普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学试题解析版.docx

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普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学试题解析版

2021年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（八省联考）数学试题

学校:

姓名：

班级：

考号：

一、单选题

1.已知均为R的子集，且则Mu（CrN）=（）

A.0B.Mc.ND.R

【答案】B

【分析】

由题意利用集合的包含关系或者画出Venn图，结合Venn图即可确定集合的运算结果.

【详解】

解法一：

•••IrMgNajN,据此可得.•.MU（QN）=M.

故选：

B.

解法二：

如图所示，设矩形ABCD表示全集/?

矩形区域ABHE表示集合M,则矩形区域CDEH表示集合,

矩形区域CDFG表示集合N,满足QMuN,

结合图形可得：

mu（©n）=m.

故选：

B.

AFEd

BGHC

2.在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，毎人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为（）

1112

A.—B.-C.-D•—

6323

【答案】C

【分析】由题意列出所有可能的结果，然后利用古典概型计算公式即可求得满足题意的概率值.

【详解】

设三位同学分别为A,5C,他们的学号分别为1,2,3,

用有序实数列表示三人拿到的卡片种类，女0（1,3,2）表示A同学拿到1号，〃同学拿到3号，C同学拿到2号.

三人可能拿到的卡片结果为:

（1,2,3）,（1,3,2）,（厶1,3）,（2,3,1）,（3,1,2）,（3,2,1）,共6种，

其中满足题意的结果有（1,3,2）,（2,1,3）,（3,2,1）,共3种,

31

结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：

P=~=~-

62

故选：

C.

【点睛】

方法点睛：

有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数.

（1）基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列岀时，要做到不重复、不遗漏.

（2）注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.

3.关于x的方程x'+ax+Z?

=O,有下列四个命题：

甲：

兀=1是该方程的根；乙：

x=3是该方程的根；丙：

该方程两根之和为2；T：

该方程两根异号.如果只有一个假命题，则该命题是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】A

【分析】

对甲、乙、丙、丁分别是假命题进行分类讨论，分析各种情况下方程x2+ax+b=0的两根，进而可得出结论.

【详解】

若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，则关于X的方程x2+cix+b=0的一根为3，

由于两根之和为2,则该方程的另一根为-1，两根异号，合乎题意：

若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，则x=l是方程x2+ax+b=0的一根，

由于两根之和为2,则另一根也为1，两根同号，不合乎题意；

若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，则关于x的方程x2+cix+b=0的两根为1和3,两根同号，不合乎题意；

若丁是假命题，则甲乙丙是真命题，则关于x的方程x2+cix+b=0的两根为1和3,两根之和为4,不合乎题意.

综上所述，甲命题为假命题.

故选：

A.

【点睹】

关键点点睹：

本题考查命题真假的判断，解题的关键就是对甲、乙、丙、丁分别是假命题进行分类讨论，结合已知条件求出方程的两根，再结合各命题的真假进行判断.

22

4.椭圆+二=1（加>0）的焦点为人、上顶点为儿若,则〃广+1nr3

川=（）

A.1B.72C.筋D.2

【答案】C

【分析】

分析岀△FxAF2为等边三角形，可得岀d=2c,进而可得出关于加的等式，即可解得川的值.

【详解】

22

在椭圆——+—^=1（/?

/>0）中，a=J加2+1,b=tn,c=\la2-b2=1♦nr+1nr'''

如下图所示：

因为椭圆，一+丄1=1（加＞0）的上顶点为点A,焦点为耳、F-所以nr+1nr

\AFt\=\AF2\=a,

•・•ZF{AF2=彳，.•.△F/巧为等边三角形，则引=|£爲|,即=d=2c=2，因此♦m=・

故选：

C.

5・已知单位向量a,方满足a-b=0>若向量c=y/la+y/2b,则sin〈a,c〉=（）

、.卫

3

【答案】B

【分析】

一一ac

本题借助COS〈d,C〉=将2=丁方+冋代入化简即可.

a・c

7a2+2b=3・

因为c=J7a+\[2b,所以”|=|J7a+>/2/?

|=+=（7a

I4FI

所以cos〈丽=凹=冋屁+姮）L仰f+屈J匹=◎

故选：

B.

6.（1+才+（1+才+..+（1+才的展开式中F的系数是（）

A.60B.80C.84D.120

【答案】D

【分析】

（1+打+（1+才+…+（i+才的展开式中/的系数是c；+c；+U+…+U，借助

组合公式：

c：

异+c：

=C；；：

逐一计算即可.

