高中数学 63不等式的证明第二课时 大纲人教版必修.docx
《高中数学 63不等式的证明第二课时 大纲人教版必修.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 63不等式的证明第二课时 大纲人教版必修.docx（25页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
高中数学63不等式的证明第二课时大纲人教版必修
2019-2020年高中数学6.3不等式的证明（第二课时）大纲人教版必修
●教学目标
（一）教学知识点
1.公式法证明不等式.
2.两正数和为定值或积为定值求最值.
（二）能力训练要求
1.掌握用公式法证明不等式.
2.理解并掌握用两正数和为定值或积为定值求最值.
（三）德育渗透目标
利用公式法证明不等式，既培养了学生观察应变的逻辑思维能力，又培养了学生实事求是的科学态度，进一步加强对学生辩证唯物主义观念的教育.
●教学重点
公式法证明不等式.
1.a,b∈R,a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时，取等号.
2.a>0,b>0,,当且仅当a=b时取等号.
（1）若ab为定值P,则当a=b时，a+b有最小值2.
（2）若a+b为定值S,则当a=b时，ab有最大值S2.
3.利用求最大值最小值是解决最值问题常用的方法，在具体解题过程中应注意三点：
（1）两数均为正数；
（2）两正数之和或之积为定值；（3）在两正数的取值范围内，两正数可以相等.
●教学难点
1.对一些条件不等式，条件的合理利用.
2.求最值时，找和为定值或积为定值，如何凑和或积为定值.
●教学方法
读、议、练、讲单元教学法
●教具准备
幻灯片两张
第一张：
记作§6.3.2A
公式法证明不等式
一、基本公式
（1）若a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取“=”号.
（2）若a,b∈R,则,当且仅当a=b时取“=”号.
①若ab为定值P，则当a=b时，a+b有最小值2.
②若a+b为定值S,则当a=b时，ab有最大值S2.
二、基本公式的等价形式及推广
（1）ab≤（a,b∈R）,当且仅当a=b时取“=”号.
（2）ab≤（）2（a>0,b>0）,当且仅当a=b时取“=”号.
（3）≥2（ab>0）,当且仅当a=b时取“=”号.
第二张：
记作§6.3.2B
基本公式及其推广的应用：
［例1］已知a>0,b>0,且a+b=1,求证：
（1）≥4;
（2）a2+b2≥;
（3）≥8;（4）a3+b3≥;
（5）;（6）（1+）（1+）≥9;
（7）（1-）（1-）≥9;
（8）（a+）2+（b+）2≥;
（9）（a+）2+（b+）2≥.
●教学过程
Ⅰ.课题导入
今天，我和同学们来共同探索“公式法”证明不等式.这节课并不难，而涉及的题目变形灵活，只要我们理解并掌握了“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数（均值不等式）”，这一重要定理，在此基础上，灵活利用它的推广及其变形（几个重要的不等式），就能学会并把握好“公式法”证明不等式这一重要方法.相信同学们能获得成功.
（打出幻灯片§6.3.2A，引导学生阅读基本公式及基本公式的变形及推广）
我们要重点掌握下面的基本公式及变形：
（1）若a,b∈R,a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取“=”号.
（2）若a>0,b>0,,当且仅当a=b时取“=”号.
①若ab为定值P,则当a=b时，a+b有最小值2.
②若a+b为定值S,则当a=b时，ab有最大值S2.
（3）a,b∈R,则ab≤,当且仅当a=b时取“=”号.
（4）a>0,b>0,则ab≤（）2,当且仅当a=b时取“=”号.
（通过阅读幻灯片§6.3.2A，疏理出重点知识，引导同学们完成下面例1的证明过程）
Ⅱ.讲授新课
（打出幻灯片§6.3.2B，引导学生阅读例1）
［例1］已知a>0,b>0,且a+b=1,
求证：
（1）≥4;
（2）a2+b2≥;
（3）+≥8;
（4）a3+b3≥;
（5）;
（6）（1+）（1+）≥9;
（7）（1-）（1-）≥9;
（8）（a+）2+（b+）2≥;
（9）（a+）2+（b+）2≥.
