圆导学案乾坤.docx
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圆导学案乾坤
4.1.1圆的标准方程
一、学习重点、难点:
学习重点:
圆的标准方程
学习难点:
会根据不同的条件,利用待定系数法求圆的标准方程。
二、学法指导:
1、先阅读教材118—120页,然后仔细审题,认真思考、独立规范作答。
2、不会的,模棱两可的问题标记好。
三、知识链接:
1.两点间的距离公式?
2.具有什么性质的点的轨迹称为圆?
圆的定义?
平面内与一定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆,定点是圆心,定长是半径.
四、学习过程:
(自主探究)
A问题1阅读教材118页内容,回答问题
已知在平面直角坐标系中,圆心A的坐标用(a,b)来表示,半径用r来表示,则我们如何写出圆的方程?
问题2圆的方程形式有什么特点?
当圆心在原点时,圆的方程是什么?
例1:
1写出下列各圆的方程:
(1)圆心在原点,半径是3;
(2)圆心在C(3,4),半径是
;
(3)经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3);
2、写出下列各圆的圆心坐标和半径:
(1)(x-1)2+y2=6
(2)(x+1)2+(y-2)2=9
(3)
例2:
写出圆心为
半径长等于5的圆的方程,判断
是否在这个圆上。
问题3:
点M0(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上、内、外的条件是什么?
例3
△ABC的三个顶点的坐标是
求它的外接圆的方程
例4已知圆心为
的圆经过点
和
且圆心在
上,求圆心为
的圆的标准方程.
注:
比较例3、例4可得出
△ABC外接圆的标准方程的两种求法:
1.根据题设条件,列出关于
的方程组,解方程组得到
得值,写出圆的标准方程.
2.根据确定圆的要素,以及题设条件,分别求出圆心坐标和半径大小,然后再写出圆的标准方程.
五、达标检测
1、已知两点P1(4,9)和P2(6,3),求以P1P2为直径的圆的方程,试判断点M(6,9)、N(3,3)、Q(5,3)是在圆上,在圆内,还是在圆外?
2、求圆心C在直线x+2y+4=0上,且过两定点A(-1,1)、B(1,-1)的圆的方程。
3、从圆x2+y2=9外一点P(3,2)向该圆引切线,求切线方程。
4、求以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程.
5.求过点A(3,2),圆心在直线y=2x上,且与直线y=2x+5相切的圆的方程:
七、小结与反思
①圆的方程的推导步骤:
建系设点→写条件→列方程→化简→说明
②圆的方程的特点:
点(a,b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径;
③求圆的方程的两种方法:
(1)待定系数法;确定a,b,r;
4.1.2圆的一般方程
一、学习重点、难点:
学习重点:
圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知条件确定方程中的系数D、E、F.
学习难点:
对圆的一般方程的认识、掌握和运用.
二、学法指导及要求:
1、认真研读教材121---123页,认真思考、独立规范作答,认真完成每一个问题,每一道习题,不会的先绕过,做好记号.2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律,及时整理在解题本,多复习记忆.3、A:
自主学习;B:
合作探究;C:
能力提升.
三、知识链接:
圆的标准方程:
圆心
;半径:
r.
四、学习过程:
问题的导入:
问题1:
方程x2+y2-2x+4y+1=0表示什么图形?
方程x2+y2-2x-4y+6=0表示什么图形?
问题2:
方程x2+y2+Dx+Ey+F=0在什么条件下表示圆?
问题3:
什么是圆的一般方程?
问题4:
圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点?
典型例题:
例1:
求过三点O(0,0)M1(1,1)M2(4,2)的圆的方程
例2:
已知:
线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在(x+1)2+y2=4上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程。
变式:
已知一曲线是与两个定点O(0,0),A(3,0)距离比为
的点的轨迹,求此曲线的方程并画出曲线。
五、达标检测
1,已知方程x2+y2+kx+(1-k)y+
=0表示圆,则k的取值范围()
Ak>3B
C-23或k<-2
2,方程
表示的曲线是()
A.一个圆B.两个半圆C.两个圆D.半圆
3,动圆
的圆心的轨迹方程是 .
4,如果实数
满足等式
,那么
的最大值是________。
5,求下列各题的圆心坐标、半径长
(1)x2+y2-6x=0
(2)x2+y2+2by=0
(3)x2+y2-2
x-2
y+3
2=0
6,下列各方程各表示什么图形?
(1)x2+y2=0
(2)x2+y2-2x+4y-6=0
(3)x2+y2+2
x-b2=0
7,已知圆C:
x²+y²-4x-5=0的弦AB的中点为P(3,1)求直线AB的方程
6、小结与反思
通过本节课的学习,谈谈你收获了哪些知识和思想方法?
4.2.1直线与圆的位置关系
一、学习重、难点
重点:
直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法.
难点:
用坐标法判断直线与圆的位置关系.
