第三章几何光学的基本原理1.docx

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第三章几何光学的基本原理1

第三章几何光学的基本原理

1证明反射定律符合费马原理。

证明：

设平面Ⅰ为两种介质的分界面，光线从A点射向界面经反射B点，在分界面上的入射点为任意的C点；折射率分别为：

n1、n2。

（1）过A、B两点做界面的垂直平面Ⅱ，两平面相交为直线X轴，过C点做X轴的垂线，交X轴于C＇点，连接ACC＇、BCC＇得到两个直角三角形，其中：

AC、BC为直角三角形的斜边，因三角形的斜边大于直角边，根据费马原理，光线由A点经C点传播到B点时，光程应取最小值，所以在分界面上的入射点必为C＇点，即证明了入射光线AC＇和反射光线BC＇共面，并与分界面垂直。

（2）设A点的坐标为（x1，y1），B点坐标为（x2，y2），C点坐标为（x，0），入射角为θ，反射角为θ＇，则光线由A传播到B的光程：

（（（

2

2222

12

11yxxyxxn+-+

+-=∆

若使光程取极值，则上式的一阶导数为零，即：

0（（22

2

222

1

2

11=+---

+--=

∆y

xxxxy

xxxxdx

d

从图中得到：

21

2

11（siny

xxxx+--=

θ

22

2

22（siny

xxxx+--=

'θ

也即：

sinθ=sinθ＇，说明入射角等于反射角，命题得证。

2根据费马原理可以导出在近轴条件下，从物点这出并会聚到象点所有光线的光程都相等。

由此导出薄透镜的物象公式。

解：

3眼睛E和物体PQ之间有一块折射率为1.5的玻璃平板，平板的厚度

d

为30cm，求PQ的象P＇Q＇与物体之间的距离d2。

解：

方法一

P＇Q＇是经过两个平面折射所形成的象

（1）PQ经玻璃板前表面折射成象：

设PQ到前表面的距离为s1，n=1、n＇=1.5由平面折射成象的公式：

11sn

ns'

='

得到：

1123ss='

（2）PQ经玻璃板前表面折射成象：

从图中得到：

s2=s1+d、n=1.5、n＇=1根据：

2

2snns'='

解出最后形成的象P＇Q＇到玻璃板后表面的距离：

d

ss3212+

='

物PQ到后表面的距离：

s=s1+d

物PQ与象P＇Q＇之间的距离d2：

d2=s2＇-s=（3

21-

）d=10cm

方法二：

参考书中例题的步骤，应用折射定律解之。

方法三：

直接应用书中例题的结论：

d2=d（1-1/n）即得。

4玻璃棱镜的折射角A为600，对某一波长的光其折射率为1.6，计算（1最小偏向角；（2此时的入射角；（3能使光线从A角两侧透过棱镜的最小入射角。

解：

（1）根据公式：

2

sin

sin0AA

n

+=

θ

代入数据：

A=600

，n=1.6

解出最小偏向角：

θ0=46016＇

（2）因：

A

i-=10

2θ则入射角：

53352/（0

01

'

=+=Aiθ

（3）若能使光线从A角两侧透过棱镜，则出射角i1＇=900有：

nsini2＇=1sin900=1解出：

i2＇=38.680从图中得到：

i2+i2＇=A得到：

i2=21.320

又有：

sini1=nsini2解出最小入射角：

i1=35034＇

5题图表示恒偏向棱镜，挑相当于两个300-600-900棱镜与一个450-450-900

棱镜按图示方式组合在一起。

白光沿i方向入射，我们旋转这个棱镜来改变θ1，从而使任意波长的光可以依次循着图中的路径传播，出射光线为r，求证：

如果sinθ1=n/2，则θ2=θ1，且光束i与r相互垂直。

解：

当光线以θ1角在A点入射时，设折射角为α，

根据折射定律有：

sinθ1=nsinα因：

sinθ1=n/2计算得到：

α=300在C点的入射角为β，从图中可看出：

β=300

有：

sinθ2=nsinβ得到：

sinθ2=n/2

因：

sinθ1=sinθ2=n/2所以：

θ1=θ2

在三角形ADE中，∠ADE=1800-θ1-（900-θ2）=900说明光束i与r相互垂直。

6高为5cm物体放在距凹面镜顶点12cm，凹面镜的焦距是10cm，求象的位置及高度，并作光路图。

解：

已知：

s=-12cmf＇=-10cm根据：

fss'

=

+'

