完整版对角化矩阵的应用本科毕业设计.docx

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完整版对角化矩阵的应用本科毕业设计

XXX学校

毕业论文（设计）

对角化矩阵的应用

学生

学院

专业

班级

学号

指导教师

2015年4月25日

毕业论文（设计）承诺书

本人郑重承诺：

1、本论文（设计）是在指导教师的指导下，查阅相关文献，进行分析研究，独立撰写而成的.

2、本论文（设计）中，所有实验、数据和有关材料均是真实的.

3、本论文（设计）中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或机构已经撰写发表过的研究成果.

4、本论文（设计）如有剽窃他人研究成果的情况，一切后果自负.

学生（签名）：

2015年4月25日

对角化矩阵的应用

摘要

矩阵对角化问题是矩阵理论中一个关键性问题.本文借助矩阵可对角化条件，可对角化矩阵性质和矩阵对角化方法来研究可对角化矩阵一些应用，包括求方阵的高次幂，反求矩阵，判断矩阵是否相似，求特殊矩阵的特征值，在向量空间中证明矩阵相似于对角矩阵，运用线性变换把矩阵变为对角矩阵，求数列通项公式与极限，求行列式的值.

【关键词】对角化；特征值；特征向量；矩阵相似；线性变换

Applicationofdiagonalizationmatrix

Abstract

Matrixdiagonalizationproblemisthekeyissueinthematrixtheory.Inthispaper,byusingmatrixdiagonalizationconditions,diagonalizationmatrixpropertiesandmatrixdiagonalizationmethodwestudysomeapplicationsofdiagonalizationmatrix,includingforthevectorspacethatmatrixsimilartoadiagonalmatrix,usinglineartransformationmatrixisadiagonalmatrix,fortheseriesofgeneraltermformulaandlimit,thedeterminantofvalue.

[Keywords]Thediagonalization;Eigenvalue;Featurevector;Similar;Lineartransformation

目录

引言1

1矩阵对角化1

1.1矩阵对角化的几个条件1

1.2对角化矩阵的性质3

1.3矩阵对角化的方法5

2对角化矩阵的应用5

2.1求方阵的高次幂5

2.2反求矩阵6

2.3判断矩阵是否相似7

2.4求特殊矩阵的特征值7

2.5在向量空间中应用7

2.6在线性变换中应用7

2.7求数列通项公式与极限8

2.8求行列式的值11

2.9对角化矩阵在其他方面的应用12

参考文献14

致谢15

引言

现如今，我们所提到的矩阵对角化其实质指的就是矩阵和对角阵存在相似的地方,其中我们学过的线性变换也是可对角化的,其原理是指在某一组基的作用下这个线性变换可以变为对角阵（或者可以说是在某一组基的作用下这个线性变换的矩阵是可对角化的）,当然刚刚提到的这个问题其实我们可以把它归类到矩阵是否可对角化的问题中去，因为其两者本身就是相辅相成的.当然本篇文章我们主要是研究和探索判定矩阵可对角化的诸多条件，以及我们如何去运用矩阵对角化的有关性质，来把将矩阵化为对角形的问题进行解决.与此同时，我们也在研究和探索中发现了它在其他方面一些重要的运用.

1矩阵对角化

我们所涉及的矩阵都是可以对角化的，其原理是指通过矩阵的一系列初等变换（指：

行、列变换）后,就能够得到一个特殊的矩阵,其特殊性在于只有在其主对角线的数上不全为零，然而其他位置的数则是全部为零（那么这个特殊的矩阵就可以被我们称为对角阵）,这一整个的变换过程就被我们称为矩阵的对角化.当然值得我们注意的是，我们所学过的矩阵并非都能对角化的，这个是有条件限制的.

1.1矩阵对角化的几个条件

引理设,且

则存在可逆矩阵,使可同时对角化.

引理如果

的个对角元互不相同,矩阵,那么当且仅当本身就是对角阵.

因为任何一个幂等矩阵一定相似于一个对角矩阵,所以任何一个对角矩阵都是能够进行谱分解的,即,其中是矩阵的特征值,矩阵为幂等矩阵，那么是否任意有限个幂等矩阵的线性组合都可以对角化呢？

有如下结论：

定理若

是个数,是个幂矩阵,并且他们两两可替换,

则矩阵可对角化.

证明若是个幂矩阵,并且两两可换，则一定有一个可逆矩阵,使得

可同时对角化.

由知

同样是对角矩阵,即矩阵为对角化的矩阵.

定理如果,是它两个不相同的特征值,那么矩阵可对角化一定有幂等矩阵,满足

.

证明必要性：

如果是一个对角化的矩阵,那么就一定会有一个可逆的矩阵,满足

是一个对角阵.

并且相似于

若为幂矩阵,则一定有一个幂矩阵满足

.

充分性：

若存在使得

因为是幂矩阵,所以一定会有一个,满足,

因此，

即矩阵为可对角化的.

定理设矩阵存在个不同的特征值,则对于矩阵,

当且仅当矩阵同时可以对角化.