［师］解题时，正确、迅速地把握解题的“切入点”是很重要的，而“切入点”的选择一方面要依靠对题设的分析，另一方面来自解题的“经验”，本题中由目标不等式发现含有形如ab,a+b,a2+b2等式子，故由“经验”马上联想公式a2+b2≥2ab（a,b∈R）及（a,b∈R+），即可很快得证.在不等式证明中，两个正数a,b的和为1（即a+b=1）,作为条件出现在题设，这时用好这个“1”常常成为解题的关键.
［生］
（1）∵a>0,b>0，
.
（2）∵a>0,b>0，且a+b=1
∴a2+b2=（a+b）2-2ab=1-2ab
≥1-2·（）2=1-=
故a2+b2≥.
（3）∵a>0,b>0，且a+b=1
∴
故≥8.
（4）∵a>0,b>0，且a+b=1.
∴a3+b3=（a+b）3-3ab（a+b）
=1-3ab≥1-3·（）2=
或a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）
=a2+b2-ab=（a+b）2-3ab
=1-3ab≥1-3·（）2=
故a3+b3≥.
（3）∵a>0,b>0，且a+b=1
∴（）2=a+b+2=1+2≤1+（a+b）=2
故≤.
（6）∵a>0,b>0，且a+b=1
∴（1+）（1+）=1+++
=1++=1+
≥1+
=9
故（1+）（1+）≥9.
（7）∵a>0,b>0，且a+b=1
∴
故（1-）（1-）≥9.
（8）∵a>0,b>0，且a+b=1
∴（a+）2+（b+）2=a2+b2+4++
≥（a+b）2-2ab+4+
≥
故（a+）2+（b+）2≥.
（9）∵a>0,b>0，且a+b=1
∴（a+）2+（b+）2
=a2+b2+2（+）+
≥
故（a+）2+（b+）2≥.
注：
以上各题中均当且仅当a=b=时取等号.
［师生共析］运用“公式法”证明不等式的难点在于如何通过对所证命题进行变形，使其反应出某种形式的“和”与“积”之间的关系（不妨简记为“和”不小于“积”）.那么，我们在解题时，就可以充分利用这一特征，来选择公式及其等价形式求得证明.
［例2］（必要时此题可打在幻灯片上）小强家住在农村，十月一日，国庆节放假回家，正赶上父亲收割庄稼，由于今年大丰收粮食太多，自家的谷仓已全部装满，还剩下很多.这时爸爸想出了一个主意，决定用一个长方形木板，借助两面墙，在西屋的墙角处围了一个直三棱柱的谷仓，木板可立，可横.小强心想，这么多的粮食，怎样围才能装最多的粮食呢？
经过测量和运算，小强得到了满意的方案，向父亲提供了建议.请你叙述小强的作法.如果换成任意的两面墙，如何处理？
（引导学生认真审题，寻求数量关系，找准“切入点”，求得解答）
［师］显然，围成直三棱柱的底面为直角三角形，若两直角边分别为x和y,则x2+y2是长方形木板的长或宽（定值）的平方.这样，本例的问题主要体现在均值不等式的应用上.
［生］小强用直尺测出木板的长为a,宽为b，依题可知：
a>b>0，且两墙夹角（即二面角）为90°.
（1）a作底边,设S底为底面直角三角形的面积,两直角边一个是x,一个是y,则有:
S底=xy,V1=（xy）·b,且x2+y2=a2
∵x2+y2≥2xy
∴xy≤
∴V1≤,当且仅当x=y=a时取“=”号.
（2）b作底边，同
（1）可得V2≤,当且仅当x=y=b时取“=”号.
又a>b>0∴ab>0,a-b>0
∴V1-V2=-=ab（a-b）>0
∴V1>V2,即>
故把长方形木板的长边放在底面，且围成的直三棱柱的底面是等腰直角三角形时，容积最大.
若两面夹角（即二面角）换成α时，解答如下：
设用矩形木板长a作直三棱柱的侧棱，宽b作为底面的一条边，底面三角形的另两边的长分别是x,y,体积为V1，则有：
∴xy=,x2+y2=b2+≥2xy
∴b2+≥
整理得：
V1≤ab2·cot,当x=y时取“=”号.
