函数的应用举例.docx

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函数的应用举例

                                 函数的应用举例

一、学习目标

   1、能运用所学的函数知识、方法解决一些简单的实际问题；

   2、培养阅读理解能力、建模能力、分析问题解决问题的能力和应用数学的意识。

二、例题分析

                                    第一阶段

[例1]假设某商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系

，那么广告效应为

。

    问如何取得最大广告效应？

思路分析：

题中条件

与所求解问题无关

解：

   ∴

说明：

解应用题应避免背景的干扰，从复杂的背景中提取必要的数学关系。

[例2]有m部同样的机器一齐工作，需要m小时完成一项任务。

（1）设由x部机器（x为不大于m的正整数）

  完成同一任务，求所需时间y（小时）与机器的部数x的函数关系式；

（2）画出所求函数当m=4时的

  图像。

 思路分析：

 本题实质可看作：

己知机器的部数求所需时间y。

需要先求出每部机器单位时间内完成的工作量。

 解：

（1）一部机器一小时完成这项任务的

，x部机器一小时完成这项任务的

所以x部机器完

 成这项任务所需时间（小时）为

，其中x为不大于m的正整数。

 （3）当m=4时，

，x为1，2，3，4，对应的y值分别为16，8，

，4。

这时函数的图像

 是四个点（1，16）、（2，8）、

、（4，4），图形同学们自己作。

[例3]某人开汽车以60km/h的度从A地到150km远处的B，在B地停留1小时后，再以50km/h的速度返回A地，

  把汽车离开A地的路程x（km）表示为时间t（h）（从A地出发时开始）的函数，并画出函数的图像，再把

  车速v（km/h）表示为时间t（h）的函数，并画出函数和图像。

 思路分析：

 由题意，x与t的在三个不同的时间段有不同的关系，首先要算出这三个不同时间段。

 解：

汽车离开A地的距离x（km）与时间t（h）之间的关系式是：

 它的图像如图2-28

（1）所示

 速度v（km/h）与时间th的函数关系式是:

 它的图像如图2-28

（2）所示。

 说明：

本题为分段函数问题注意分类求解。

                                   第二阶段

[例4]某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需

  要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（  ） 

 A、5种  B、6种   C、7种  D、8种

 思路分析：

 题设共有五个条件，用字母分别表示有关量，将条件数式化，转化为不等式的有关问题。

 解：

 讨论知，（3，2），（3，3），（3，4），（4，2），（4，3），（5，2），（6，2）是该不等式符合

 条件的所有的解，故共有7故选购方式，选C。

 说明：

本题重在培养建模能力，以及分类讨论思想。

[例5]某公司拟投资100万元，有两种获利的可能可供选择：

一种是年利率10%，按单利计算，5年后收回

 本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息，哪一种投资更有利？

 这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？

 思路分析：

 这是一个单利和复利所获得收益多少的比较问题，可先按单利和复利计算5年后的本息和分别是多少，

 再通过比较作答。

 解答：

本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后的本息和是

 100×（1+10%×5）=150（万元）

 本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是  

 100×（1+9%）5=153.86（万元）

 由此可见，按年利率9%每年复利一次计算的要比年利率10%单利计算的更有利，5年后多得利息3.86万元。

[例6]1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的年平均增长率为x%，2000年底世界人口数为y（亿），那么

