极限的解法与技巧汇总.docx
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极限的解法与技巧汇总
极限的求法与技巧
极限是解决数学问题的一种有效的工具。
以下列举种方法，并附有例题。
1.运用极限的定义
例：
用极限定义证明：
lim
x
3x21
x2
x24x4
x2
则当0
2时,就有
x22
x2
x2
3x2
x2
由函数极限
定义有:
x23x2
lim
x2x2
2.利用单调有界准则求极限
预备知识：
若数列an收敛，则a
为有界数列，即存在正数M，
使得对一切正整数n,有
an
此方法的解题程序为：
1、直接对通项进行分析或用数学归纳验证数列an单调有界；
1
2an
2、设an的极限存在，记为”manA代入给定的表达式中，则该式变为A的代数方程，解之即得该数列的极限。
例：
若序列an的项满足4..a（a0）且a.1
试证an有极限并求此极限。
解由a1..a
1
a?
a〔
2
a
1
2
a1
a2、a12a
■,a
a1
2
a1
a1
用数学归纳法证明
ak
一a
需注意
1
ak—ak
2
a
1
2ak
一2
a2aka
1—
-a.
ak
2
ak
ak
又anan
1
an
a
2
ana0
1
2
an
w
2an
an为单调减函数且有下界。
令其极限为A
由an1
an
a
an
有:
limani
n
a
an
即A丄A旦
2A
A2a
A、a（A0）
从而limana.
3.利用等价无穷小替换
常用的等价无穷小关系:
x0,
sinx~x,
tanx~x,arcsinx~x
arctanx~x,
n1x1~1x,ex
n
1-x,loga（1
x）〜
x
Ina
ax1~xIna,
1
Jx1~2x,（1x）1~x,in（1x）〜x,
等价无穷小代换法
设，’，，’都是同一极限过程中的无穷小量，且有:
I
〜，〜，lim―r存在，
则lim—也存在，且有lim—=lim
例:
求极限lim
x0
2
1cosx
~2~；2~
xsinx
解:
sinx2~x2,
2
cosx
（x2）
22
2（x）
1cosx21
lim22—
x0xsinxxx2
注：
在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时
可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，
往往改变了它的无穷小量之比的阶数
4.利用极限的四则运算法则
极限的四则运算法则叙述如下：
若limf（x）Alimg（x）B
XXqXx0
⑴limf（x）g（x）limf（x）limg（x）AB
lim
xx
f（x）
g（x）
limf（x）
Xxo
Xin?
og（X）
xxoxxoxxo
（IV）limcf（x）climf（x）cA（c为常数）
XxxX）
上述性质对于X,X,X时也同样成立
总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。
2
例：
求
x3x5lim
x2x4
2
lim—x2x4
3x5_22325
24
5、利用两个重要的极限
sinx
（A）lim1
x0X
（B）lim（1
X
1）X
x
但我们经常使用的是它们的变形:
（A）lim3!
（（x）0）
（x）
（B）lim（1ir
e,（（x））
例：
求下列函数极限
X
（1）、宀
lncosax
（2）、lim
x0lncosbx
解：
（1）令ax
u,则X
世」于是
lna
ulna
ln（1u）
又当x0时，u
X
..a1lim
x0x
故有:
lim』^
u0ln（1u）
lnalimu0ln（1u）
u
lim
u0
ln（1u）
⑵、
原式
In[（1（cosax
1）]
lim
x0ln[1（cosbx1）]
limIn[（1（cosax1）]cosbx1
x0cosax1cosax1ln[1（cosbx1）]
cosbx1
cosbx1
lim
x0cosax1
asinx
2
2sin2xlim2—
x02b
2sin—x
2
fa.2
（2x）limx°2b
sinx
2
/b、2
（訐
a2
（訐
/b、2
（2x）
6.利用重要公式求极限或转化为函数的极限
此方法必须在牢记重要极限的形式和其值的基础上，对所求式子
作适当变形，从而达到求其极限的目的，这种方法灵活，有相当的技
巧性。
dn1d
例:
lim
n
n1.1
n—sin.