设矩形木板的宽b作侧棱，则
当x=y时，V2=a2b·cot.
∵a>b>0,∴ab>0,a-b>0
∴a2b>ab2即V2>V1
故把矩形木板的长边放在底面，且围成的直三棱柱的底面是等腰三角形（顶角为α）时，容积最大，且最大值Vmax=a2b·cot.
［师生共析］均值不等式在实际问题中的应用相当广泛，解题过程为：
（1）建模（即函数关系式），
（2）构造定值（构造“积”或“和”为定值），（3）验证“=”号成立.
Ⅲ.课堂练习
1.已知a>0,b>0,a+b≤4,求证：
≥1.
分析：
公式：
若a>0,b>0,则（当且仅当a=b时取等号）的应用.
证明：
∵a>0,b>0,a+b≤4
∴2≤a+b≤4
∴≤2,即
故≥2≥2×=1
即≥1.
2.已知a,b,c为不等的正数，且abc=1,
求证：
.
分析：
根据已知条件，对abc=1作适当变形，即
然后利用公式（a>0,b>0）得证：
证明：
∵a,b,c是不等的正数，且abc=1
3.求证：
>2.
分析：
考虑分子、分母的关系可知：
x2+5=（x2+4）+1,所以用基本公式（a>0,b>0）即可得证.
证明：
∵x∈R∴x2≥0
∴x2+5>0,x2+4>0
∵时有x2+3=0，这不可能，∴上述均值不等式中等号不成立.
故>2.
4.设a>b>c,求证：
.
分析：
我们通常在不等式两边均为正值时，才能考虑公式ab≤（）2的应用.
证明：
∵a>b>c
∴a-b>0,b-c>0,a-c>0
Ⅳ.课时小结
本节课，我们学习了用“公式法（均值不等式）”证明不等式，其核心是灵活变形.关键在于认清公式（均值不等式）的结构特点和取“=”条件，要在证明不等式的具体问题中寻求运用公式（均值不等式）的适当形式和具体方式，自觉提高解决遇到不同题型的应变能力.
Ⅴ.课后作业
（一）练习
1.已知：
lg（x2+1）+lg（y2+4）=lg8+lgx+lgy,求x,y的值.
分析：
应用对数的运算法则将原方程转化为：
lg+lg=0.
解：
∵x2+1≥2x>0（依题知x>0,y>0）
∴≥1
即lg≥0
同理可知：
lg≥0
对于两非负数，当且仅当它们都为零时，其和才为零，即lg=0,lg=0.所以,x2+1=2x,y2+4=4y.
故x=1,y=2.
2.已知a>0,b>0,求证：
a+b+.
分析：
本题采用公式法.题中含有形如：
a+b,ab等式子，多次运用公式［,（a>0,b>0）］即可得证.直接使用公式时，要从式子的形式和条件两个方面进行观察.
证明：
∵a>0,b>0∴a+b>0,ab>0.
∴a+b+
≥2
故a+b+.
（二）1.预习内容：
课本P14“综合法”证明不等式.
2.预习提纲：
（1）什么是综合法？
它的基本思想是什么？
（2）它适合证明哪类不等式？
●板书设计
§6.3.2不等式的证明
（二）
一、基本公式例题
若a>0,b>0,则课堂练习
二、基本公式的变形课时小结
若a>0,b>0,则ab≤（）2.课后作业
2019-2020年高中数学6.3不等式的证明（第五课时）大纲人教版必修
●教学目标
（一）教学知识点
证明不等式常用的其他数学方法:
（1）分析综合法;
（2）反证法;
（3）判别式法;（4）换元法;
（5）放缩法;（6）数学归纳法等.
（二）能力训练要求
1.掌握比较法,综合法、分析法的综合运用.
2.理解掌握分析综合法、反证法、判别式法、换元法、放缩法、数学归纳法等证明不等式的基本原理和思路.
（三）德育渗透目标
1.激发学生学习兴趣、求知欲望,养成良好的数学思维品质.
2.培养学生联系变化的观点和应用数学的意识.
