b’’在a’’的上侧，即ZB>ZA，表示点B在点A的上边，相对位置由正面和侧面投影的Z坐标差值Δz确定；
综合来看B点在A点的右后方。
图2-2-7
2.重影点及其可见性判别
当空间两点的两个坐标相等时，这两个点处于某投影面的同一投影线上，两点在该投影面的投影重叠成一个点，称为重影点。
沿着其投射方向观察两点则一个可见，另一个被前一点所遮挡，因而不可见。
规定：
凡不可见点用小括号“（）”括起来表示其不可见性。
如图2-2-8所示A、B两点处于同一水平面上，它们的x、z坐标相同，是重影点，有图可以判别A点处于B点后方所以点A在其正投影面上的投影为不可见，加（）表示其不可见性。
图2-2-8
2.3直线的投影特性
两点确定一直线。
因此，直线的投影时由该直线上两点的投影确定的。
直线的投影可归结为点的投影，只要找出直线上两个点的投影，就可以找到直线的位置。
2.3.1直线对一个投影面的投影特性
直线对一个投影面的相对位置有平行、垂直、倾斜三种情况，如图2-3-1所示。
（a）平行（b）垂直（c）倾斜
图2-3-1
1.直线平行于投影面
如图2-3-1（a）所示，直线AB平行于投影面P，则直线AB在投影面P上的投影ab反映直线的实长，即AB=ab。
2.直线垂直于投影面
如图2-3-1（b）所示，直线AB垂直于投影面P，则直线AB在投影面P上的投影ab积聚为一点。
3.直线倾斜于投影面
如图2-3-1（c）所示，直线AB倾斜于投影面P，则直线AB在投影面P上的投影ab小于实长，ab=ABcosα（α为直线AB与投影面P的夹角）。
2.3.2直线在三维投影体系中的投影特性
（1）一般位置直线
对于三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线。
直线和投影面斜交时，直线和它在投影面上的投影所形成的锐角，叫做直线对投影面的倾角。
规定：
一般以α、β、γ分别表示直线对H、V、W面的倾角，直线AB对H面的倾角为α，故水平投影ab=ABcosα；直线AB对V面的倾角为α，故水平投影a’b’=ABcosβ；直线AB对W面的倾角为γ，故水平投影a”b”=ABcosγ。
直线AB为一般位置直线时它在各个面上的投影都小于实长，如图2-3-2所示。
图2-3-2一般位置直线
（2）投影面平行线
平行于一个投影面而对邻位两个投影面倾斜的直线称为投影面平行线。
它有三种形式，即水平线（∥H面）、正平线（∥V面）和侧平线（∥W面），如表2-1所示。
表2-1投影面平行线的名称、空间位置及投影特性
名称
直观图
投影图
投影特性
水平线
（∥H面）
ab=AB
a’b’∥OX
a”b”∥OY1
反映β、γ
正平面
（∥V面）
a’b’=AB
ab∥OX
a”b”∥OZ
反映α、γ
侧平面
（∥W面）
a”b”=AB
ab∥OY1
a’b’∥OZ
反映α、β
以正平线为例说明：
AB∥V面，所以在V面上的投影a’b’=AB，即正面投影反映实长；
实长投影a’b’于OX轴的夹角α等于直线AB对H面的倾角，a’b’于OZ轴夹角γ等于直线AB对W面的倾角；由于YA=YB则ab∥OX，a”b”∥OZ，即水平投影和侧面投影平行于相应的投影轴。
投影面平行线具有共性如下：
1.直线在它所平行的投影面上的投影反映实长。
2.直线的其他两够投影平行于相应的投影轴。
3.反映直线实长的投影于投影轴的夹角等于直线对相应投影面的倾角。
反之，如果直线的三个投影于投影轴的关系是一斜两平行，则其必定是投影面平行线。
（3）投影面垂直线
垂直于一个投影面而同时平行于其他两个投影面的直线称为投影面垂直线，他有三种形式：
铅垂线（⊥H面）、正垂线（⊥V面）、侧垂线（⊥W面），如表2-2所示。
表2-2投影面垂直线的名称、空间位置及投影特性
名称
直观图
投影图
投影特性
铅
垂
线
ab积聚为一点；
a’b’⊥OX；