nn
lim
n
lim
n
lim
n
n11
——sin-
n
.1sinn
1
n
.1sinn
1
n
lim
n
.1sinn
1
n
例：
求极限
sinxxalim
xasina
1
lim
sinxxa
xa
sina
i
_sinxsinaxa=lim1-
xasina
1sinacosa
lim1
小xa・xa2cossin
22
xacosasina
=lim1
=lim1
xa
ectga
sina
2cosasin
cosa
sinasinacosa（xa）
sina
xa
2cosasin—
2
sina
cosa（xa）
ctga
sina
sin
7、利用无穷小量与无穷大量的关系。
（I）
若：
limf（x）
lim
1
f（x）
（II）
若:
limf（x）
f（x）
1
lim
f（x）
求下列极限
lim
x
lim（x5）
x
1
1
1x1
故
lim一
xx
lim丄
x1x1
由lim（x1）0
x1
8.变量替换
例求极限
分析当
时,分子、
分母都趋
不能直接应用法则
注意到
故可作变量替换
原式二
引进新的变量，将原来的关于
的极限转化为
的极限.）
（
9.分段函数的极限
型,最咼次幂在分母上）
讨论
在点
处的极限是否存在
分析所给函数是分段函数
是分段点，要知
是否存在，必须从极限存在的充
要条件入手.
解因为
所以
不存在.
注1因为
的左边趋于
注2因为
的右边趋于
10、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限）
（j）若f（x）在xx0处连续，则limf（x）f（x0）
xxo
（ii）若f[（x）]是复合函数，又lim（x）a且
Xxo
f（u）在ua处连续，则limf（（x））f[lim（x）]f（a）
Xxoxxo
例：
求下列函数的极限
（1）、x叫
x厂
ecosx5
2
xln（1x）
（2）
ln（1x）
x
解：
由于x0属于初等函数
故由函数的连续性定义有:
X
recosx5
lim2f（0）
x01xln（1x）
1
（2）、由—―x）ln（1x）：
x
1
令x（1x）x故有：
1
limln（1x）limln（1x）x
x0xx0
Xl
ecosx5
f（x）2的定义域之内
1xln（1x）
6
1
ln（lim（1x）'）lne1
x0
11、洛必达法则（适用于未定式极限）
定理：
若
（i）limf（x）0,limg（x）
（ii）f与g在x0的某空心邻域u0（x0）内可导，且g（x）
（iii）lim丄里A（A可为实数，也可为或），则xx0g（x）
limlimf,（x）A
xxog（x）xx0g（x）
此定理是对0型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法
0
注：
运用洛必达法则求极限应注意以下几点：
1、要注意条件，也就是说，在没有化为0-时不可求导。
0
2、应用洛必达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是
求整个分式的导数。
3、要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍
是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则,否则会引起错误。
4、当limf'（x）不存在时，xag（x）
本法则失效，但并不是说极限不存在,
此时求极限须用另外方法。
例：
求下列函数的极限
①limex（1爭
x0ln（1x2）
②Jim^（a0,x0）
有:
解：
①令f（x）二
f'（x）ex
f（x）ex
由于f（0）
（1
（1
x
e（1
2x）
2x）'2
，g
2xf2,g（x）=ln（1x2）
g（x）2
1x
2（1x2）
（x）（1
2\2
x）
f'（0）0,g（0）g'（0）
但f"（0）2,g"（0）2
从而运用洛必达法则两次后得到
lime―22x^
x0ln（1x2）
②由limInx
x
lim呼
xx
lim
x
2sinx
2
lim—
x0
2
x
lim—
x0
lim
x
1
命xim
1
sinx2=2
cosx2
x
12
（12x）2
~2
x
1
a
ax
liex（12x）?