3.培养学生严谨周密的逻辑推理能力.
4.培养学生的创新意识和不断探求新问题的能力.
●教学重点
分析综合法的基本思想是从命题的两头向中间“挤”来论证数学命题;
反证法的基本思想是通过否定结论,导出矛盾,从而肯定结论;
判别式法:
对于含有两个或两个以上字母的不等式,若能够整理成一边为零,另一边为关于某个字母的二次三项式,若该二次三项式的判别式小于零,则该二次三项式在二次项系数大于零时,恒大于零;若二次项系数小于零时,二次三项式恒小于零;
换元法:
若原不等式的代数式,经过适当的三角换元,或代数换元,使证明过程简化时,则可通过换元法去证明之;
放缩法:
借助不等式的传递性,要证明A≥B,只须证得A≥C,C≥B方可,或借助其他途径放缩,如利用函数的单调性证明;
数学归纳法:
是证明与自然数有关命题的一种重要的数学方法.
●教学难点
分析综合法关键在于如何缩短“条件”与“结论”之间的距离;
反证法证题的核心在于依据假设找矛盾;
判别式法要注意根的范围和题目本身的条件限制;
换元法,要注意换元的等价性,如a+b=1,a,b∈R,则不可换为a=cos2θ,b=sin2θ,必须在a≥0,b≥0时,才可以这样换;
放缩法,有时需舍去一些正项或负项,要舍得恰到好处;
数学归纳法要注意它的步骤格式.
●教学方法
讲练结合法,即通过典型例题的分析讲解,结合课堂练习,使学生掌握不等式的其他证明方法,以致于提高灵活应变的解题能力.
●教具准备
幻灯片三张
第一张:
例题（记作§6.3.5A）
1.已知0loga（ax+ay）≤loga2+.
2.已知a,b,c∈（0,1）,求证:
（1-a）b,（1-b）c,（1-c）a不能都大于.
3.已知x2-2xy+y2+x+y+1=0,求证:
.
4.已知-1≤x≤1,n≥2且n∈N,求证:
（1-x）n+（1+x）n≤2n.
5.用数学归纳法证明下列不等式:
若a>0,b>0,且b∈N+,证明.
6.用放缩法证明下列不等式:
（1）若n∈N,n>2,则logn（n-1）·logn（n+1）<1.
（2）若tanθ=ntanφ（tanθ≠0,n>0）,则tan2（θ-φ）≤.
（3）已知a>0,b>0,c>0,d>0,求证:
1<
<2.
第二张：
课堂练习（记作§6.3.5B）
1.已知x2+y2=1,求证:
|x2+2xy-y2|≤.
2.已知△ABC的三边长分别是a,b,c,且m>0,求证:
.
3.已知a,b,c,d∈R,a+b=c+d=1,且ac+bd>1,
求证:
a,b,c,d中至少一个是负数.
4.设x,y,z∈R,求证:
x2-xz+z2+3y（x+y-z）≥0.
第三张：
课后作业（记作§6.3.5C）
1.如果a,b,c,x,y,z∈R,且满足关系式:
ac-b2>0,az+2by+cx=0,xyz≠0,求证:
xz-y2<0.
2.已知a>0,b>0,c>0,且a+b>c,求证:
.
3.若0b<.
4.证明x2+m+2>3mx-m2.
5.设a>b>c,且a,b,c满足等式a+b+c=1,a2+b2+c2=1,求证:
（1）1（2）●教学过程
Ⅰ.课题导入
［师］前一段时间,我们共同探讨学习了证明不等式的几种基本方法:
比较法、公式法、综合法、分析法.今天,我们继续探讨学习证明不等式的其他常用的数学方法,如分析综合法、反证法、判别式法、换元法、放缩法、数学归纳法等等.
这节课,我们要通过对下面典型例题进行讨论和认真剖析,使大家在理解的基础上,掌握上述其他常用证明方法的基本思想和证题步骤.
Ⅱ.讲授新课
（打出幻灯片§6.3.5A,学生阅读题目,教师根据自己学生的特点和针对教学情况,选定4至5个例题,和学生共同分析剖解,以达到本节教学目的）
［师］下面,我们共同来探索研究不等式的证明.
