北师大版八年级数学第四章导学案.docx
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北师大版八年级数学第四章导学案
4.1因式分解
一.学习准备
1.因式分解是:
把的形式。
2.请同学们阅读教材,预习过程中请注意:
⑴不懂的地方要用红笔标记符号;
⑵完成你力所能及的随堂练习和习题;
二.教材精读:
1、整式乘法
公式类:
=
=
=
(1)单
单:
=
(2)单
多:
=
(3)多
多:
(4)混合乘:
=
2、把一个多项式化成的形式,这种变形叫做把这个多项式
如:
⑴
=
⑵
=
⑶
=
⑷
=
⑸
=
定义解析:
(1)等式左边必须是
(2)分解因式的结果必须是以的形式表示;
(3)分解因式必须分解到每个因式都有不能分解为止。
3、分解因式与整式乘法的关系是:
二.合作探究
探究一:
下列从左到右的变形中哪些是分解因式?
哪些不是分解因式?
为什么?
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)下列从左边到右边的变形,是因式分解的是()
A、
B、
C、
D、
探究二:
连一连:
9x2-4y2a(a+1)2
4a2-8ab+4b2-3a(a+2)
-3a2-6a4(a-b)2
a3+2a2+a(3x+2y)(3x-2y)
三.课堂检测
1.下列各式从左到右的变形是分解因式的是().
A.a(a-b)=a2-ab;B.a2-2a+1=a(a-2)+1
C.x2-x=x(x-1);D.x2-
=(x+
)(x-
)
2.连一连:
a2-1(a+1)(a-1)
a2+6a+9(3a+1)(3a-1)
a2-4a+4a(a-b)
9a2-1(a+3)2
a2-ab(a-2)2
3.若分解因式x2+mx-15=(x+3)(x+n),则m、n的值是多少?
4.把下列各式分解因式正确的是()
A.xy2-x2y=x(y2-xy);B.9xyz-6x2y2=3xyz(3-2xy)
C.3a2x-6bx+3x=3x(a2-2b);D.
xy2+
x2y=
xy(x+y)
4.2.1提公因式法
一.学习准备:
1、一个多项式中各项都含有的因式,叫做这个多项式各项的.
2、公因式是各项系数的与各项都含有的字母的的积
多项式ma+mb+mc都含有的相同因式是,
多项式3x2-6xy+x都含有的相同因式是。
3、如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做
4.提公因式法分解因式与单项式乘以多项式有什么关系?
二.合作探究
探究一:
找出下列多项式的公因式:
(1)3x+6
(2)7x2-21x
(3)8a3b2-12ab3c+abc(4)-24x3-12x2+28x.
探究二:
分解因式:
(1)3x+6;
(2)7x2-21x;
(3)8a3b2-12ab3c+abc(4)-24x3-12x2+28x.
互相交流,总结出找公因式的一般步骤:
首先:
其次:
探究三:
用提公因式法分解因式:
(1)
(2)
(3)
三.课堂检测
1.填空
(1)3x2-27ax=3x();
(2)12a2b+8ab2=()(3a+2b);
(3)25m2+15mn-5m=5m();(4)4a2-6ab+2a=()(2a-3b+1)。
2.将下列多项式进行分解因式:
(1)8x–72
(2)a2b–5ab(3)4m3–8m2
(4)a2b–2ab2+ab (5)–48mn–24m2n3(6)–2x2y+4xy2–2xy
3.用提公因式法分解因式:
(1)
(2)
(3)
4.2.2提公因式法
一.学习准备:
1、一个多项式中各项都含有的因式,叫做这个多项式各项的.
