奥数最大公约数与最小公倍数例题练习及答案.docx
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奥数最大公约数与最小公倍数例题练习及答案
最大公约数与最小公倍数
(一)
教学目标:
1.通过学生对应用题的条件与问题的全面分析,培养学生发现问题和解决问题的意识。
2.通过比较与辨析,使学生进一步理解和掌握“最大公约数和最小公倍数”应用题的解题规律。
3.培养学生的合作交流意识和创新意识,发展学生的空间观念与想像力。
教学过程:
一、基本概念知识
1.公约数和最大公约数
①如果一个自然数a能被自然数b整除,那么称a为b的倍数,b为a的约数。
②如果一个自然数同时是若干个自然数的约数,那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。
在所有公约数中最大的一个公约数,称为这若干个自然数的最大公约数。
例如:
12的约数有:
1,2,3,4,6,12;
18的约数有:
1,2,3,6,9,18。
自然数
的最大公约数通常用符号(
)表示,例如,12和18的公约数有:
1,2,3,6.其中6是12和18的最大公约数,记作(12,18)=6。
(8,12)=4,(6,9,15)=3。
2.公倍数和最小公倍数
③如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数,那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。
在所有公倍数中最小的一个公倍数,称为这若干个自然数的最小公倍数。
例如:
12的倍数有:
12,24,36,48,60,72,84,…
18的倍数有:
18,36,54,72,90,…
自然数
的最小公倍数通常用符号[
]表示,例如12和18的公倍数有:
36,72,….其中36是12和18的最小公倍数,记作[12,18]=36。
[8,12]=24,[6,9,15]=90。
3.互质数
如果两个数的最大公约数是1,那么这两个数叫做互质数。
常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。
用短除法求若干个数的最大公约数与最小公倍数的区别:
求
个数的最大公约数:
(1)必须每次都用
个数的公约数去除;
(2)一直除到
个数的商互质(但不一定两两互质);
(3)
个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积。
求
个数的最小公倍数:
(1)必须先用(如果有)
个数的公约数去除,除到
个数没有除去1以外的公约数后,在用
个数的公约数去除,除到
个数没有除1以外的公约数后,再用
个数的公约数去除,如此继续下去,为保证这一条,每次所用的除数均可选质数;
(2)只要有两个数(被除数)能被同一数整除,就要继续除,一定要除到
个数的商两两互质为止;
(3)
个数的最小公倍数即为短除式中,所有除数和最后两两互质的商的乘积。
例1用60元钱可以买一级茶叶144克,或买二级茶叶180克,或买三级茶叶240克。
现将这三种茶叶分别按整克数装袋,要求每袋的价格都相等,那么每袋的价格最低是多少元钱?
分析与解:
因为144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶都是60元,分装后每袋的价格相等,所以144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶,分装的袋数应相同,即分装的袋数应是144,,240的公约数。
题目要求每袋的价格尽量低,所以分装的袋数应尽量多,应是144,,240的最大公约数。
是144,,240的最大公约数。
所以(144,,240)=2×2×3=12,即每60元的茶叶分装成12袋,每袋的价格最低是60÷12=5(元)。
例2用自然数a去除498,450,414,得到相同的余数,a最大是多少?
分析与解:
因为498,450,414除以a所得的余数相同,所以它们两两之差的公约数应能被a整除。
498-450=48,450-414=36,498-414=84。
所求数是(48,36,84)=12。
例3现有三个自然数,它们的和是1111,这样的三个自然数的公约数中,最大的可以是多少?
分析与解:
只知道三个自然数的和,不知道三个自然数具体是几,似乎无法求最大公约数。
只能从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析。
三个数的和是1111,它们的公约数一定是1111的约数。
因为1111=101×11,它的约数只能是1,11,101和1111,由于三个自然数的和是1111,所以三个自然数都小于1111,1111不可能是三个自然数的公约数,而101是可能的,比如取三个数为101,101和909。
所以所求数是101。
例4在一个30×24的方格纸上画一条对角线(见下页上图),这条对角线除两个端点外,共经过多少个格点(横线与竖线的交叉点)?
分析与解:
(30,24)=6,说明如果将方格纸横、竖都分成6份,即分成6×6个相同的矩形,那么每个矩形是由(30÷6)×(24÷6)=5×4(个)
小方格组成。
在6×6的简化图中,对角线也是它所经过的每一个矩形的对角线,所以经过5个格点(见左下图)。
在对角线所经过的每一个矩形的5×4个小方格中,对角线不经过任何格点(见右下图)。
所以,对角线共经过格点(30,24)-1=5(个)。
例5甲、乙、丙三人绕操场竞走,他们走一圈分别需要1分、1分15秒和1分30秒。
三人同时从起点出发,最少需多长时间才能再次在起点相会?
分析与解:
甲、乙、丙走一圈分别需60秒、75秒和90秒,因为要在起点相会,即三人都要走整圈数,所以需要的时间应是60,75,90的公倍数。
所求时间为[60,75,90]=900(秒)=15(分)。
例6爷爷对小明说:
“我现在的年龄是你的7倍,过几年是你的6倍,再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。
”你知道爷爷和小明现在的年龄吗?