a”b”⊥OY1；
a’b’=a”b”=AB反映实形
正
垂
线
a’b’积聚为一点；
ab⊥OX；
a”b”⊥OZ；
ab=a”b”=AB反映实形
侧
垂
线
a”b”积聚为一点；
ab⊥OY；
a’b’⊥OZ；
ab=a’b’=AB反映实形
以铅垂线为例进行投影：
因直线AB⊥H面，HA=HB，故水平投影ab积聚成一点。
又因直线AB∥V面、AB∥W面，故a’b’=AB=a”b”，且a’b’⊥OX，a”b”⊥OY1。
对于正垂线及侧垂线做同样的分析，可得出类似的投影特性。
1.直线在它所垂直的投影面上的投影积聚成一点。
2.直线在其他两个方向的投影反应其实长，且垂直于相应的投影轴。
反之，如果直线的一个投影是点，则直线必定是该投影面的垂直线。
2.3.3一般位置线段的实长与其投影面夹角
一般位置投影无法反映直线实形和投影面倾角，我们不能够从三投影中直接得到它的长度和投影面倾角，那么如何求一般位置线段的实长及其与投影面的夹角呢？
工程上一般用直角三角形法。
立体图中可看出直角三角形法的构成，在投影图上可图解线段实长及α、β、γ。
如图2-3-3所示，求线段实长及对H面的夹角α，步骤如下：
（1）以水平投影ab为一条直角边；
（2）以AB两端点到水平投影面H的距离差|ZB-ZA|作另一直角边，使bB1=b’c’；
（3）连接aB1，作出直角三角形。
在直角三角形abB1中，斜边aB1即为直线AB实长，∠baB1为直线AB对水平投影面H的夹角α。
（a）立体图（b）作图
图2-3-3
2.3.4直线上的点
直线上的点特性
1.直线上点的各投影，必在直线的同面投影上。
反之，如果一个点的各个投影分别在某一直线的同面投影上，则该点一定是直线上的点，如图2-3-4所示。
2.直线上的点分线段成比例：
属于直线的点，分线段之比等于其投影分线段投影之比。
图2-3-4
范例：
已知直线AB及S点的正面投影和水平投影，判断S点是否位于AB直线上。
题解方法如下，如图2-3-5所示：
题目法一法二
图2-3-5
1.法一：
原理：
直线上点的各投影，必在直线的同面投影上。
a）创建坐标系Y、Y1，并过O点做45º辅助线；
b）在坐标系上，做AB在侧面投影a”b”;
c）做s点在侧面上的投影s”；
完成后若s”同时和a”b”直线重合则证明S在AB上，若不重合则证明明S不在AB上。
2.法二：
原理：
点分线段及其投影成比例。
a）过a点做任意方向辅助线，在该线段上截取两点s0和b0使a0s0=a’s’、s0b0=s’b’；
b）连接bb0，过s0做bb0的平行线，交于ab上一点。
此时所做点若与s重合则为AB上的点，若不重合则非AB上的点。
2.3.5两直线的位置关系
空间两直线有三种位置关系：
平行、相交、交叉（既不平行也不相交）
1.平行两直线
定义：
若两直线平行，则其各同名投影必平行。
反之，若两直线各同名投影都平行，则该两直线平行。
一般位置直线只看两面投影是否平行即可判定，如图2-3-6（a）所示。
若两线都是某个投影面的平行线时，则要检查两直线在该投影面上的投影是否平行，如图2-3-6（b）所示。
图2-3-6
2.相交两直线
相交两直线其各同名投影必相交，且交点同属于两直线（符合点的投影规律）。
反之，若两直线其各同名投影都相交，且交点符合点的投影规律，则该两直线相交。
如图2-3-7（a）两直线相交，如图2-3-7（b）两直线不相交。
图2-3-7
3.既不平行又不相交的两直线为交叉两直线。
判定交叉两直线的方法：
不符合平行、相交条件的两直线即可判为是交叉两直线，如图2-3-8所示。
图2-3-8
重影点：
交叉两直线同名投影的交点为对该投影面的一对重影点。
其判定如下：
H投影：
在上面（Z坐标大）可见，在下面（Z坐标小）不可见。
V投影：
在前面（Y坐标大）可见，在后面（Y坐标小）不可见。