111

解出：

s＇=-60cm因：

s

syy'-

='=β

解得：

y＇=-25cm

7一个5cm高的物体放在球面镜前10cm处成1cm高的虚象，求：

（1）此镜的曲率半径；

（2）此镜是凸面镜还是凹面镜？

解：

已知：

y=5cm、s=-10cm、y＇=1cm

因形成的是虚象，物和象在镜面的两侧，物距和象距异号。

根据：

5

1='-='=

s

syyβ

cm

cmss210（5

151=--=-='

代入：

r

s

s211=

+

'

解出：

r=5cm

因r=5cm>0，所以是凸面镜。

8某观察者通过一块薄玻璃板去看在凸面镜他自己的象，他移动着玻璃板，使得在玻璃板中与在凸面镜中所看到的他眼睛的象重合在一起。

若凸面镜的焦距为10cm，眼睛距凸面镜顶点的距离为40cm，问玻璃板距观察者眼睛的距离是多少？

解：

已知：

凸面镜成象时的物距：

s=-40cm、焦距：

f＇=10cm

由：

fss'

=

+'

111

解出凸面镜成象的象距：

s＇=8cm此象到眼睛的距离：

b=40+8=48cm

又因薄玻璃板所成的象是虚象，与物对称，若使玻璃板中的象与凸面镜中所成的象重合在一起，则玻璃板应放在P与P＇的中间，

即玻璃板到眼睛的距离：

d=b/2=24cm

9物体位于凹面镜轴线上焦点之外，在焦点与凹面镜之间放一个与轴线垂直的两表面互相平行的玻璃板，其厚度为d，折射率为n，试证明：

放入该玻璃板后使象移动的距离与把凹面镜向物体移动d（n-1）/n的一段距离的效果相同。

解:

设物体到凹面镜的距离s，当把玻璃板放入后，物体首先经过玻璃板折射成象P1，再经过凹面镜反射成象P2，P1即为凹面镜的物，P1相对P

点移动的距离经前面的证明知道为d（n-1）/n，

也即放入该玻璃板后使象

移动的距离与把凹面镜向物体移动d（n-1）/n的一段距离的效果相同。

10欲使由无穷远发出的近轴光线通过透明球体并成象在右半球面的顶点处，问该透明球体的折射率应为多少？

解：

此问题是单球面的折射成象，根据题意有：

物距：

s=-∞、物空间：

n=1

设象空间球体折射率为n，球面半径为R

由：

r

n

nsnsn-'=

-

'

'得到：

1（2-'='nn

从而解出透明球体的折射率：

2='n

11有一折射率为1.5、半径为4cm的玻璃球，物体在距球表面6cm处，求：

（1）从物体所成的象到球心之间的距离；

（2）求象的横向放大率。

解：

物体经玻璃球的左、右球面两次成象。

左球面成象：

n1=1、n1＇=1.5、r1=-4cm、s1=-6cm

由：

1

11

1

11

1rnnsnsn-'=

-

''

解得左球面成象的象距：

s1＇=-36cm，象在P点。

横向放大率：

4

1

1111

=''=nnssβ

右半球面成象：

n2=1.5、n2＇=1、r2=4cm、s2=-44cm再由：

2

22

2

22

2rnnsnsn-'=

-

''

解出第二次成的象P＇到O2点的距离：

s2＇=11cm横向放大率：

8

32

22

22

-

=''=nnssβ

最后所成的象到球心之间的距离：

d=s2＇+r=（11+4）cm=15cm象的横向放大率：

5.121-==βββ

12一个折射率为1.53、直径为20cm的玻璃球内有两个小气泡，看上去一个恰好在球心，另一个从最近的方向看去，好象在表面与球心连线的中点。

求两个气泡的实际位置。

解：

（1）看去恰好在球心的气泡

n1=1.53、n1＇=1、r1=-10cm、s1＇=-10cm

由：

1

11

1

11

1rnnsnsn-'=

-

''

解得象对应的物距：

s1=-10cm，说明气泡在球心处。

图A

（2）好象在表面与球心连线中点的气泡

n2=1.53、n2＇=1、r2=-10cm、s2=-5cm再由：

2

22

2

22

2rnnsnsn-'=

-

''

解得象距：

s2=-6.047cm

气泡到球心的距离:

d=10cm-6.047cm=3.953cm图B

13直径为1m的球形玻璃鱼缸的中心处有一条小鱼，若玻璃缸壁的影响可忽略不计，求缸外观察者所看到的小鱼的表观位置和横向放大率。

解:

n=1.33、n＇=1,设球面曲率半径为r,象距:

s＇=r

由：

r

n

nsnsn-'=

-

'

'

解得象对应的物距：

s=r，说明鱼在缸的中心处。

横向放大率：

33

.1='

'=nnssβ

是一个正立放大的虚象.

