九年级数学第一章同步测试.docx
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九年级数学第一章同步测试
§1.2.1勾股定理
一、判断题
1.如果一个命题正确，那么它的逆命题也正确
2.定理不一定有逆定理
3.在直角三角形中，任意给出两条边的长可以求第三边的长
二、填空题
1.Rt△ABC中，∠C=90°，如图
（1），若b=5，c=13，则a=__________；若a=8，b=6，则c=__________.
2.等边△ABC，AD为它的高线，如图
（2）所示，若它的边长为2，则它的周长为__________，AD=__________，BD∶AD∶AB=__________∶__________∶__________.
（1）
（2）（3）
3.如图（3），正方形ABCD，AC为它的一条对角线，若AB=2，则AC=__________；若AC=2，则AB=__________；AC∶AB=__________∶__________.
4.如右图，△ABC中，∠A+∠C=2∠B，∠A=30°，则
∠C=__________；若AB=6，则BC=__________.
5.若直角三角形的三条边长分别是6，8，a则
（1）当6,8均为直角边时，a=__________；
（2）当8为斜边，6为直角边时，a=__________.
三、选择题
1.如右图，等腰直角△ABC，AB=2，则S△ABC等于
A.2B.1C.4D.
2.若三角形的三边分别为a,b,c，则下面四种情况中，构成直角三角形的是
A.a=2,b=3,c=4B.a=12,b=5,c=13
C.a=4,b=5,c=6D.a=7,b=18,c=17
3.如左下图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=
，DC=1，AC=
，那么AB的长度是
A.
B.27C.
D.25
4.如右上图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE=∠DEC=60°，AB=3，CE=4，则AD等于
A.48B.24C.10D.12
四、解答题
1.已知，如下图，等边三角形ABC，AD为BC边上的高线，若AB=2，求△ABC的面积.
2.已知：
如下图，△ABC中，CD⊥AB于D，AC=4，BC=3，DB=
.
（1）求DC的长；
（2）求AD的长；
（3）求AB的长；
（4）求证：
△ABC是直角三角形.
3.如右图，为修铁路需凿通隧道AC，测得∠A=50°，∠B=40°，AB=5km,BC=4km，若每天凿隧道0.3km，问几天才能把隧道凿通？
§1.2.2直角三角形全等的判定
一、填空题
1.如下图，Rt△ABC和Rt△DEF，∠C=∠F=90°
（1）若∠A=∠D，BC=EF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.
（2）若∠A=∠D，AC=DF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.
（3）若∠A=∠D，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.
（4）若AC=DF，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.
（5）若AC=DF，CB=FE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.
2.如右图，在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB=DC，∠A=∠D=
90°，AC与BD交于点O，则有△__________≌△__________，其判定依据是__________，还有△__________≌△__________，其判定依据是__________.
3.已知：
如图
（1），AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，AE=DF，AB=DC，则△__________≌△__________（HL）.
（1）
（2）（3）
4.已知：
如图
（2），BE，CF为△ABC的高，且BE=CF，BE，CF交于点H，若BC=10，FC=8，则EC=__________.
5.已知：
如图（3），AB=CD，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，且DE=BF，∠D=60°，则∠A=（__________）°.
二、选择题
1.如下图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则△AEO≌△AFO的依据是
A.HLB.AASC.SSSD.ASA
2.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，如下图，那么下列各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是
A.AB=A′B′=5，BC=B′C′=3B.AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°
C.AC=A′C′=5，BC=B′C′=3D.AC=A′C′=5，∠A=∠A′=40°
3.下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是
A.两条直角边对应相等B.有两条边对应相等
C.一条边和一锐角对应相等D.一条边和一个角对应相等
三、证明题
1.如下图，CD⊥AD，CB⊥AB，AB=AD，求证：
CD=CB.
2.已知：
如下图，CD、C′D′分别是Rt△ABC，Rt△A′B′C′斜边上的高，且CB=
C′B′，CD=C′D′.求证：
△ABC≌△A′B′C′.
3.如下图，已知∠ABC=∠ADC=90°，E是AC上一点，AB=AD，求证：
EB=ED.
§1.1.2等角对等边
一、填空题
1.如右图，已知等腰△ABC，AB=AC，若AB＞BC，则△ABC为__________角三角形.
2.已知△ABC，如右图所示，其中∠B=∠C，则_______=________.
