ab＝18，

∴S阴影部分＝

ab＝

＝

，

即，阴影部分的面积为

．

16．解：

（1）图②中画有阴影的小正方形的边长（m﹣n）；

（2）（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；

（3）由

（2）得：

（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；

∵a+b＝7，ab＝5，

∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝49﹣20＝29；

答：

（a﹣b）2的值为29．

17．解：

S＝a2+b2﹣

a2﹣

（a+b）b

＝a2+b2﹣

a2﹣

ab﹣

b2

＝

（a2﹣ab+b2）

＝

[（a+b）2﹣3ab]，

当a+b＝10，ab＝20时，

S＝

[102﹣3×20]＝20．

答：

阴影部分的面积为20．

18．解：

底面正方形的边长增加acm后的长方体的体积＝8（1+a）2，

则8（1+a）2﹣8×12＝（8a2+16a）cm3，

所以它的体积增加了（8a2+16a）cm3．

19．解：

（1）a2+b2﹣3ab＝（a﹣b）2﹣ab＝4﹣5＝﹣1；

（2）∵a2﹣a﹣1＝0，∴a2﹣a＝1，

∴a3﹣2a2+3＝a3﹣a2﹣a2+3，

＝a（a2﹣a）﹣a2+3，

＝a﹣a2+3，

＝﹣（a2﹣a）+3，

＝﹣1+3，

＝2；

（3）①（a+b）（a+2b）＝a2+2ab+ab+2b2＝a2+3ab+2b2，

②需要A型纸板1张、B型纸板3张、C型纸板2张．

20．解：

（1）由图可得，S1＝a2﹣b2，

S2＝a2﹣a（a﹣b）﹣b（a﹣b）﹣b（a﹣b）＝2b2﹣ab；

（2）S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab，

∵a+b＝10，ab＝20，

∴S1+S2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝100﹣3×20＝40；

（3）由图可得，S3＝a2+b2﹣

b（a+b）﹣

a2＝

（a2+b2﹣ab），

∵S1+S2＝a2+b2﹣ab＝30，

∴S3＝

×30＝15．

21．解：

由题意得，π×（

）2﹣π×（

）2﹣π×（

）2，

＝π（

+

）（

﹣

）﹣πb2，

＝πb（3a+b）﹣πb2，

＝πb2+3abπ﹣πb2，

＝3abπ．

22．解：

（1）整个正方形的面积为（a+b）2，四块面积和为a2+2ab+b2，因此有（a+b）2＝a2+2ab+b2，

故答案为：

（a+b）2＝a2+2ab+b2，

（2）（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，图形如图所示：

23．解：

（1）（x2+px+8）（x2﹣3x+q）

＝x4﹣3x3+qx2+px3﹣3px2+pqx+8x2﹣24x+8q

＝x4+（﹣3+p）x3+（q﹣3p+8）x2+（pq﹣24）x+8q，

∵（x2+px+8）（x2﹣3x+q）的结果中不含x2项和x3项，

∴﹣3+p＝0且q﹣3p+8＝0，

解得：

p＝3，q＝1；

（2）x2﹣2px+3q不是完全平方式，

理由是：

当p＝3，q＝1时，x2﹣2px+3q＝x2﹣6x+3，

即x2﹣2px+3q不是完全平方式

24．解：

（1）比较2x与x2+1的大小：

当x＝2时，2x＜x2+1

当x＝1时，2x＝x2+1

当x＝﹣1时，2x＜x2+1，

故答案为：

＜，＝，＜；

（2）由

（1）可得2x≤x2+1；

故答案为：

2x≤x2+1；

（3）无论x取什么值，总有2x≤x2+1．

证明：

∵x2+1﹣2x＝（x﹣1）2≥0，

∴2x≤x2+1．

25．解：

（1）∵x2+2x+n2是一个完全平方式，

∴n2＝1，

∴n＝±1．

故答案为：

1或﹣1；

（2）当n＝m时m2+2m+n2＝﹣1，

∴m2+2m+1+n2＝0，

∴（m+1）2+n2＝0，

∵（m+1）2≥0，n2≥0，

∴x＝m＝﹣1，n＝0，

∴x＝﹣m时，多项式x2+2x+n2的值为m2﹣2m+n2＝3；

（3）B＞A．

理由如下：

B﹣A＝2x2+4x+3n2+3﹣（x2+2x+n2）＝x2﹣2x+2n2+3＝（x+1）2+2n2+2，

∵（x+1）2≥0，2n2≥0，

∴（x+1）2+2n2+2＞0，

∴B＞A．

26．解：

（1）652＝4225，852＝7225，1052＝11025；

故答案为：

4225，7225，11025；

（3）通过计算，探索规律：

52＝25，

152＝225＝100×1×（1+1）+25，

252＝625＝100×2×（2+1）+25，

352＝1225＝100×3×（3+1）+25，

452＝2025＝100×4×（4+1）+25，…

（10a+5）2＝100×a×（a+1）+25．

27．解：

（1）当a＝﹣2，b＝1时，（a+b）2＝1，a2+2ab+b2＝1

（2）当a＝﹣2，b＝﹣3时，（a+b）2＝25，a2+2ab+b2＝25

（3）（a+b）2＝a2+2ab+b2

故答案是：

（a+b）2＝a2+2ab+b2

（4）原式＝19652+2×1965×35+352＝（1965+35）2＝4000000

28．解：

（1）当x＝﹣2，y＝﹣4时，x2+2xy+y2＝（x+y）2＝（﹣2﹣4）2＝36，

（2）当x＝﹣2，y＝﹣4时，x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2＝（﹣2+4）2＝4．

29．解：

原式＝x2+10x+25＝（x+5）2．

30．解：

①加5，则x2﹣6x+4+5＝（x﹣3）2；

②加10x，则x2﹣6x+4+10x＝（x+2）2；

③加2x，则x2﹣6x+4+2x＝（x﹣2）2．

31．解：

∵x2﹣2（m﹣3）x+25是一个完全平方式，

∴2（m﹣3）＝±10，

解得：

m＝8或﹣2．

32．解：

（1）4x2+12xy+9y2＝（2x+3y）2；

（2）4x2y2+12xy+9＝（2xy+3）2；

（3）x2y2+12xy+36＝（xy+6）2；

故答案为：

（1）4x2+12xy+9y2＝（2x+3y）2；

（2）4x2y2+12xy+9＝（2xy+3）2；（3）x2y2+12xy+36＝（xy+6）2

33．解：

∵36x2+（m+1）xy+25y2＝（6x）2+（m+1）xy+（5y）2，

∴（m+1）xy＝±2•6x•5y，

∴m+1＝±60，

∴m＝59或﹣61．

34．解：

（1）∵x+

﹣3＝0，

∴x+

＝3，

∴

＝（x+

）2﹣2＝9﹣2＝7，

即

＝7；

（2）由

（1）知，

＝7，

∴（x﹣

）2＝

﹣2＝7﹣2＝5，

∴x﹣

＝±

．

35．解：

4x，﹣4x，4x4

设所求的一项是y，则

①当y是中间项时，

∵4x2+1±y是完全平方式，

∴4x2+y+1＝（2x+1）2，

∴4x2±y+1＝4x2+4x+1，

∴y＝±4x；

②当y是尾项时，

1＝2×2x•

，则y＝

．

不合题意，舍去