14玻璃棒一端成半球形，曲率半径为2cm，将它水平地浸入折射率为1.33的水中，沿着棒的轴线离球面顶点8cm处的水中有一物体，应用计算法和作图法求象的位置及横向放大率。

解：

已知：

n=1.33、n＇=1.5、r=2cm、s=-8cm根据：

r

n

nsnsn-'=

-

'

'

解出：

s＇=18.5cm

或由：

r

n

nnf-''=

'

r

n

nnf-''=

'

计算得到物方、象方焦距：

cm

f6.17='cmf6.15-=

由：

1=+''s

fsf解得象距：

s＇=18.5cm

横向放大率：

2

≈'

'=nnssβ

15有两块玻璃薄透镜的两表面均各为凸球面及凹球面，其曲率半径为10cm。

一物点在主轴上距镜20cm处，若物和镜均浸入水中，分别用作图法和计算法求象点的位置。

设玻璃的折射率为1.5，水的折射率为1.33。

解：

因透镜放在同一种介质中，所以物方和象方焦距的绝对值相等。

已知：

n2=1.33n1=1.5

（1）凸透镜：

两表面曲率半径：

r1=10cm、r2=-10cm、物距：

s=-20cm

得到：

cmrrnnnff39

11（

（2

1

121

=--=

-='

由：

fs

s'

=

-

'

111解得象距为：

s＇=-41cm

（2）凹透镜：

两表面曲率半径：

r1=-10cm、r2=10cm、物距：

s=-20cm得到：

cm

rrnnnff39

11（

（2

1

121

-=--=

-='

由：

fs

s'

=

-

'

111解得象距为：

s＇

=-13.2cm

16一凸透镜在空气中的焦距为40cm，在水中的焦距为136.8cm，问此透镜的折射率是多少?

设水的折射率为1.33。

若将此透镜放置在CS2中（CS2

的折射率为1.62，其焦距又为多少？

解：

根据薄透镜焦距的计算公式，设透镜的折射率为n，在折射率n＇=1的空气中时：

cm

rrnf40

1

1（1（1

2

11=--=

'

在n＇=1.33的水中：

cm

rrnf8.136

11（

33.1（33

.12

1

2=--=

'

两式相比:

8.136401（33.133.12

1=

--=''

nnff

解出透镜的折射率为:

n=1.54

若把透镜放在n＇=1.62的CS2中：

11（

62.1（62

.12

1

3rrnf--=

'

与空气的焦距相比：

=--='3

3140

62.154.1（154.1（62.1fff

解出在CS2中，其焦距为：

cm

f4.4373-='

17两片极薄的表玻璃，曲率半径分别为20cm和25cm，将两玻璃片的边缘粘起来，形成一内含空气的双凸透镜，把它置于水中，求其焦距为多少？

解：

根据题意，透镜的折射率：

n=1，两表面的曲率半径：

r1=20cm、r2=-25cm，

水的折射率为：

n＇=1.33，代入：

11（

（2

1

rrnnnf-'-'

=

'

解出透镜的焦距为：

cm

f78.44-='，为一发散透镜。

18会聚透镜和发散透镜的焦距都是10cm，求：

（1）与主轴成300

角的一束平行光入射到每个透镜上，象点在何处？

（2）在每个透镜左方的焦平面上离主轴1cm处各置一发光点，成象在何处？

解：

（1）根据题意做图如下。

图

（1）图

（2）

图

（1）是凸透镜成象图，P＇是象点，在象方焦平面上，到焦点的

距离为：

cm

tgfFP8.5300

='=

''P＇点的坐标：

（10，5.8）

图（2是凹透镜成象图，象点P＇仍在象方焦平面上，但在透镜左方，

到焦点的距离为：

cm

tgfFP8.5300

='=

''P＇点的坐标：

（-10，-5.8）

（2）在凸透镜物方焦平面上放一物，象成于无穷远处。

把物放在凹透镜的象方焦平面上，已知：

s=-10cm，由：

fss'

=-'111

解得象距为：

s＇=-5cm，由：

s

sy

y'=

'=

β，解出：

y＇=0.5cm

象P＇点的坐标：

（-5，0.5）

图（3）图（4）

19如图

（1）、

（2）所示，MM＇分别为一薄透镜的主光轴，S为发光点，S为象，用作图法求透镜中心和透镜焦点的位置。

20比累对切透镜是把一块凸透镜沿直径方向刨开成两半组成，两半块透镜垂直光轴拉开一点距离，用光阑挡住其间的空隙，这时在光屏上可观察到干涉条纹。

已知点光源与透镜相距300cm，透镜的焦距f=50cm，两透镜拉开的距离t=1mm，光屏与透镜相距450cm，用波长为632.8nm的激光做光源，求干涉条纹的间距。