3.等腰三角形底边上的__________，底边上的__________，顶角__________，均把它分成两个全等三角形.
4.如左下图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，DE⊥AC，则∠C=（__________）°;CE∶EA=__________.
5.如右上图，已知AD是△ABC的外角平分线，且AD∥BC，则∠1__________∠B，
∠2__________∠C，△ABC是__________三角形.
6.在△ABC中，∠A=∠B=
∠C，则△ABC是__________三角形.
二、选择题
1.如果一个三角形的一个外角是130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是
A.钝角三角形B.直角三角形
C.等腰三角形D.等边三角形
2.如右图，在△ABC中，AB=AC，∠C=2∠A，BD是∠ABC的平分线，则图中共有等腰三角形
A.1个B.2个C.3个D.4个
3.如左下图，△BDC′是将矩形ABCD，沿对角线BD折起得到的，图中（包括实线、虚线图形），共有全等三角形
A.2对B.3对
C.4对D.5对
4.如右上图，在△ABC中，∠B=∠C=40°，D，E是BC上两点，且∠ADE=∠AED=80°，则图中共有等腰三角形
A.6个B.5个C.4个D.3个
5.如右图，已知△ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，又DE∥BC，交AC于E，若DE=4cm，AE=5cm，则AC等于
A.5cmB.4cm
C.9cmD.1cm
三、解答题
1.已知，如左下图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，AE=6，求四边形AFDE的周长.
2.如右上图，DE∥BC，CG=GB，∠1=∠2，求证：
△DGE是等腰三角形.
3.如右图所示，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是D，∠A=60°.求证：
BD=3AD.
§1.1.3等边三角形的判定
一、填空题
1.已知，如右图，等腰△ABC，AB=AC：
（1）若AB=BC，则△ABC为__________三角形；
（2）若∠A=60°，则△ABC为__________三角形；
（3）若∠B=60°，则△ABC为__________三角形.
2.在线段、直角、等腰三角形、直角三角形中，成轴对称图形的是__________.
3.底与腰不等的等腰三角形有__________条对称轴，等边三角形有__________条对称轴.请你在图
（1）中作出等腰△ABC，等边△DEF的对称轴.
（1）
（2）
4.如图
（2），已知△ABC是等边三角形，AD∥BC，CD⊥AD，垂足为D、E为AC的中点，AD=DE=6cm则∠ACD=（__________）°,AC=__________cm,∠DAC=（__________）°，△ADE是__________三角形.
5.如左下图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E，如果AB=
8cm，则BD=__________cm，∠BDE=（__________）°,BE=__________cm.
6.如右上图，Rt△ABC中，∠A=30°,AB+BC=12cm，则AB=__________cm.
二、选择题
1.下列说法不正确的是
A.等边三角形只有一条对称轴
B.线段AB只有一条对称轴
C.等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线
D.等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线
2.下列命题不正确的是
A.等腰三角形的底角不能是钝角
B.等腰三角形不能是直角三角形
C.若一个三角形有三条对称轴，那么它一定是等边三角形
D.两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形
3.在Rt△ABC中，如右图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE=3.8cm，则BC等于
A.3.8cmB.7.6cm
C.11.4cmD.11.2cm
三、解答与证明
1.如下图，在△ABC中，∠A=20°，D在AB上，AD=DC，∠ACD∶
∠BCD=2∶3，求：
∠ABC的度数.
2.如下图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M与A不重合）MD⊥BC，交∠ABC的平分线于点D，求证：
MD=MA.
3.如右图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：
AE=CD.
角平分线
一、判断题
1.角的平分线上的点到角的两边的距离相等
2.到角的两边距离相等的点在角的平分线上
3.角的平分线是到角两边距离相等的点的集合
4.角平分线是角的对称轴
二、填空题
1.如图
（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE__________PF.
2.如图
（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，则∠BAP__________∠CAP.
3.如图（3），∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若AD=
，则PE=__________.
（1）
（2）（3）
4.已知，如图（4），∠AOB=60°,CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，若CD=CE，则∠COD+∠AOB=__________度.
5.如图（5），已知MP⊥OP于P，MQ⊥OQ于Q，S△DOM=6cm2，OP=3cm，则MQ=__________cm.