证明必要性若矩阵存在个特征值,且这些特征值是互不相同的数，则矩阵为对角化的矩阵.设

其中,则

即与是可以进行交换的,因此得知是对角矩阵,且矩阵也是为对角化的矩阵.

充分性如果矩阵可以同时进行对角化,那么一定存在一个可逆阵,使得

（其中为对阵）,

因此我们可以通过上述的一系列条件，来求出的特征值，且这是两个相互不同的数.从而我们得出了矩阵对角化的成立的条件：

如果这个条件成立，那么就认为矩阵可对角化,否则就认为矩阵不能可对角化,其中.

1.2对角化矩阵的性质

定理设为数域上的一个阶的矩阵,且它为可对角化的，是的相互不同的特征根,则一定会有阶的满足

（1）；

（2）是单位矩阵；

（3）；

（4）,其中.

证明

（1）如果可对角化,那么在数域上一定会存在一个可逆矩阵,并且它的阶数为阶，满足

其中的重数为,由于矩阵

将它记为,因此，

将其记为,其中,所以

.

（2）如果每个为对角形的幂矩阵,那么,

故.

（3）如果,那么

故.

（4）当时,

为零矩阵,故.

例1在数域上，若已知的三个特征根分别是,则一定会有一个,满足,其中,将矩阵

记,则

其中,于是

并且满足：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

可以通过一个比较具体的可对角化矩阵,很直观地反映上述所说的性质是成立的.

1.3矩阵对角化的方法

1.3.1运用矩阵初等变换的方法

在数域上,一个维空间,研究和探讨它能否可以找到一组基，并且在此基的作用下，所有的矩阵都是对角化的矩阵；发现这种基存在时,如何去探索它是一个线性代数学上相当重要的问题,可以利用矩阵的初等变换的方法来解决此问题.

当发现矩阵不能够实现对角化的时候,同样可以经过相近的一系列变换后，化简出矩阵,并且能够判定它是否可以对角化.类似地,可有矩阵,做如下的初等变换,则可以将矩阵化简为对角形矩阵,并且可以求得或由求的一系列特征值.

1.3.2求解齐次方程组的方法

设矩阵是实对称矩阵,则求证交矩阵使得的问题,一般的解法为：

（1）求其特征值；

（2）求其对应的特征向量；

（3）写出矩阵及.

从而可以求出正交矩阵,可以避免了商的繁琐运算.

定理设是实对称矩阵,则有,对应于,记由生成的一个空间,且由生成的空间.

2对角化矩阵的应用

2.1求方阵的高次幂

例2设在数域上，有一个二维的线性空间,是这个线性空间的一组基,那么线性变换在这组基的作用下的矩阵,试通过上述给出的条件计算出矩阵.

解通过分析上述的条件，我们应该先计算线性变换在线性空间的另一组基作用下的矩阵,令

则

易知

再运用上面得出的几个关系

即

.

2.2反求矩阵

例3设有一个实对称矩阵，且它的阶数为阶，已知,对应于,求解．

解根据矩阵是阶实对称矩阵的条件,我们可以推出矩阵可以对角化的结论,即得出矩阵是由三个线性无关的特征向量组成的结论,并且对应于,因为它和正交,即

所以可以求出

它们分别对应.取

则,于是

.

2.3判断矩阵是否相似

例4请判断下述三个矩阵是否会相似

.

解我们可以很容易的得出三个矩阵的特征值分别都是（二重）,,其中矩阵已经是对角阵,所以我们只需要进一步判断两个矩阵是否都可以对角化.通过,,可以推出,因为,是一个二重的特征值,但是却只有一个特征向量与之所对应,那么我们可以推出矩阵与矩阵不相似的结论.通过,,得出,通过，,得出,通过上述所推出的结论，我们可知矩阵有三个线性无关的特征向量,即矩阵与矩阵这两个矩阵相似.

2.4求特殊矩阵的特征值

例设有一个实对称矩阵，并且它的阶数为阶，满足,,求出的全部特征值．

解假设为矩阵的一个特征值,而我们令为矩阵的特征向量,它对应于特征值，因为,所以,又因为,所以,即,由此我们可以推出,根据矩阵是实对称矩阵的这个条件,我们可以断定矩阵一定能够进行对角化,即

与,所以的秩数就是的个数,以及有个和个的特征值.

2.5在向量空间中应用

例在维的空间中,有一个复矩阵，并且它的阶数为阶，还有一个复数,

令

则矩阵相似于对角阵,并且.

证明因为对于任意一个,则有和,所以.又因为发现矩阵相似于对角阵,所以我们可以推出与两个的解空间是完全相同的，即．

2.6在线性变换中应用

例设是数域上的一个全体,且它是一个次数小于的多项式与零多项式，则请通过所学的进一步判断在的任一组基下，矩阵通过微分变换能否变为对角形矩阵．

证明如果取

那么矩阵可以表示为,所以有.

如果在某一组基的作用下，微分变换的矩阵为对角矩阵,由已知的矩阵可推出矩阵可对角化,那么就会存在一个可逆矩阵能够使得,所以.

通过已知的微分变换的全为零,可以推出,这是不可能的,所以在的任何一组基的作用下，微分变换的矩阵都不可能成为对角阵．

2.7求数列通项公式与极限

例设两个数列都满足条件

则请求解.