二、学法指导及要求
1、认真研读教材126---128页,认真思考、独立规范作答,认真完成每一个问题,每一道习题,研究最佳答案准备展示,不会的先绕过,做好记号。
2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律,及时整理在解题本,多复习记忆。
(尤其是直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法必需牢记)
3、A:
自主学习;B:
合作探究;C:
能力提升
三、知识链接
1、点和圆的位置关系有几种?
设点P(x0,y0),圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心(a,b)到P(x0,y0)的距离为d,则点在圆内(x0-a)2+(y0-b)2<r2d点在圆上(x0-a)2+(y0-b)2=r2d=r,
点在圆外(x0-a)2+(y0-b)2>r2d>r.
问题:
一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:
台风中心位于轮船正西70KM处,受影响的范围是半径为30KM的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40KM处,如果轮船不改变航线,那么这艘轮船是否会受到台风的影响?
四、学习过程
问题1.初中学过的平面几何中,直线与圆的位置关系有几类?
问题2.直线与圆的位置关系有哪几种呢?
问题3.在初中,我们怎样判断直线与圆的位置关系呢?
问题4.你能说出判断直线与圆的位置关系的两种方法吗?
五、达标检测
1、从点P(x.3)向圆(x+2)2+(y+2)2=1作切线,求切线长度的最小值。
2、M(3.0)是圆x2+y2-8x-2y+10=0内一点,求过点M最长的弦所在的直线方程。
3、探究直线
:
与圆x2+y2=1的关系。
4、设点P(3,2)是圆(x-2)2+(y-1)2=4内部一点,求以P为中点的弦所在的直线方程。
5.已知直线y=x+1与圆
相交于A,B两点,求弦长|AB|的值
六、小结与反思
通过本节课的学习,谈谈你收获了哪些知识和思想方法?
4.2.2圆与圆的位置关系
一、学习重点、难点:
用坐标法判断圆与圆的位置关系.
二、学法指导及要求:
1、认真研读教材129---130页,认真思考、独立规范作答,认真完成每一个问题,每一道习题,研究最佳答案准备展示,不会的先绕过,做好记号。
2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律,及时整理到解题本,多复习记忆。
(尤其是:
圆与圆的位置关系的几何图形及其判断方法必需牢记)
三、知识链接
1.直线与圆的位置关系:
相离、相交、相切
2.判断直线与圆的位置关系有哪些方法?
(1)根据圆心到直线的距离;
(2)根据直线的方程和圆的方程组成方程组的实数解的个数;
3.圆与圆的位置关系有哪几种?
(作图说明)
如何根据圆的方程判断圆与圆的位置关系,我们将进一步探究.
四、学习过程
问题1:
圆与圆的位置关系
两个大小不等的圆,其位置关系有内含、内切、相交、外切、外离等五种,在平面几何中,这些位置关系是如何判定的?
问题2:
判断圆和圆的位置关系的方法
(1)几何法
(2)代数法
问题3:
已知两圆C1:
x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2:
x2+y2+D2x+E2y+F2=0,用上述方法判断两个圆位置关系的操作步骤如何?
例1、已知圆C1:
x2+y2+2x+8y-8=0和圆C2:
x2+y2-4x-4y-2=0,试判断圆C1与圆C2的位置关系.
五、达标测试
1、判断下列两圆的位置关系:
(1)(x+2)2+(y-2)2=1与(x-2)2+(y-5)2=16
(2)x2+y2+6x-7=0与x2+y2+6y-27=0
2、x2+y2=m与圆x2+y2+6x-8y-11=0相交,求实数m的范围。
3、已知以(-4,3)为圆心的圆与x2+y2=1相切,求圆C的方程.
4、求过点A(0,6)且与圆x2+y2+10x+10y=0切于原点的圆的方程。
5、求与点A(1,2)的距离为1,且与点B(3,1)的距离为2的直线的方程。
六、小结与反思
通过本节课的学习,谈谈你收获了哪些知识和思想方法?
4.2.3直线与圆的方程的应用
一、学习目标:
知识与技能:
(1)理解直线与圆的位置关系的几何性质;
(2)利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系;(3)会用“数形结合”的数学思想解决问题.
过程与方法:
用坐标法解决几何问题的步骤:
第一步:
建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;第二步:
通过代数运算,解决代数问题;第三步:
将代数运算结果“翻译”成几何结论.
情感态度与价值观:
让学生通过观察图形,理解并掌握直线与圆的方程的应用,培养学生分析问题与解决问题的能力.
二、学习重点、难点:
学习重点:
直线与圆的方程的应用.
学习难点:
直线与圆的方程的应用时,坐标系的建立、方程的确定。
三、学法指导及要求:
1、认真研读教材130---132页,认真思考、独立规范作答,认真完成每一个问题和习题,不会的做好记号.2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律,及时整理在解题本,便于复习记忆.