解：

点光源经两块透镜形成两个实象P1、P2，由物象公式：

fss'

=-'111

求得P1、P2到透镜的距离：

cmfsfss6050

30050300（=+-⨯-=

'

+'=

'

点光源到上半透镜主轴的距离y：

cmoy5.=，P1点到主轴的距离y'，则：

s

syy'='=

β解得：

cmy06.0='

也即P1、P2两点之间的距离：

cmyd12.02='=，

与光屏的距离：

cmcmcmslL39060450=-='-=干涉条纹的间距：

mmd

Ly06.2==

∆λ

21把焦距为10cm的会聚透镜的中央部分C切去，C的宽度为1cm，把余下的两部分粘起来，（见图）。

如在其对称轴上距透镜5cm处置一点光源，试求象的位置。

解：

把透镜按题意分切、对接后，在对物体成象时，可看做是两个透镜，上、下两半部分透镜的成象情况是对称的，上半部分透镜的成象光路如图所示，虚线为透镜主轴，点光源到主轴的距离为cmy5.0=

根据：

fss'

=-'111已知：

cms5-=、cmf10='

解出象距：

s′=−10cm横向放大率：

β=y′s′==2ys解得：

y′=1cm22一折射率为1.5的薄透镜，其凸面的曲率半径为5cm，凹面的曲率半径为15cm，且镀上银，如图，试证明：

当光从凸表面入射时，该透镜的作用相当于一个平面镜。

解：

该系统的成象过程是球面O1的折射、O2球面的反射和O1球面的折射三次成象。

设物体与O1面的距离为s。

O1面的折射成象：

物距为−s、n=1、n′=1.5、r=5cm′′根据：

n−n=n−ns′srβ1=s′nsn′解得：

23题图所示的是一个等边直角棱镜和两个透镜所组成的光学系统，棱镜折射率为1.5，凸透镜的焦距为20cm，凹透镜的焦距为10cm，两透镜间的距离为5cm，凸透镜距棱镜边的距离为10cm，求图中长度为1cm的物体所成象的位置和大小。

24显微镜由焦距为1cm的物镜和焦距为3cm的目镜组成，物镜与目镜之间的距离为20cm，问物体放在何处时才能使最后的象成在距离眼睛25cm处？

作出光路图。

25题图中L为薄透镜，水平横线MMˊ为主轴，ABC为已知的一条穿过这

个透镜的光线的路径，用作图法求出另一条光线DE穿过透镜后的路径。

解：

1过O点做AB的平行线（副轴），交BC线于L点；2过L点做主轴的垂线，即为透镜的象方焦平面；3过O点做DE的平行线，交象方焦平面于H点；4连接E、H，即得DE的共轭折射光线EH。

26题图是一厚透镜的主轴，H、Hy=0.5cmˊ是透镜的主平面，S1是点光源，Sˊ是点光源的象，试用作图法作出任意物点S2的象的位置。

27双凸透镜的折射率为1.5，r1=10cm，r2=15cm，r2的另一面镀银，物点P在透镜前主轴上20cm处，求最后象的位置并作出光路图。

28实物与光屏之间的距离为L，，在中间某一个位置放一个凸透镜，可使实物的象清晰地投于光屏上，将透镜移过距离d后，屏上又出现一个清晰的象。

（1）试计算两个象的大小之比；

（2）证明透镜的焦距为（l2-d2）/4L；（3）证明L不能小于透镜焦距的四倍。

解：

1）设透镜在位置1时，（物体到透镜的距离为x，象到透镜的距离就为L-x，由薄透镜成象的物象公式，得到：

111−=L−x−xf′

（1）透镜移动到位置2时，物体到透镜的距离为：

x+d，象到透镜的距离为：

L-（x+d），有：

111−=L−（x+d−（x+df′

（2）解出：

x=2两式联立得到：

L+2x−d=0L−d2则透镜在位置1成象时的物距：

s1=L−d横向放大率：

β1=y1′=s1′=L+dys1L−d象距：

s1′=L+d2

在位置2成象时的物距：

s2=L+d2′′横向放大率：

β2=y2=s2=L−dys2L+d象距：

s2=L−d′2两个象的大小之比：

（2）将x=′y1y′y1L+d2β==1=（′′β2y2yy2L−dL−d代入

（1）式，即可得到：

2L2−d2（3）f′=4Ld2（3）将（3）式化简：

4f′=L−，因：

0

d2/L>0即有：

L>4f＇