［例1］已知0loga（ax+ay）≤loga2+.
［师生同议］由于0（师生同议下,教师板书简要证明过程）
证明:
∵ax>0,ay>0
∴①
由已知y=-x2代入①式右边得:
ax+ay≥2a
∵0loga（ax+ay）≤loga（2a）
=loga2+
=loga2-（x-）2+≤loga2+②
∵①②两式中等号成立的条件是:
这与已知x2+y=0矛盾.
∴①②两式中等号不同时成立.
故loga（ax+ay）≤loga2+成立.
［师生共析］本题中,如果缺乏了前面的分析转化,我们定会感到不知从何下手,从这里我们也体会到,分析法与综合法联用,对处理综合性较强的问题是非常有效的.
［例2］已知a,b,c∈（0,1）,求证:
（1-a）b,（1-b）c,（1-c）a不能都大于.
［师生同议］此题如果直接用综合法从正面去证明结论成立,即三个代数式的值不都大于,则需考虑7种情况.但其反面只有一种,因而就比较容易证明.因此,本题易于用反证法.
证明:
假设三式均大于,即
∵00
∴
即1-a+b>1
∴b-a>0①
同理可证:
c-b>0②
a-c>0③
由①+②+③得:
0>0,矛盾.
所以假设不成立,故原命题成立.
［师生共析］反证法是证明不等式的常用方法之一,反证法常用于证明:
（1）难于直接使用已知条件导出结论的命题.
（2）惟一性命题.
（3）“至多”或“至少”性命题.
（4）否定性或肯定性命题.
［例3］已知x2-2xy+y2+x+y+1=0,求证:
.
［师生同议］本题题设是关于x,y的二元二次方程,若令t=,并代入已知式，则可得到关于x的二次方程，故可考虑运用判别式法.
证明:
令t=,则y=tx,将其代入已知式得:
x2-2x·tx+t2x2+x+tx+1=0
即（t-1）2x2+（t+1）x+1=0
（1）当t=1时,<1<3∴不等式成立.
（2）当t≠1时,
∵x∈R,∴其判别式Δ≥0
即（t+1）2-4（t-1）2≥0
∴（t-3）（3t-1）≤0
解之得:
≤t≤3
∴不等式成立.
［师生共析］此题使用判别式法,首先应构造出一个一元二次方程,这时若二次项系数含有参数时,要注意讨论.
［例4］已知-1≤x≤1,n≥2且n∈N,求证:
（1-x）n+（1+x）n≤2n
［师生同议］因为-1≤x≤1,这与正弦、余弦的值域一致,考虑到目标不等式左边有1+x与1-x,故可运用二倍角余弦公式进行化简,从而采用三角换元法证明.
证明:
∵-1≤x≤1,故可设x=cos2α,（0≤α≤）
则1-x=1-cos2α=2sin2α,
1+x=1+cos2α=2cos2α
∵n≥2,且n∈N
∴sin2n-2α≤1,cos2n-2α≤1
∴sin2nα≤sin2α,cos2nα≤cos2α
∴（1-x）n+（1+x）n
=2nsin2nα+2ncos2nα
≤2nsin2α+2ncos2α=2n
故原不等式（1-x）n+（1+x）n≤2n成立.
［师生共析］有些不等式证明问题中,含有一些特殊的条件及特殊的运算关系,这些条件或运算关系,恰好满足三角关系,则可采用三角代换法证明.以下是几种常见的三角代换法.
（1）若题目中含有|a|≤1,则可设a=sinα,（-≤α≤或设a=cosα,0≤α≤π）.
（2）若题目中含有a2+b2=1,则可设a=cosα,b=sinα,其中0≤π<2π.
（3）若题目中含有,则可设x=cosx,其中0≤α≤π.
（4）若题目中含有,则可设x=tanx,其中.
（5）若题目中含有x+y=r（其中x>0,y>0）,则可设x=rcos2α,y=rsin2α,其中α∈（0,）.
（6）若题目中含有a2+b2=m2（m>0）,则可设a=mcosα,b=msinα,其中0≤α<2π.