（4）（5）
三、选择题
1.下列各语句中，不是真命题的是A.直角都相等B.等角的补角相等
C.点P在角的平分线上D.对顶角相等
2.下列命题中是真命题的是
A.有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等B.相等的角是对顶角
C.余角相等的角互余D.两直线被第三条直线所截，截得的同位角相等
3.如左下图，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于
A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm
4.如右上图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则①△ABE≌△ACF
②△BDF≌△CDE③D在∠BAC的平分线上，以上结论中，正确的是
A.只有①B.只有②
C.只有①和②D.①，②与③
四、解答题
1.试用对称的观点分析说明线段的垂直平分线和角平分线的联系与区别.
2.如右图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD.求证：
AD平分∠BAC.
作业导航
角平分线定义、性质及作法
一、填空题
1.到一个角的两边距离相等的点都在_________.
2.∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为1.5cm，则M到OB的距离为_________.
3.如图1，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=_________.
图1图2
4.如图2，在△ABC中,∠C=90°,AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3cm，BD=5cm，则BC=_________cm.
5.如图3，已知AB、CD相交于点E，过E作∠AEC及∠AED的平分线PQ与MN，则直线MN与PQ的关系是_________.
图3
二、选择题
6.给出下列结论，正确的有（）
①到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；②角的平分线与三角形平分线都是射线；③任何一个命题都有逆命题；④假命题的逆命题一定是假命题
A.1个B.2个C.3个D.4个
7.下列结论正确的有（）
①如果（x－1）（x－2）=0，那么x=1；②在△ABC中，若∠B是钝角，则∠A、∠C一定是锐角；③如果两个角相等，那么两个角互为对顶角；④如果在一个角内的点，到这个角的两边距离相等，那么这个点在角的平分线上
A.1个B.2个C.3个D.4个
8.已知，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，则D到AB的距离为（）
A.18B.16C.14D.12
9.两个三角形有两个角对应相等，正确说法是（）
A.两个三角形全等
B.两个三角形一定不全等
C.如果还有一角相等，两三角形就全等
D.如果一对等角的角平分线相等，两三角形全等
10.如图4，OB、OC是∠AOD的任意两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON=α，∠BOC=β，则表示∠AOD的代数式为（）
图4
A.2α－βB.α－β
C.α+βD.2α
三、解答题
11.如图5，已知OE、OD分别平分∠AOB和∠BOC，若∠AOB=90°，∠EOD=70°，求∠BOC的度数.
图5
12.如图6，设相邻两个角∠AOB、∠BOC的平分线分别为OM、ON，且OM⊥ON，求证：
OA、OC成一条直线.
图6
13.如图7，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证：
AM平分∠DAB.
图7
§1.4.2三角形三条内角平分线交于一点
一、判断题
1.在同一平面内，到三角形三边距离相等的点只有一个2.在同一平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点只有一个3.三角形三条角平分线交于一点4.等腰三角形底边中点到两腰的距离相等5.三角形是以它的角平分线为对称轴的轴对称图形
二、填空题
1.如图
（1），点P为△ABC三条角平分线交点，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，则PD__________PE__________PF.
2.如图
（2），P是∠AOB平分线上任意一点，且PD=2cm，若使PE=2cm，则PE与OB的关系是__________.
3.如图（3），CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F，FG⊥AB，垂足为G，则CF__________FG，∠1+∠3=__________度，∠2+∠4=__________度，∠3__________∠4，CE__________CF.
（1）
（2）（3）
4.如右图，E、D分别是AB、AC上的一点，∠EBC、∠BCD的角平分线交于点M，∠BED、∠EDC的角平分线交于N.
求证：
A、M、N在一条直线上.
证明：
过点N作NF⊥AB，NH⊥ED，NK⊥AC
过点M作MJ⊥BC，MP⊥AB，MQ⊥AC
∵EN平分∠BED，DN平分∠EDC
∴NF__________NH，NH__________NK
∴NF__________NK
∴N在∠A的平分线上
又∵BM平分∠ABC，CM平分∠ACB
∴__________=__________，__________=__________
∴__________=__________
∴M在∠A的__________上
∴M、N都在∠A的__________上
∴A、M、N在一条直线上
三、作图题
1.利用角平分线的性质，找到△ABC内部距三边距离相等的点.
2.在右图△ABC所在平面中，找到距三边所在直线距离相等的点.