四、知识链接:
1,回忆各种形式的直线方程,以及它们的适用范围。
2,圆心在(0,0)半径为r的圆的标准方程是
圆心在(a,b)半径为r的远的标准方程是
3,你能说出直线与圆的位置关系吗?
五、学习过程
问题1:
你能举几个关于直线与圆的方程的应用的例子吗?
直线与圆的方程的应用是非常广泛的,下面我们看几个例子
典型例题
1.标准方程问题:
例1:
求圆(x-2)2+(y+3)2=4上的点M到直线x-y+2=0的最大值和最小值。
2.轨迹问题:
例2:
过点A(4,0)作直线
交圆O:
x2+y2=4于B,C两点,求线段BC的中点P的轨迹方程。
3.弦长问题:
例3:
直线L经过点(5,5),且和圆x2+y2=25相交,截得的弦长为
求直线
的方程。
4.对称问题:
例4:
求圆
关于点
对称的圆的方程.
5.实际应用问题
例5:
下图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度AB=20cm,拱高OP=4m,建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑,求支柱A2P2的高度(精确到0.01m).
6.用代数法证明几何问题
例6.已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.
六、达标检测
1,求直线
:
2x-y-2=0被圆C:
(x-3)2+y2=9所截得的弦长。
2,求圆(x-1)2+(y-1)2=4关于直线
:
x-2y-2=0对称的圆的方程。
3,某圆拱桥的水面跨度20m,拱高4m。
现有一船,宽10m,水面以上高3m,这条船能否从桥下通过?
4,等边△ABC中,D,E分别在边BC,AC上且∣BD∣=
∣BC∣,
∣CE∣=
∣CA∣,AD,BE相交于点P,求证:
AP⊥CP
七、小结与反思
通过本节课的学习,谈谈你收获了哪些知识和思想方法?
圆的习题课
一、学习重点、难点:
学习重点:
圆的各种方程、直线与圆,圆与圆的关系及应用。
学习难点:
圆的方程的应用。
二、使用说明及学法指导:
认真复习总结、积累圆的各种方程、直线与圆,圆与圆的关系等重要知识点,数形结合、分类讨论,待定系数法等思想方法。
要通过解题积累经验,总结方法,融会贯通。
三、知识链接:
1、圆的标准方程:
2、圆的一般方程:
x2+y2+Dx+Ey+F=0
3、点和圆的位置关系:
设圆C∶
,点M到圆心的距离为d,则有:
(1)d>r
点M在圆外;
(2)d=r
点M在圆上;
(3)d<r
点M在圆内.
4、直线和圆的位置关系:
如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,则有
(1)直线l与⊙O相交
d(2)直线l与⊙O相切
d=r
(3)直线l与⊙O相离
d>r
5.圆与圆的位置关系:
设两圆的连心线长为d,则判断圆与圆的位置关系的依据有以下几点:
(1)当d>r1+r2时,圆C1与圆C2相离;
(2)当d=r1+r2时,圆C1与圆C2外切;
(3)当|r1–r2|<d<r1+r2时,圆C1与圆C2相交;
(4)当d=|r1–r2|时,圆C1与圆C2内切;
(5)当d<|r1–r2|时,圆C1与圆C2内含.
四、学习过程
典型题精炼:
1.如何判断点与圆的位置关系?
例题1:
已知点P(-2,4)和圆C
试判断点P和圆C的位置关系.
练习:
点P(-4,3)和圆
的位置关系是()
A.P在圆内B.P在圆外C.P在圆上D.以上都不对
2.如何判断直线与圆的位置关系?
例题2:
当正实数a取何值时,直线
:
x+y-2a+1=0与圆x2+y2-2ax+2y+a2-a+1=0相切,相离,相交?
练习:
圆和3x-4y=9的位置关系是()
A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心
3、直线与圆的交点弦长:
例题3:
已知圆的方程是x2+y2=2,它截直线y=x+1所得的弦长是
4、如何判断圆与圆的位置关系?
例题4:
圆C1:
x2+y2-6y=0和圆C2:
x2+y2-8x+12=0的位置关系如何?
5、求圆的方程的常用方法:
例5:
(1).一个圆经过点P(2,-1),和直线x-y=1相切,并且圆心在直线
y=-2x上,求这个圆的方程.
(2).已知两点A(4,9)和B(6,3)两点,求以AB为直径的圆的方程.
(3).圆C的圆心为(2,-1),且截直线y=x-1所得弦长为2
求圆C的方程.
6、求圆的切线的常见形式:
例6:
(1).求过点P(-3,2),与圆x2+y2=13相切的直线方程.
(2).求过点P(-5,9)与圆(x+1)2+(y-2)2=13相切的直线方程.
(3).设圆的方程x2+y2=13,它与斜率为
的直线
相切,求直线
的方程.
7、求最值问题:
已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0.
(1)求
的最大值和最小值;
(2)求y-x的最小值;
(3)求x2+y2的最大值和最小值.
【课后反思】通过本章的学习,谈谈你收获了哪些知识和思想方法?