解把已知条件中的几个递推关系组

通过化简改写成下面的列矩阵的形式：

由和,可以求出的,并且分别对应

.取,则

从而

因此

,

并且

.

例9已知

这四个条件,请证明存在并且相等,给出证明过程，同时请求出这两个的极限值.

证明把已知条件中的递推关系组作进一步简化推出

然后再改写为另一种矩阵的形式：

由和,可以求出的,并且分别对应

取,则

,

因为

所以

即

.

例10设有,,这三个条件,请求出.

解从已知的三个条件可以推出,以及,令,则,,,所以

由和,求得的,并且分别对应.取,令

,

则

从而推出：

即,.

例11设,,求.

解令,根据条件,将其简化为,然后再写成矩阵

由和,求出的

且分别对应的是,取,则,

即

.

2.8求行列式的值

例设有一个阶的行列式，化简并求出它的值.

解按照第一列展开的,可以写成矩阵的另外一种形式

记矩阵,则

通过,我们可以计算出矩阵的,且分别对应

取,则,

推出

即

.

例13设有一个实对称矩阵,并且它的阶数是阶，满足条件,且为矩阵的秩,通过上述条件求出行列式的值.

解因为,,所以有.因为,所以,.因为矩阵是一个阶的实对称矩阵,所以它相似于对角矩阵,又因为矩阵的秩为,所以一定会存在一个可逆矩阵,可以使得,其中矩阵表示的是阶单位矩阵,所以可以推出

.

2.9对角化矩阵在其他方面的应用

例14在某个城市的就业数据中显示，一共有万人从事着不同的三种行业,分别是农业、工业、经商，假设在几年之间这个从业总人数都会保持不变,而且经过整个社会的普查显示:

（1）在这个城市的万人中,投身于农业的有万人,工业的有万人,经商的有万人；

（2）在投身于农业的人中,每年大概有的人转行去经商,的人转行去做工业；

（3）在投身于工业的人中,每年大概有的人转行去干农业,的人转行去经商；

（4）在投身于经商的人中,每年大概有的人转行去做工业,的人转行去干农业.

现在请大概预测一下，在未来的一、二年以后,从事这三个行业的人数,以及经历多年以后,从事这三个行业的人员总数会有什么样的一个发展趋势.

解第年后还从事这三种行业的人员总数,我们会用一个维的向量去表示它，则.如果想要求,并且能够很精确地考察在时,的一个发展趋势,那么我们必须要引用一个阶矩阵,它的作用是用来体现从事这三种职业人员之间的转移情况.那我们就能够得出矩阵,通过矩阵的乘法法则，我们可以得出

,

所以,如果要继续进一步精确地分析,那么必须要事先计算矩阵的次幂,所以我们先可以将矩阵进行对角化,

所以能够得出特征值,三个特征值分别代表其求出的所对应的三个特征向量,于是令,则就会有矩阵,从而推出,,

,

当时,矩阵将趋向于,从而推出矩阵将趋向于,

因为矩阵跟我们已经确定下来的常量非常接近,所以可以得出亦必趋于,再通过的转化，就能够准确得知必需要满足条件,进而可以推断出是矩阵属于特征值的一个特征向量

,

按照上面所讲述的规律转移,经过许多年以后，那么这三种职业的从业人数一定会趋于相等,三者平均下来为万人.

参考文献

[1]北京大学教学系几何与代数教研室．高等代数（第二版）[M]．北京：

高等教育出版社,1988．

[2]胡显佑主编．线性代数挚习指导[M]．天津：

南开大学出版社,1997．

[3]刘九兰,张乃一,曲问薄主编．线性代数考研[M]．天津：

天津大学出版社,2000.5．

[4]谢国瑞主编．线性代数及应用[M]．北京：

高等教育出版社.1999．

[5]张学元主编．线性代数能力试题题解[M]．武汉：

华中理工大学出版社,2000．

[8]曹锡皓．高等代数[M]．北京：

北京师范大学出版社,1987．

[9]张远达．线性代数原理[M]．上海：

上海科学出版社,1981．

[10]KlineMorris.MathematicalThoughtfromAncienttoModernTimes[M].NewYork:

OxfordUniversityPress,1972.

[11]Rebollo-NeiraL，FernandezRubioJ.OntheInverseWindowedFouriertransform[M]．IEEETranksonInformationTheory，1999.

[12]Babaie-Zadeh，M. Jutten,C.，Mohimani,H.OntheErrorofEstimatingtheSparsestSolutionofUnderdeterminedLinearSystems[M]．2011.

致谢

在开始准备着手写论文到最后定稿的整个过程中,指导教师XXX老师都是非常耐心和细心的引导我和帮助我,在此我向王老师表示由衷的感谢.王老师的严谨治学态度让我受益匪浅.在毕业论文写作的这段时间里,他时时刻刻关心着我的毕业论文的完成情况,并且经常给我指出毕业论文中的缺点与需要改正的地方,最后才能使得我可以顺利完成毕业论文.与此同时，我很感谢所有给过我帮助的老师、同学以及一起努力奋斗过的好朋友.