2lim2.——
x02（1x2）
2~2~（1x）
故此例属于一型,
0（a0,x0）
注：
此法采用洛必达法则配合使用两个重要极限法。
［解法二］：
由洛必达法则
0x2sinx2
2
x
1cosx2sin-
lim
x0xsinx2=lim
x
22
.x.x
sinsin
..2121lim22=-
x0xsinxx2
—2—
x2
注：
此解法利用
三角和差化积法”配合使用两个重要极限法。
d2
1cosx
x叫一牙xm022
x0xsinxx0xx
［解法三］：
1cosx22xsinx22xsinx21
lim3—lim————2
x04xx04xx
注：
此解法利用了两个重要极限法配合使用无穷小代换法以及洛
必达法则
［解法四］：
d2
1cosxlim
x0
0xsinx
d2
1cosxlim
x0
2
x
-2sinx
（x2）2
00；
x21
sinx22
注：
此解法利用了无穷小代换法配合使用两个重要极限的方法。
［解法五］：
x22
NRlimx0x2（x2）
2
2x
2sin—lim22
x0xsinx
14
x
lim壬-
x0x2
注：
此解法利用三角和差化积法”配合使用无穷小代换法。
［解法六］:
令ux2
d2
1cosxlim
x0xsinx
1cosulimu0usinu
sinu
lim
u0sinuucosu
cosu
lim
u0cosucosuusinu
注：
此解法利用变量代换法配合使用洛必达法则。
［解法七］:
2
1cosx
h叫一2
x0xsinx
lim
x0
sinx2
22.2
xcosxsinx
lim-
x0
1
注：
此解法利用了洛必达法则配合使用两个重要极限
12、
利用函数极限的存在性定理（夹逼准则）
定理：
设在X。
的某空心邻域内恒有g（x）有：
limg（x）limh（x）A
XX0XXg
则极限limf（x）存在，且有
XXq
limf（x）A
XXg
例：
n
求lim与（a>1,n>0）
xa
解：
当x>1时,存在唯的正整数k,使
k于是当n>0
时有:
nx
xa
（k1）n
k
a
kn
a
kn1
—
aa
时,k
lim毬
k
1）
k
a
lim（k
k
1）
k1
a
lim
k
kn
k1
a
lim
k
k：
ka
lim
x
n
X
x
a
=0
13、用左右极限与极限关系（适用于分段函数求分段点处的极限，以
及用定义求极限等情形）
定理：
函数极限limf（x）存在且等于A的充分必要条件是左极限Xx
limf（x）及右极限limf（x）都存在且都等于A。
即有:
XXoxxo
limf（x）
xxo
limf（x）=limf（x）=A
xxoX冷
12eX,x0
例：
设f（x）=xx,0x1求limf（x）及limf（x）
■Jxx0x1
2
X,X1
解：
limf（x）lim（12ex）1
x0x0
XxX厂
limf（x）lim（）lim（..x1）1
x0x0、xx0
由limf（x）
lim
f（x）1
x0
x0
liqf（x）
1
x0
又lim
f（x）
lim-_lim（VX1）0
X1
x1-_xx1
limf（x）
lim
X21
X1X1
由f（10）f（10）limf（x）不存在
X1
14、约去零因式（此法适用于xX。
时，0型）
例：
求
32
「・xx16x20
.lim32
x2x7x16x12
解：
原式:
X33x210x（2x26x20）
-lim322
x2x35x26x（2x210x12）
（X2）（x23x10）
=lim厂
x2（x2）（x25x6）
（x23x10）.（x5）（x2）
=lim2=lim
x2（x25x6）x2（x2）（x3）
x5
一lim7
x2x3
15、利用化简来求极限（分子有理化、分母有理化、分解、恒等变形）比如求limx32
x1xx2
此题要用到两个知识点①将分子有理化②分母分解因式
门2.（.口2）（.门2）11
解：
lim2lim=lim——
x1xx2x1（x1）（x2）G/x32）x1（x2）（Jx32）12
通分法（适用于型）
16、利用泰勒公式
对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用洛必达法则
更为方便，下列为常用的展开式：
1、
x
e1
x
2x
2!
n
xn
o（xn!
）
3
5
2n
1
2、
sinx
x
x
x
（1）n
1x
o（x2n）
o（x丿
3!
5!
（2n
1）!
2
4
2n
3、
cosx
1
x
x
（1）n
x
/2n1、o（x）
2!
4!
（2n）!
2
n
4、
ln（1
x）
x
x
（1）n1
o（xn）
2
n
5、（1x）1x1）x2—（__1）（——xno（xn）
2!
n!