3.如下图，一个工厂在公路西侧，在河的南岸，工厂到公路的距离与到河岸的距离相等，且与河上公路桥南首（点A）的距离为300米.请用量角器和刻度尺在图中标出工厂的位置.
四、解答题
已知：
如下图在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，求：
D到AB边的距离.
单元测试
班级：
__________________姓名：
___________________得分：
_____________________
一、填空题
1.一个等腰三角形有一角是70°，则其余两角分别为_________.
2.一个等腰三角形的两边长为5和8，则此三角形的周长为_________.
3.如图1，△ABC中，∠C=90°，AM平分∠CAB，CM=20cm，则点M到AB的距离是_________.
图1图2
4.如图2，等边△ABC中，F是AB中点，EF⊥AC于E，若△ABC的边长为10，则AE=_________，AE∶EC=_________.
5.如图3，△ABC中，DE垂直平分BC，垂足为E，交AB于D，若AB=10cm，AC=6cm，则△ACD的周长为_________.
图3图4
6.如图4，∠C=90°，∠ABC=75°，∠CDB=30°，若BC=3cm，则AD=_________cm.
7.如图5，B在AC上，D在CE上，AD=BD=BC，∠ACE=25°，∠ADE=_________.
图5图6
8.等腰直角三角形一条边长是1cm，那么它斜边上的高是_________cm.
9.如图6，在∠AOB的两边OA、OB上分别取OQ=OP，OT=OS，PT和QS相交于点C，则图中共有_________对全等三角形.
10.等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是________________，这个逆命题是_________命题.
11.三角形三边分别为a、b、c，且a2－bc=a（b－c），则这个三角形（按边分类）一定是_________三角形.
二、选择题
12.等边三角形的高为2
，则它的边长为（）
A.4B.3C.2D.5
13.等腰三角形的顶角是n°，那么它的一腰上的高与底边的夹角等于（）
A.
B.90－
C.
D.90°－n°
14.下列由线段a、b、c组成的三角形，不是直角三角形的是（）
A.a=3，b=4，c=5B.a=1，b=
，c=
C.a=9，b=12，c=15D.a=
，b=2，c=
15.直角三角形的三边长为连续自然数，则它的面积为（）
A.6B.7.5C.10D.12
16.△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最小边BC=4cm，最长边AB的长是（）
A.5cmB.6cmC.
cmD.8cm
17.如图7，△ABC中，AB=AC，BC=BD，AD=DE=EB，则∠A的度数为（）
图7
A.55°B.45°C.36°D.30°
18.等腰△ABC中，AC=2BC，周长为60，则BC的长为（）
A.15B.12
C.15或12D.以上都不正确
19.直角三角形两直角边分别是5cm、12cm，其斜边上的高是（）
A.13cmB.
cm
C.
cmD.9cm
20.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为30和20，则以斜边为边长的正方形的面积为（）
A.25B.50C.100D.60
21.等腰三角形的底边为a，顶角是底角的4倍，则腰上的高是（）
A.
aB.
aC.
aD.
a
22.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形一定是（）
A.等腰三角形B.等边三角形
C.等腰直角三角形D.直角三角形
23.等腰三角形ABC中，∠A=120°，BC中点为D，过D作DE⊥AB于E，AE=4cm，则AD等于（）
A.8cmB.7cmC.6cmD.4cm
24.下列说法中，正确的是（）
A.两边及一对角对应相等的两个三角形全等
B.有一边对应相等的两个等腰三角形全等
C.两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
D.两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等
25.如图8，AB⊥CD，△ABD、△BCE都是等腰三角形，如果CD=8，BE=3，那么AC长为（）
图8
A.8B.5C.3D.
26.将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼成下图9，其中两条长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（）
图9
A.4B.3C.2D.1
27.下列定理中逆定理不存在的是（）
A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等
B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等
C.同位角相等，两直线平行
D.全等三角形的对应角相等
*28.已知一个直角三角形的周长是4+2
，斜边上中线长为2，则这个三角形的面积为（）
A.5B.2C.
D.1
三、解答题
29.已知：
如图10，AB=AC，DE∥AC，求证：
△DBE是等腰三角形.
图10
30.已知：
如图11，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAD=
∠BAC，过点D作DE⊥AB，DE恰好是∠ADB的平分线，求证：
CD=
DB.
图11
31.已知三角形的三边分别是n2+n，n+
和n2+n+
（n＞0），求证：
这个三角形是直角三角形.
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