如图2-3-9所示为交叉两直线，它们的水平投影上的投影cd和ef交于一点ab，即为交叉两直线对H面的一对重影点A、B的水平投影。
由ab作投影连线垂直于OX轴，点A属于直线CD，点B属于直线EF，可以看到A点比B点高。
故可判定直线CD上点A的水平投影可见，直线EF上B点的水平投影不可见，用“a（b）”表示。
图2-3-9
2.3.6直角投影定理
直角投影定理：
空间两直线相互垂直时，如果两直线同时平行于某投影面，则两直线在该投影面上的投影仍为直角；如果两直线都不平行于某一投影面，则两直线在该投影面上的投影不是直角；若其中的一条直线平行于某一投影面，则两直线在该投影面上的投影仍是直角。
1.垂直相交两直线的投影
定理Ⅰ：
垂直相交的两直线，其中有一条直线平行于一投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。
证明如下：
如图2-3-10所示，设相交两直线AB⊥AC，且AB∥H面，AC不平行H面。
显然，直线AB垂直于平面AacC（因AB⊥Aa，AB⊥AC）。
今ab∥AB，则ab⊥平面AacC，因此ab⊥ac，亦即∠bac＝90°。
它们的投影图，其中a'b'∥OX轴（AB为水平线），∠bac＝90°。
图2-3-10直角投影定理
定理Ⅱ（逆）：
相交两直线在同一投影面上的投影成直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角，如图2-3-11所示。
图2-3-11
2.交叉垂直两直线的投影
定理Ⅲ：
互相垂直交叉的两直线，其中有一条直线平行于一投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。
证明如下：
如图2-3-12（a）所示，设交叉两直线AB⊥MN，且AB∥H面，MN不平行H面。
过直线AB上任一点A作直线AC∥MN,则AC⊥AB。
由定理知，ab⊥ac。
今AC∥MN,则其投影ac∥mn。
故ab⊥mn。
图2-3-12（b）是它们的投影图，其中a'b'∥OX轴（AB为水平线），ab⊥mn。
图2-3-12
定理Ⅳ（逆）：
交叉两直线在同一投影面上的投影成直角，且有一条直线平行于该投影面，则两直线的夹角必是直角。
范例：
已知直线EF及点A的正面投影和水平投影，试过A点做一直线AB使AB⊥EF。
解：
a）过点A作一正平线AB，使ab∥OX轴；
b）做AB的正视图使a’b’⊥e’f’。
如图2-3-13所示。
图2-3-13
范例：
已知水平线AB及正平线CD，过定点S作它们的公垂线。
解：
过点S的水平投影s作sl⊥ab，过点S的正面投影s'作s'l'⊥c'd'。
SL即为所求的公垂线。
因为根据定理IV,必有SL⊥AB及SL⊥CD，如图2-3-14所示。
图2-3-14
2.4平面的投影
2.4.1平面的表示方法
在投影中平面的表示方法有两种：
几何元素表示法和迹线表示法。
1.几何表示法
由初等几何知道，不属于同一直线的三点确定一平面。
根据几何原理也可转换为：
一直线及直线外一点；相交两直线；平行两直线或任何一平面图形来确定平面。
因此，可以用下列任一组几何元素的投影表示平面的投影，如图2-4-1所示。
（a）不属于同一直线的三点；
（b）一直线和不属于该直线的一点；
（c）相交两直线；
（d）平行两直线；
（e）任一平面图形。
图2-4-1
2.迹线表示法
空间的平面与投影面的交线称为平面的轨迹。
平面与V面的交线称为正面轨迹，用Pv表示；平面与H面的交线称为水平轨迹，用PH表示。
既然轨迹PV和PH是属于平面P的两条直线，所以也可以用来表示平面。
迹线在投影图上的位置形象地反映了该平面对投影面的倾斜状况，如图2-4-2所示。
（a）空间图（b）表示法
图2-4-2
（1）
（2）
a）
b）
c）
d）
i.