分析与解:
爷爷和小明的年龄随着时间的推移都在变化,但他们的年龄差是保持不变的。
爷爷的年龄现在是小明的7倍,说明他们的年龄差是6的倍数;同理,他们的年龄差也是5,4,3,2,1的倍数。
由此推知,他们的年龄差是6,5,4,3,2的公倍数。
[6,5,4,3,2]=60,
爷爷和小明的年龄差是60的整数倍。
考虑到年龄的实际情况,爷爷与小明的年龄差应是60岁。
所以现在
小明的年龄=60÷(7-1)=10(岁),
爷爷的年龄=10×7=70(岁)。
二、随堂练习
最大公约数与最小公倍数
(二)
摘要:
这一讲主要讲最大公约数与最小公倍数的关系,并对最大公约数与最小公倍数的概念加以推广。
在求18与12的最大公约数与最小公倍数时,由短除法
可知,(18,12)=2×3=6,[18,12]=2×3×3×2=36。
如果把18与12的最大公约数与最小公倍数相乘,那么
(18,12)×[18,12]
=(2×3)×(2×3×3×2)
=(2×3×3)×(2×3×2)
=18×12。
也就是说,18与12的最大公约数与最小公倍数的乘积,等于18与12的乘积。
当把18,12换成其它自然数时,依然有类似的结论。
从而得出一个重要结论:
两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积,等于这两个自然数的乘积。
即,(a,b)×[a,b]=a×b。
例1两个自然数的最大公约数是6,最小公倍数是72。
已知其中一个自然数是18,求另一个自然数。
解:
由上面的结论,另一个自然数是(6×72)÷18=24。
例2两个自然数的最大公约数是7,最小公倍数是210。
这两个自然数的和是77,求这两个自然数。
分析与解:
如果将两个自然数都除以7,则原题变为:
“两个自然数的最大公约数是1,最小公倍数是30。
这两个自然数的和是11,求这两个自然数。
”
改变以后的两个数的乘积是1×30=30,和是11。
30=1×30=2×15=3×10=5×6,
由上式知,两个因数的和是11的只有5×6,且5与6互质。
因此改变后的两个数是5和6,故原来的两个自然数是
7×5=35和7×6=42。
例3已知a与b,a与c的最大公约数分别是12和15,a,b,c的最小公倍数是120,求a,b,c。
分析与解:
因为12,15都是a的约数,所以a应当是12与15的公倍数,即是[12,15]=60的倍数。
再由[a,b,c]=120知,a只能是60或120。
[a,c]=15,说明c没有质因数2,又因为[a,b,c]=120=23×3×5,所以c=15。
因为a是c的倍数,所以求a,b的问题可以简化为:
“a是60或120,(a,b)=12,[a,b]=120,求a,b。
”当a=60时, b=(a,b)×[a,b]÷a
=12×120÷60=24;当a=120时,b=(a,b)×[a,b]÷a
=12×120÷120=12。
所以a,b,c为60,24,15或120,12,15。
要将它们全部分别装入小瓶中,每个小瓶装入液体的重量相同。
问:
每瓶最多装多少千克?
分析与解:
如果三种溶液的重量都是整数,那么每瓶装的重量就是三种溶液重量的最大公约数。
现在的问题是三种溶液的重量不是整数。
要解决这个问题,可以将重量分别乘以某个数,将分数化为整数,求出数值后,再除以这个数。
为此,先求几个分母的最小公倍数,[6,4,9]=36,三种溶液的重量都乘以36后,变为150,135和80,(150,135,80)=5。
上式说明,若三种溶液分别重150,135,80千克,则每瓶最多装5千克。
可实际重量是150,135,80的1/36,所以每瓶最多装
在例4中,出现了与整数的最大公约数类似的分数问题。
为此,我们将最大公约数的概念推广到分数中。
如果若干个分数(含整数)都是某个分数的整数倍,那么称这个分数是这若干个分数的公约数。
在所有公约数中最大的一个公约数,称为这若干个分数的最大公约数。
由例4的解答,得到求一组分数的最大公约数的方法:
(1)先将各个分数化为假分数;
(2)求出各个分数的分母的最小公倍数a;
(3)求出各个分数的分子的最大公约数b;
(4)
即为所求。
例5求
,
,
的最大公约数。
类似地,我们也可以将最小公倍数的概念推广到分数中。
如果某个分数(或整数)同时是若干个分数(含整数)的整数倍,那么称这个分数是这若干个分数的公倍数。
在所有公倍数中最小的一个公倍数,称为这若干个分数的最小公倍数。
求一组分数的最小公倍数的方法:
(1)先将各个分数化为假分数;
(2)求出各个分数的分子的最小公倍数a;
(3)求出各个分数的分母的最大公约数b;
一个陷井。
它们之中谁先掉进陷井?
它掉进陷井时另一个跳了多远?
同理,黄鼠狼掉进陷井时与起点的距离为
所以黄鼠狼掉进陷井时跳了311/2÷63/10=5(次)。
黄鼠狼先掉进陷井,它掉进陷井时,狐狸跳了
专题练习
1.将72和120的乘积写成它们的最大公约数和最最小公倍数的乘积的形式。
2.两个自然数的最大公约数是12,最小公倍数是72。
满足条件的自然数有哪几组?
3.求下列各组分数的最大公约数:
4.求下列各组分数的最小公倍数:
部分别装入小瓶中,每个小瓶装入液体的重量相同。
问:
最少要装多少瓶?
于同一处只有一次,求圆形绿地的周长。
随堂练习解答
专题练习解答
1.72×120=(7,120)×[72,120]=24×360。
2.12,72与24,36两组。
提示:
72÷12=6=1×6=2×3,所以有两组:
①12×1=12,12×6=72;②12×2=24,12×3=36。
5.等于。
6.151瓶。
7.120米。