全国高中数学联合竞赛试题与解答B卷.docx

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全国高中数学联合竞赛试题与解答B卷

2016年全国高中数学联赛（B卷）一试

一、选择题：

（每小题8分，共64分）

1.等比数列的各项均为正数，且则的值为．

2.设，则平面点集的面积为．

3.已知复数满足（表示的共轭复数），则的所有可能值的积为．

4.已知均为定义在上的函数，的图像关于直线对称，的图像关于点中心对称，且，则的值为．

5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子中，恰有两个球放在同一盒子的概率为．

6.在平面直角坐标系中，圆关于直线对称的圆为则直线的方程为．

7.已知正四棱锥-的高等于长度的一半，是侧棱的中点，是侧棱上点，满足，则异面直线所成角的余弦值为．

8.设正整数满足，且．这样的的个数为．这里，其中表示不超过的最大整数．

二、解答题：

（共3小题，共56分）

9.（16分）已知是各项均为正数的等比数列，且是方程

的两个不同的解，求的值．

10.（20分）在中，已知

（1）将的长分别记为，证明：

；

（2）求的最小值．

11.（20分）在平面直角坐标系中，双曲线的方程为．求符合以下要求的所有大于的实数：

过点任意作两条互相垂直的直线与，若与双曲线交于两点，与交于两点，则总有成立．

加试

一、（40分）非负实数和实数满足：

（1）；

（2）是奇数．

求的最小值．

二、（40分）设是正整数，且是奇数．已知的不超过的正约数的个数为奇数，证明：

有一个约数，满足

三、（50分）如图所示，是平行四边形，是的重心，点在直线上，使得证明：

平分

四、（50分）设是任意一个11元实数集合．令集合求的元素个数的最小值．

2016年全国高中数学联赛（B卷）试题及答案

一试

一、选择题：

（每小题8分，共64分）

1.等比数列的各项均为正数，且则的值为．

答案：

6．

解：

由于且故

另解：

设等比数列的公比为，则又因

而，从而

2.设，则平面点集的面积为．

答案：

7．

解：

点集如图中阴影部分所示，其面积为

3.已知复数满足（表示的共轭复数），则的所有可能值的积为．

答案：

3．

解：

设由知，

比较虚、实部得又由知，从而有

即，进而

于是，满足条件的复数的积为

4.已知均为定义在上的函数，的图像关于直线对称，的图像关于点中心对称，且，则的值为．

答案：

2016.

解：

由条件知

①

②

由图像的对称性，可得结合①知，

③

由②、③解得从而

另解：

因为

，①

所以

②

因为的图像关于直线对称，所以

③

又因为的图像关于点中心对称，所以函数是奇函数，，，从而

④

将③、④代入①，再移项，得

⑤

在⑤式中令，得

⑥

由②、⑥解得于是

5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子中，恰有两个球放在同一盒子的概率为．

解：

样本空间中有个元素．而满足恰有两个球放在同一盒子的元素个数为

过所求的概率为

6.在平面直角坐标系中，圆关于直线对称的圆为则直线的方程为．

答案：

解：

的标准方程分别为

由于两圆关于直线对称，所以它们的半径相等．因此解得故的圆心分别是直线就是线段的垂直平分线，它通过的中点，由此可得直线的方程是

7.已知正四棱锥-的高等于长度的一半，是侧棱的中点，是侧棱上点，满足，则异面直线所成角的余弦值为．

解：

如图，以底面的中心为坐标原点，的方向为轴的正向，

建立空间直角坐标系．不妨设此时高从而

由条件知，因此

设异面直线所成的角为，则

8.设正整数满足，且．这样的的个数为．这里，其中表示不超过的最大整数．

解：

由于对任意整数，有

等号成立的充分必要条件是，结合知，满足条件的所有正整数为共有个．

另解：

首先注意到，若为正整数，则对任意整数，若，则这是因为，当时，，这里是一个整数，故

因此，当整数满足时，

容易验证，当正整数满足时，只有当时，等式才成立．而，故当时，满足正整数的个数为

二、解答题：

（共3小题，共56分）

9.（16分）已知是各项均为正数的等比数列，且是方程

的两个不同的解，求的值．

解对，有即

因此，是一元二次方程的两个不同实根，从而

即

由等比数列的性质知，

10.（20分）在中，已知

（1）将的长分别记为，证明：

；

（2）求的最小值．

解

（1）由数量积的定义及余弦定理知，

同理得，故已知条件化为

即

（2）由余弦定理及基本不等式，得

等号成立当且仅当因此的最小值为

11.（20分）在平面直角坐标系中，双曲线的方程为．求符合以下要求的所有大于的实数：

过点任意作两条互相垂直的直线与，若与双曲线交于两点，与交于两点，则总有成立．

解过点作两条互相垂直的直线与

易知，与交于点（注意这里），与交于点由条件知，解得

这意味着符合条件的只可能为

下面验证符合条件．

事实上，当中有某条直线斜率不存在时，则可设，就是前面所讨论的的情况，这时有若的斜率都存在，不妨设

注意这里（否则将与的渐近线平行，从而与只有一个交点）．

联立与的方程知，即

这是一个二次方程式，其判别式为．故与有两个不同的交点．同样，与也有两个不同的交点由弦长公式知，

用代替，同理可得于是

综上所述，为符合条件的值．

加试

一、（40分）非负实数和实数满足：

（1）；

（2）是奇数．

求的最小值．

解：

由已知条件

（1）可得：

于是（注意）

①

不妨设则

若，并且令

则于是

由条件

（2）知，是奇数，所以是奇数，这与矛盾．

因此必有，或者则

于是结合①得

又当时满足题设条件，且使得不等式等号成立，所以的最小值为1．

二、（40分）设是正整数，且是奇数．已知的不超过的正约数的个数为奇数，证明：

有一个约数，满足

证明：

记，，则的不超过的正约数的集合是

若结论不成立，我们证明

对，因为是奇数，故，又，而没有在区间中的约数，故，即，故

反过来，对，设，则，是奇数，又，故从而

所以故的不超过的正约数的个数为偶数，与已知矛盾．从而结论成立．

三、（50分）如图所示，是平行四边形，是的重心，点在直线上，使得证明：

平分

解：

连接，与交于点由平行四边形的性质，点是的中点．因此，

点在线段上．

由于，所以四点共圆，并且其外接圆是以为直径的圆．由相交弦定理知

①

取的中点注意到故有

因此关于点对称．于是

②

结合①、②，有，因此四点共圆．

又所以，即平分

四、（50分）设是任意一个11元实数集合．令集合求的元素个数的最小值．

解：

先证明考虑到将中的所有元素均变为原来的相反数时，集合不变，故不妨设中正数个数不少于负数个数．下面分类讨论：

情况一：

中没有负数．

设是中的全部元素，这里于是

上式从小到大共有个数，它们均是的元素，这表明

情况二：

中至少有一个负数．

设是中的全部非负元素，是中的全部负元素．不妨设

其中为正整数，，而，故于是有

它们是中的个元素，且非正数；又有

它们是中的7个元素，且为正数．故

由此可知，

另一方面，令则

是个17元集合．

综上所述，的元素个数的最小值为