(1)–2x2y+4xy2–2xy的公因式:
(2)a(x–3)+2b(x–3)的公因式:
2、如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做
二.合作探究
探究一:
把下列各式分解因式:
(1)x(a+b)+y(a+b)
(2)3a(x-y)-(x-y)
探究二:
1.在下列各式等号右边的括号前插入“+”或“–”号,使等式成立:
(1)2–a=(a–2)
(2)y–x=(x–y)
(3)b+a=(a+b)(4)(b–a)2=(a–b)2
(5)–m–n=(m+n)(6)–s2+t2=(s2–t2)
2.把下列各式分解因式:
(1)a(x–y)+b(y–x)
(2)2(y-x)2+3(x-y)
(3)6(p+q)2-12(q+p)(4)a(m-2)+b(2-m)
(5)3(m–n)3–6(n–m)2(6)mn(m-n)-m(n-m)2
三.课堂检测
1、填一填:
(1)3+a=(a+3)
(2)1–x=(x–1)
(3)(m–n)2=(n–m)2(4)–m2+2n2=(m2–2n2)
2、把(x-y)2-(y-x)分解因式为()
A.(x-y)(x-y-1)B.(y-x)(x-y-1)
C.(y-x)(y-x-1)D.(y-x)(y-x+1)
3、下列各个分解因式中正确的是()
A.10ab2c+6ac2+2ac=2ac(5b2+3c)
B.(a-b)3-(b-a)2=(a-b)2(a-b+1)
C.x(b+c-a)-y(a-b-c)-a+b-c=(b+c-a)(x+y-1)
D.(a-2b)(3a+b)-5(2b-a)2=(a-2b)(11b-2a)
4、观察下列各式:
①2a+b和a+b,②5m(a-b)和-a+b,③3(a+b)和-a-b,
④x2-y2和x2+y2。
其中有公因式的是()
A.①②B.②③C.③④D.①④
5、把下列各式因式分解:
(1)x(a+b)+y(a+b)
(2)3a(x–y)–(x–y)
(3)6(p+q)2–12(q+p)(4)a(m–2)+b(2–m)
(5)2(y–x)2+3(x–y)(6)mn(m–n)–m(n–m)2
4.3.1公式法
一.学习准备:
1、平方差公式:
a2–b2=
填空:
(1)(x+3)(x–3)=
(2)(4x+y)(4x–y)=;
(3)(1+2x)(1–2x)=;(4)(3m+2n)(3m–2n)=.
2、把(a+b)(a-b)=a2-b2反过来就是a2-b2=
a2-b2=中左边是两个数的,右边是这两个数的与这两个数的的。
根据上面式子填空:
(1)9m2–4n2=;
(2)16x2–y2=;
(3)x2–9=;(4)1–4x2=.
二.合作探究
探究一:
把下列各式因式分解:
(1)x2-16
(2)25–16x2
(3)9a2–
(4)9m2-4n2
探究二:
将下列各式因式分解:
(1)9(x–y)2–(x+y)2
(2)2x3–8x
(3)3x3y–12xy(4)a4-81
三.课堂检测
1、判断正误:
(1)x2+y2=(x+y)(x–y)()
(2)–x2+y2=–(x+y)(x–y)()
(3)x2–y2=(x+y)(x–y)()
(4)–x2–y2=–(x+y)(x–y)()
2、下列各式中不能用平方差公式分解的是()
A.-a2+b2B.-x2-y2C.49x2y2-z2D.16m4-25n2
3、分解因式3x2-3x4的结果是()
A.3(x+y2)(x-y2)B.3(x+y2)(x+y)(x-y)C.3(x-y2)2D.3(x-y)2(x+y)2
4、把下列各式因式分解:
(1)4–m2
(2)9m2–4n2(3)a2b2-m2
(4)(m-a)2-(n+b)2(5)
(6)-16x4+81y4
5、分解多项式:
(1)16x2y2z2-9;
(2)a2b2-m2
(2)81(a+b)2-4(a-b)2(4)(m-a)2-(n+b)2
4.3.2公式法
一.学习准备:
1、分解因式学了哪些方法?
2、填空:
(1)(a+b)(a-b)=;
(2)(a+b)2=;
(3)(a–b)2=;
根据上面式子填空:
(1)a2–b2=;
(2)a2–2ab+b2=;
(3)a2+2ab+b2=;
结论:
形如与的式子称为完全平方式.由分解因式与整式乘法关系可以看出:
如果,那么
,这种分解因式的方法叫运用公式法。
二.合作探究
探究一:
观察下列哪些式子是完全平方式?