6>1xx2xno（xn）
1x
上述展开式中的符号o（xn）都有:
xm0
o（xn）
n
x
a2xa例:
求lim
x0
X（a
0）
解:
利用泰勒公式，当x0有
x
心1-o（x）
a1
12x
o（x）1
=lim
x0
2a
x
1-o（x）
2a
、a
=lim
x0
x
2a
x
o（x）
00
1
2ax
x
o（x）
1
2”a
17、利用拉格朗日中值定理
定理:
若函数f满足如下条件:
⑴f
在闭区间上连续
（II）f
在（a,b）内可导
则在（a,b）
内至少存在一点，使得
f（）-
f（b）f（a）
ba
此式变形可为：
f（b）f（a）f'（a（ba））（01）
ba
xsinx
例：
求iime「
x0xsinx
解:
令f（x）ex对它应用中值定理得
1）即
exesinxf（x）f（sinx）（xsinx）f（sinx（xsinx））（0
xsinx
ee'
f（sinx（xsinx））（01）
xsinx
f'（x）ex连续
1］叫f（sinx（xsinx））f（0）1
xsinx
从而有：
lime——1
x0xsinx
18.利用定积分和积分中值定理求极限
比如设Xn
.（n—1）（n—2）「（nF
（n1,2,L），求limxn
n
n
解因为inxn一ln（1—）
ni1n
所以limxn
n
ln（1
n
1
0叱
x）dx2ln21
19、求代数函数的极限方法
（1）有理式的情况，即若：
R（x）
mm1
P（x）a0x盼
Q（x）b°xnbxn1
am
bn
（a。
0,b。
0）
（I）当x
时，有
lim
xQ（x）
lim
x
mm1
a°xa〔x
nn1
b0xdx
am
bn
鱼
b°
0
（II）当x0时有:
①若Q（x°）
0
则
..P（x）lim
x0Q（x）
P（x°）
Q（x°）
②若Q（x°）
0
而
P（x。
）0
则limP（x）
x0Q（x）
③若Q（x。
）
0,
P（x°）
0,则分别考虑若X。
为P（x）0的S重根,
即:
P（x）（xx°）sR（x）也为Q（x）0的r重根,即:
Q（x）（xxo）rQi（x）可得结论如下：
1心
X冷Q（x）
lim（x
xxo
xo）SrR（X）
Q^）
R（X。
）
Q1（xo）
sr
sr
例：
求下列函数的极限
①lim
x
2030
（2x3）（3x2）
（2x1）50
3x2
4x3
解：
①分子，分母的最高次方相同，故
lim
x
（2x3）20（3x2）30=220330
^172^
（3）
30
②P（x）x33x2,P
（1）0
Q（x）x44x3,Q
（1）0
P（x）,Q（x）必含有（x-1）之因子，即有1的重根故有：
32
x3x2v（x1）（x2）x21
lim4limlim
x1x44x3x1（x1）2（x22x3）x1x22x32
（2）无理式的情况。
虽然无理式情况不同于有理式，但求极限方法完全类同，这里就不再一一详述.在这里我主要举例说明有理化的方法求极限。
例：
求Jim（.x、xxix）
x
lim（xxx.x）
lim
x
lim
x
xvxxx
1
20.利用拆项法技巧
lim
n
例6:
（13
1
3.5
（2n1）（2n
1））
分析：
由于
）
（2n1）（2n1）=2（2n1
原式=nm1[（1a）（35）（的缶）]1（1治）2
21.分段函数的极限
讨论
在点
处的极限是否存在
分析所给函数是分段函数
是分段点，要知
是否存在，必须从极限存在的充
要条件入手.
解因为
所以
不存在.
注1因为
的左边趋于
注2因为
的右边趋于
22.利用数列极限与函数的极限等值关系来求极限
此方法把数列极限化成函数形式的极限，而后回代，从而求出数
列极限的一种方法。
举例说明:
例：
若a,b,c
0,求lim
n
解先考虑:
In
XXX
abc
ixlna!
limxln
X
111
Inab*cXIn3
lim—
X1
X
1
aXlna
bX
lnb
cX
lnc
lim
X
aXbXcX1
~2
X
111
lim
X
aXlnab'lnbc，lnc
lim
n
n-a
nb
n.c
lim
n
1
a：
11n
bXX
c
111
Xln
„XXrtX
abc
3
lim
n
lnabce
3
Inabc3
abc3
在实际学习中很多题是多种方法综合运用求解的。
所以求极限时，
首先观察数列或函数的形式.选择适当方法，只有方法得当，才能准
确、快速、灵活的求解极限
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