［例5］用数学归纳法证明下列不等式:
若a>0,b>0且n∈N*,证明.
［师生同议］用数学归纳法证明不等式,要注意步骤格式,在假设n=k+1（k∈N*）时,如何确定增加的项.
证明:
（1）当n=1时,左边=,右边=
∴不等式成立.
（2）假设当n=k时,不等式成立,即.则当n=k+1时,
∵（ak+1+bk+1）-（akb+abk）=（a-b）（ak-bk）
又a>0,b>0
∴（a-b）（ak-bk）≥0
∴akb+abk≤ak+1+bk+1
∴
.
∴n=k+1时,不等式也成立.
由
（1）
（2）得,对于n∈N*有.
［师生共析］用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤是:
（1）证明当n取第一个值n0（例如n0=1或2）时结论正确;
（2）假设当n=k（k∈N*且k≥n0）时结论正确,证明当n=k+1时结论也正确.
在完成了这两个步骤以后,就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都正确.
［例6］用放缩法证明下列不等式:
（1）若n∈N,n>2,则logn（n-1）logn（n+1）<1；
（2）若tanθ=ntanφ（tanθ≠0,n>0）,则tan2（θ-φ）≤；
（3）已知a>0,b>0,c>0,d>0,求证:
1<
<2
［师生同议］证明不等式常常需要根据不等式的性质对原不等式的一端进行“同向”变形,即进行放大或缩小.这种利用放缩原理证明不等式的方法叫做放缩法.在放缩代换中常用下列变形:
①A>B,B>C,则A>C;
②A=B,B>C,则A>C;
③A>B,B=C,则A>C.
证明:
（1）∵n∈N,且n>2
∴logn（n-1）>0,logn（n+1）>0,且logn（n-1）≠logn（n+1）
∴logn（n-1）logn（n+1）
<［］2
=［logn（n2-1）］2<［lognn2］2=1
故原不等式成立.
（2）∵tanθ=ntanφ,且tanφ≠0
∴tan2（θ-φ）=（）2
=［］2
≤
.
故原不等式成立.
（3）∵a>0,b>0,c>0,d>0,则
将以上各式相加得:
即:
1<
<2成立.
［师生共析］用放缩法证明不等式时,经常用到如下放缩技巧:
（1）适当增加或舍弃一些正项或负项,或非正项或非负项.如A+a2≥A,B-|a|≤b.
（2）若分式的分子、分母均为正数,则可把分式的分子或分母适当放大或缩小,以达到对分式放缩的目的,如本例中第（3）题的证明.
（3）利用已知不等式进行放缩,如本例中第
（1）、
（2）题的证明,使用了均值不等式进行放缩.
（4）利用函数的单调性进行放缩,如本例中第
（1）题的证明,用到了对数函数的单调性.
（5）利用基本函数的值域进行放缩.如:
|sinx|≤1,|cosx|≤1等等.
Ⅲ.课堂练习
（打出幻灯片§6.3.5B,在教师指导下,学生有步骤地进行练习,以达到巩固用换元法、放缩法、反证法、判别式法证明不等式的目的,提高学生分析问题和解决问题的能力）
1.已知x2+y2=1,求证:
|x2+2xy-y2|≤.
分析:
常见的换元形式有:
①x2+y2=a2,可令x=acosθ,y=asinθ;②x2+y2<1,可令x=tcosθ,y=tsinθ（|t|<1）;③|x|<1,可令x=cosθ;④x∈R,可令x=tanθ等.
本题中,由x2+y2=1可联想到三角公式sin2θ+cos2θ=1,故考虑三角换元法,即设x=cosθ,y=sinθ.
证明:
令x=cosθ,y=sinθ,则
|x2+2xy-y2|=|cos2θ+2cosθsinθ-sin2θ|
=|cos2θ+sin2θ|
=|sin（2θ+）|≤.
故命题得证.
2.已知△ABC的三边长分别是a,b,c,且m>0,求证:
.
分析:
考虑到△ABC的三边a,b,c均为正数,且m>0,由目标不等式形式可联
升级会员 