 y与x的函数关系式是_______

 思路分析：

该题与年份有关，可用归纳的方法求解。

 解：

因年平均增长率为x%，1993年底人口数为54.8（1+x%），1994年底人口数为54.8（1+x%）2，…，

 2000年底人口数则为54.8（1+x%）8

 应填：

y=54.8（1+x%）8

                             第三阶段

[例7]某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴，

 设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克。

根据市场调查，当8≤x≤14时，淡水鱼的

 市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系：

 P=1000（x+t－8）（x≥8，t≥0）,

 当P=Q时的市场价格叫做市场平衡价格。

（1）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数并求出函数的定义域；

（2）为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元？

 思路分析：

本题提供的基本关系比较清晰，可直接进行数式化。

 解：

   化简得：

5x2+（8t－80）x+（4t2－64t+280）=0

    当判别式△=800－16t2≥0，即

时，可得

    当△≥0，t≥0,8≤x≤14得不等式组：

①

    或

②   

 解不等式组①得

，不等式组②无解

 故所求的函数关系式为：

，定义域为

。

（2）为使t2+4t－5≥0，解得t≥1或t≤－5。

  ∵t≥0，∴t≥1，从而政府补贴至少为每千克1元。

 说明：

实际问题的定义域由所有相关的约束条件求解。

[例8]某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，己知总收益

  满足函数：

，其中x是仪器的月产量。

（1）将利润表示为月产量的函数f（x）；

（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？

最大利润为多少元？

（总收益=总成本+利润）

 思路分析：

 由己知收益=总成本+利润，知道利润=总收益－总成本。

由于R（x）是分段函数，所以f（x）也分段求出。

 分别求出f（x）在各段中的最大值，通过比较，就能确定f（x）的最大值。

 解答：

（1）设月产量为x台，则总成本为20000+100x，从而

（2）当0≤x≤400时，

，  

  ∴当x=300时，有最大值25000；

    当x>400时，f（x）=60000－100x是减函数，

   f（x）<60000－100×400<25000。

 ∴当x=300时，f（x）的最大值为25000。

 答：

每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25000元。

[例9]有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是P和Q（万元），它们与投入资金x

    （万元）的关系，有经验公式：

今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最

   大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？

能获得的最大利润是多少？

思路分析：

   首先应根据题意建立利润与投入资金之间的函数关系，求得函数解析式，然后再化为求函数最大值的

   问题。

 解答：

 设对甲种商品投资x万元，则乙种商品投资为（3－x）万元，总利润y万元，据题意有：

 令

，则x=3－t2，

。

 所以

 当

时，ymax=1.05，此时x=0.75，3－x=2.25。

 由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元，获得总利

 润为1.05万元。

三、练习题：

1、某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是

.若每台产

  品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是（ ）

  A、100台     B、120台    C、150台   D、180台

2、用长度为24m的材料围一个矩形家禽养殖场，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度

  为（ ）

   A、3    B、4    C、6    D、12

3、按复利计算储蓄利率，存入银行a万元，年利率了b%，x年后支取，本息和应为（   ）

   A、a（1+b%）x-1万元  B、a（1+b%）x万元  C、a（1+b%）x+1万元   D、a[1+（b%）x]万元

4、我国工农业总产值从1980年至2000年的20年间翻两番，设平均每年的增长率为x，则（  ）

   A.（1+x）19=4   B.（1+x）20=2  C.（1+x）20=3    D.（1+x）20=4.

5、某商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价（   ）

   A、10%   B、90%    C、11%    

6、有一批材料可以围成36m的围墙，如图，用此材料在一边靠墙的地方，围在一块矩形场地且中间用同

  样材料隔成两块矩形，试求所围矩形面积的最大值是_______。

7、摆的周期T（秒）与摆线长L（米）的平方根成正比。

设长为L米的摆的周期是2秒，做一个周期为3秒的摆，

  摆的线长是________。

8、建筑一个容积为8m2，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米为120元和80元，那

  么水池的最低造价为_______。

9、一种新型电子产品投产，计划两年后使成本降低36%，那么平均每年应降低成本（  ）

   A、18%      B、20%     C、24%       D、36%

10、某工厂同时生产两种成本不同的产品A和B，由于市场销售情况发生变化，A产品连续两次提价20%，而

   B产品连续两次分别降低20%，结果A、B两产品均以每件23.04元的价格售出，则该厂此时同时售出

   A、B产品各1件时，比原价格售出时，它的盈亏情况是（  ）

   A、不亏不盈 B、亏5.92元   C、盈5.92元  D、盈28.96元

11、某商店购进一批单价为50元的商品，若按每件60元销售，一个月能卖出600件，为了获得更大的利润，

   商店准备提高价格，若每件销售价提高1元，销售量将减少30件。

问：

如何提高销售价格能获得最大

   的利润？

一个月的最大利润是多少?

12、一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别为40cm和60cm，现要将它剪成一个矩形，并以此三角形

   的直角为矩形的一个角，问：

怎样剪，才能使剩下的残料最少?

四、参考答案：

   1—5  CAB D D

   6、108m2         

   8、1760元

   9、B

   10、B

   11、设提价x元，一个月总利润为y，则y=（60+x-50）（600-30x）=-30（x-5）2+6750.故当x=5时，即提价

      5元，获利最大。

一个月的最大利润为6750元。

   12、如右图，在直角三角形铁皮ABC中，剪出一个矩形CDEF。

设CD=x,CF=y,则AF=40-y.

       因为△AEF∽△ABC，所以

      即

       所以

       剩下残料的面积

       所以，当x=30时，S取得最小值为600，此时y=20

       故在直角三角形铁皮的两直角边中点处剪开时，剩下的残料最少，最少残料为600cm2