如果是,请将它们进行因式分解.
(1)x2–4y2
(2)x2+4xy–4y2(3)4m2–6mn+9n2
(4)m2+9n2+6mn(5)x2–x+(6)
探究二:
把下列各式因式分解:
(1)a2b+b3-2ab2
(2)
;
(3)
(4)
(5)
(6)(m2-2m)2-2(m2-2m)+1
三.课堂检测
1.下列多项式能用完全平方公式分解因式的是()
A.m2-mn+n2B.(a+b)2-4abC.x2-2x+
D.x2+2x-1
2.若a+b=4,则a2+2ab+b2的值是()
A.8B.16C.2D.4
3.如果
是一个完全平方式,那么k的值是__________;
4.下列各式不是完全平方式的是()
A.x2+4x+1B.x2-2xy+y2C.x2y2+2xy+1D.m2-mn+
n2
5.把下列各式因式分解:
(1)x2–4x+4
(2)9a2+6ab+b2(3)m2–
(4)3ax2+6axy+3ay2
(5)–x2–4y2+4xy(6)
课外拓展思维训练:
1.若x2+2(m-3)x+16是完全平方式,则m=___________.
2.若a2+2a+b2-6b+10=0,则a=___________,b=___________.
4.4.1十字相乘法
一.学习准备:
(一)、解答下列两题,观察各式的特点并回答它们存在的关系
1.
(1)(x+2)(x+3)=
(2)(x-2)(x-3)=
(3)(x-2)(x+3)=(4)(x+2)(x-3)=
(5)(x+a)(x+b)=x2+()x+
2.
(1)x2+5x+6=()()
(2)x2-5x+6=()()
(3)x2+x-6=()()(4)x2-x-6=()()
(二)十字相乘法
步骤:
(1)列出常数项分解成两个因数的积的各种可能情况;
(2)尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数;
(3)将原多项式分解成
的形式。
关键:
乘积等于常数项的两个因数,它们的和是一次项系数
二次项、常数项分解竖直写,符号决定常数式,交叉相乘验中项,横向写出两因式
例如:
x2+7x+12
=(x+3)(x+4)
二.合作探究
探究一:
1.在横线上填+,-符号
(1)x2+4x+3=(x3)(x1);
(2)x2-2x-3=(x3)(x1);
(3)y2-9y+20=(y4)(y5);(4)t2+10t-56=(t4)(t14)
(5)m2+5m+4=(m4)(m1)(6)y2-2y-15=(y3)(y5)
归纳总结:
用十字相乘法把二次项系数是“1”的二次三项式分解因式时,
(1).当常数项是正数时,常数项分解的两个因数的符号是(),且这两个因数的符号与一次项的系数的符号()。
(2).当常数项是负数时,常数项分解的两个因数的符号是(),其中()的因数符号与一次项系数的符号相同。
(3)对于常数项分解的两个因数,还要看看它们的()是否等于一次项的()。
探究二:
用十字相乘法分解因式
(1)a2+7a+10
(2)y2-7y+12
(3)x2+x-20(4)x2-3xy+2y2
探究三:
因式分解:
(1)2x2-7x+3
(2)2x2+5xy+3y2
三.课堂检测
1.因式分解成(x-1)(x+2)的多项式是()
A.x2-x-2B.x2+x+2C.x2+x-2D.x2-x+2
2.若多项式x2-7x+6=(x+a)(x+b)则a=_____,b=_____。
3.
(1)x2+4x+_____=(x+3)(x+1);
(2)x2+____x-3=(x-3)(x+1);
4.因式分解:
(1)m2+7m-18
(2)x2-9x+18(3)3y2+7y-6(4)x2-7x+10
(5)x2+2x-15(6)12x2-13x+3 (7)18x2-21xy+5y2
课外拓展思维训练:
1.若(x2+y2)(x2+y2-1)=12,则x2+y2=___________.
2.已知:
,那么
的值为_____________.
3.若
是
的因式,则p为()
A、-15B、-2C、8D、2
4.多项式
的公因式是___________.