2.4.2平面的投影特性
在三投影面体系中，平面按其与投影面的相对，可以分为三类（如图2-4-3所示）：
1一般位置平面；
2投影面垂直面：
垂直于一个投影面的平面；
3投影面平行面：
平行于一个投影面的平面。
后两类统称为特殊位置的平面。
一般位置平面投影面垂直面投影面平行面
图2-4-3
1.一般位置平面
相对于三个投影面都倾斜的平面称为一般位置平面，如图2-4-4所示。
投影面形状与原平面形状类似。
但不能够反应真实尺寸，而比实形要小。
立体图投影图
图2-4-4
2.投影面垂直面
垂直于投影面而对其他两个投影面倾斜的平面称为投影面垂直面。
垂直面分为三种：
（1）铅垂面：
垂直于水平面的平面；
（2）正垂面：
垂直于正面的平面；
（3）侧垂面：
垂直于侧面的平面。
以铅垂面为例说明它的性质（如图2-4-5所示）：
图2-4-5
三角形ABC的给定的铅垂面，它具有下列质：
a）铅垂面垂直于水平面，其水平投影积聚为一直线。
属于铅垂面的所有点、线的
水平投影都属于此积聚性直线。
b）铅垂面的水平投影和它的水平迹线相重合，水平迹线有积聚性。
c）铅垂面的水平投影与OX轴的交角，反映该平面对V面的角度β；铅垂面的水
平投影与OY轴的交角，反映该平面对W面的角度γ。
d）铅垂面倾斜于正投影面和側投影面，所以铅垂面的正面投影和側面投影有类
性。
正垂面和侧垂面与它的性质类似，见表2-3：
表2-3投影面垂直面垂直面的名称、空间位置及投影特性
名称
直观图
投影图
投影特性
铅垂面（⊥H面）
H面投影积聚成一直线；
反映与V、W面的倾角β、γ。
其余两投影为面积缩小的类似形。
正垂面
（⊥V面）
V面投影积聚成一直线
反映与H、W面的倾角α、γ；
其余两投影为面积缩小的类似形。
侧垂面（⊥W面
W面投影积聚成一直线；
反映与H、V面的倾角α、β。
其余两投影为面积缩小的类似形。
3.投影面平行面
投影面平行面：
平行于一个投影面，而垂直于另外两个投影面的平面。
（1）水平面：
平行于水平面H的平面；
（2）正平面：
平行于正面V的平面；
（3）侧平面：
平行于侧面W的平面。
以正平面为例说明它的性质（如图2-4-6所示）：
由于ABC平面平行于V面，垂直于H面和W面，所以其正面投影a’b’c’反应起实际形状，水平投影abc和侧面投影a”b”c”均积聚成直线，且分别平行于OX轴、OZ轴。
即它具有如下性质：
（1）正平面平行于正投影面，其正面投影反映实形；
（2）正平面上的一切点、线、图形，其正面投影反映；
（3）正平面垂直于水平投影面和側投影面，所以正平面的水平投影和侧面投影各积
聚为一直线，且分别平行于投影轴OX和OZ。
（具有积聚性）；
（4）正平面的水平投影和侧面投影分别和它的水平轨迹和侧面轨迹相重合。
正平面和侧平面也由类似特性，如表2-4所示：
图2-4-6
表2-4投影面平行面垂直面的名称、空间位置及投影特性
名称
直观图
投影图
投影特性
水平面
（∥H面）
H面投影反映真形；
V面投影、W面投影积聚成直线，分别平行于投影轴OX、OY1
正平面
（∥V面）
V面投影反映真形；
H面投影、W面投影积聚成直线，分别平行于投影轴OX、OZ。
侧平面
（∥W面）
W面投影反映真形；
V面投影、H面投影积聚成直线，分别平行于投影轴OZ、OYH。
2.4.3平面上的点和直线
1.属于一般位置平面的点和线
（1）取属于平面的点,如图2-4-7所示
取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线。
图2-4-7
（2）取属于平面的直线，如图2-
升级会员 