天津市河北区高三模拟考试数学试题含答案.docx
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天津市河北区高三模拟考试数学试题含答案
2020年天津市河北区高三6月模拟考试
数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至8页．
第Ⅰ卷（选择题共45分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3．本卷共9小题，每小题5分，共45分。
参考公式：
·如果事件A，B互斥，那么
P（A∪B）＝P（A）＋P（B）
·如果事件A，B相互独立，那么
P（AB）＝P（A）P（B）
·球的表面积公式S＝
球的体积公式V＝
其中R表示球的半径
一、选择题：
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知全集，集合，，则
（A）（B）
（C）（D）
（2）命题“”的否定是
（A）（B）
（C）（D）
（3）若复数（为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数的值为
（A）（B）
（C）（D）
（4）袋子中有6个大小质地完全相同的球，其中1个红球，2个黄球，3个蓝球，从
中任取3个球，则恰有两种颜色的概率是
（A）（B）
（C）（D）
（5）某班同学进行社会实践，对岁的人群随机抽取人进行了生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图如下，则图表中的p，a的值分别为
（A），20（B），40
（C），60（D），80
（6）已知双曲线和直线，若过双曲线的左焦点和点的直线与直线平行，则双曲线的离心率为
（A）（B）
（C）（D）
（7）已知抛物线的焦点为，准线为，直线交抛物线于
，两点，过点作准线的垂线，垂足为，若等边的面积为，
则的面积为
（A）（B）
（C）16（D）
（8）已知函数，则
（A）的最小正周期为（B）的图象关于点对称
（C）的最大值为（D）的图象关于直线对称
（9）已知函数，若有两个零点，
则下列选项中不正确的是
（A）（B）
（C）（D）
第Ⅱ卷
注意事项：
1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
2．用黑色墨水的钢笔或签字笔答在答题纸上。
3．本卷共11小题，共105分。
得分
评卷人
2、填空题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案
写在答题纸上.
（10）二项式的展开式中的常数项为．
（11）圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为的
圆的方程为．
（12）曲线在点处的切线的斜率为，在该点处的切线
方程为．
（13）已知，且，则的最小值为______________．
（14）在平行四边形中，已知，，，若，
，则．
（15）已知函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则的取值范围是．
三、解答题：
本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
得分
评卷人
（16）（本小题满分14分）
已知的内角的对边分别为，满足
．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求的值；
（Ⅲ）若的面积为，，求的周长．
请将答案写在答题纸上
得分
评卷人
（17）（本小题满分15分）
如图，直三棱柱的所有棱长都是2，，分别是，的中点．
（Ⅰ）求证：
平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角的余弦值．
请将答案写在答题纸上
得分
评卷人
（18）（本小题满分15分）
已知数列的前项和为，且，．
（Ⅰ）证明：
数列是等比数列；
（Ⅱ）若，，求数列的前项和．
请将答案写在答题纸上
得分
评卷人
（19）（本小题满分15分）
已知椭圆的短轴长为，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆的左，右焦点分别为，，左，右顶点分别为，，点，为椭圆上位于轴上方的两点，且，记直线，的斜率分别为，，若，求直线的方程．
请将答案写在答题纸上
得分
评卷人
（20）（本小题满分16分）
已知函数，其中．
（Ⅰ）若为单调递减函数，求的取值范围；
（Ⅱ）若有两个不同的零点，求的取值范围．
请将答案写在答题纸上
参考答案
1、选择题：
本大题共9小题，每小题5分，共45分．
题号
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
答案
B
C
A
D
C
A
B
D
B
二、填空题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分．
（10）15；（11），或；
（12），；（13）；（14）；
（15），或．
3、解答题：
本大题共5小题，共75分．
（16）（本小题满分14分）
解：
（Ⅰ）∵，
由余弦定理得，．.…….……2分
化简得，．.…….……3分
∴．.…….……4分
又，
∴．.…….……5分
（Ⅱ）由已知得，．.…….……6分
∴，
．.…….……8分
∴．.…….……10分
（Ⅲ）∵，
∴．.…….……12分
由余弦定理得，．
解得．
∴的周长为．.…….……14分
（17）（本小题满分15分）
证明：
（Ⅰ）取的中点，连接．
由题意，易证，，两两垂直．
以为坐标原点，以，，所
在直线分别为轴，轴，轴建立如
图所示的空间直角坐标系，
则，，，
，
．.…….……2分
∵，，
∴，．.…….……4分
又，
∴平面．.…….……5分
解：
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得平面的法向量．.…….……7分
．
设直线与平面所成的角为．
∵，
∴直线与平面所成角的正弦值为．.…….……10分
（Ⅲ）设平面的法向量．
∵，
∴即
不妨取，得．.…….……12分
设二面角的平面角为．
∵，
∴二面角的余弦值为．.…….……15分
（18）（本小题满分15分）
证明：
（Ⅰ）当时，，∴．.…….……1分
当时，，
，.…….……2分
∴，即．.…….……4分
从而，即．.…….……6分
又，
∴数列是以1为首项，3为公比的等比数列．.…….……7分
解：
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即．.…….……9分
∴．.…….……11分
（19）（本小题满分15分）
解：
（Ⅰ）由题意可知，
又，.…….……3分
解得，，．
∴椭圆的方程为．.…….……5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，，，．
设直线的方程为．.…….……6分
记直线与椭圆的另一交点为．
设，．
∵，
由对称性得，．
由消去，整理得．.…….……7分
∵，
∴，．①.…….……9分
由，
得，即．②.…….……11分
由①②，解得，．.…….……13分
∵，
∴．
∴．
解得．.…….……14分
∴直线的方程为，即．.…….……15分
（20）（本小题满分16分）
解：
（Ⅰ）函数的定义域为．.…….……1分
∵，
∴．.…….……2分
若函数为单调递减函数，
则．
∴对恒成立．.…….……4分
设．
令，
解得．
∴．
∵函数在单调递减，在单调递增，
∴函数的最小值为．.…….……6分
∴，即的取值范围是．.…….……7分
（Ⅱ）由已知，．
设，
则函数有两个不同的零点等价于函数有两个不同的零点．
∵，.…….……8分
∴
（1）当时，
函数在单调递减，在单调递增．
若函数有两个不同的零点，
则，即．
当时，
当时，．
当时，，
∵，
∴．
∴．
∴函数在，上各有一个零点．
故符合题意．.…….……11分
（2）当时，
∵函数在单调递减，
∴函数至多有一个零点，不符合题意．.…….……12分
（3）当时，
∵函数在单调递减，在单调递增，在单调递减，
∴函数的极小值为．
∴函数至多有一个零点，不符合题意．.…….……14分
（4）当时，
∵函数在单调递减，在单调递增，在单调递减，
∴函数的极小值为．
∴函数至多有一个零点，不符合题意．
综上，的取值范围是．.…….……16分
注：
其他解法可参照评分标准酌情给分
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