【详解】

（l+x）2+（l+x）'+…+（l+xj，的展开式中/的系数是c；+C；+Cj+・・・+C：

因为c；「+C；=C阳且c；=c；,所以c；+c；=c：

+c；=c：

所以C£+C；+C；=c：

+c；=c；,

以此类推，C；+C；+U+…+&=（+€；；=©=学兰=120.

3x2x1

故选：

D.

【点睛】

本题关键点在于使用组合公式：

C：

"+C：

=C；；l,以达到简化运算的作用.

7.已知抛物线r=2/u±三点4（2,2）,B,C,直线AB.AC是圆（x-2）2+y2=169两条切线，则直线BC的方程为（）

A.x+2y+l=0B.3x+6y+4=0

C.2x+6y+3=0D.x+3y+2=0

【答案】B

【分析】

先利用点A（2,2）求抛物线方程，利用相切关系求切线AB,AC,再分别联立直线和抛物线求出点B、C,即求出直线BC方程.

【详解】

A⑵2）在抛物线），=2以上，故22=2/?

x2,即p=l,抛物线方程为y2=2x,设过点4（2,2）与圆（x-2）2+y2=HH切的直线的方程为：

y-2=k（x-2）,即kx-y+2-2k=0t则圆心（2,0）到切线的距离〃_：

）：

2_2口=〔,解得

W+1

k=±\/3»如图，直线A3：

y—2=^/5（兀—2）,直线AC:

y—2=—>/5（x—2）.

联立

y-2=^（.r-2）,得3^+（473-14）x+16-8>/3=0,

y"=2x

故W厂耳5,由/2得心=害L故儿=迸二仝

联立

y-2=^（x-2）,得3宀（4石+14卜+16+朋=0,y=2x

故w厂吐逼，由心=2得乞=匕婕，故yc=~2^~6

故*+*=23二°+二2力Z6=r,又由B,C在抛物线上可知,

故选：

B.

【点睛】

方法点睛：

求圆的切线的方程的求法：

（1）几何法：

设直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径构建关系求出参数，即得方程；

（2）代数法：

设直线的方程，联立直线与圆的方程，使判别式等于零解出参数，即可得方程.

&已知a<5且bv4且be4=4e'\c<3且ce'=3e",则（）

A.c

【答案】D

【分析】

令/（%）=—,x>0,利用导数研究其单调性后可得",b,c的大小.

X

【详解】

皆1）

因为«e5=5ea,a<5,故d>0,同理b>0,c>0,令f（x）=—,x>0.则/'（x）=

当0vxv1时，广（x）vO,当X>1时，广（力>0,

故/（X）在（0,1）为减函数，在（1,+兀）为增函数，

5a

因为^/e5=5e%d<5,故二=二，即/（5）=/（«）,而0

故Ovdvl,同理0

）,/（3）=/（c）

因为/（5）

）

所以0

故选：

D.

【点睛】

思路点睛：

导数背景下的大小比较问题，应根据代数式的特征合理构建函数，再利用导数讨论其单调性，此类问题，代数式变形很关键.

二、多选题

9.已知函数/（x）=xln（l+x）,则（）

A.f（x）在（0,+s）单调递增

B./（X）有两个零点

C.

D.f（x）是偶函数

【答案】AC

【分析】

根据函数的左义域可判断D,利用函数的导数的正负可判断A,利用导数的几何意义可判断C,根据函数值的情况及零点泄义可判断B.

【详解】

由f（x）=xln（l+x）知函数的定义域为（一1,2）,

X

f\x）=ln（l+x）+——,

\+x

X

当xe（O,+00）时，ln（l+x）>0、——>0,f\x）>0,

\+x

故/（X）在（0,+oc）单调递增，A正确；由/（0）=0,当一10,

当ln（l+x）>0,/（x）>0,所以八x）只有0—个零点，B错误：

线的斜率为-l-ln2,C正确;

由函数的泄义域为（-1,乜），不关于原点对称知，/tv）不是偶函数，D错误.

故选：

AC

【点睛】

关键点点睛：

解决本题时，利用函数的导数判断函数的增减性，利用导数的几何意义求

切线的斜率，属于中档题.

10-设召，3Z3为复数，勺H0.下列命题中正确的是（）

A.若|^2|=|z3h则Z?

=±Z3B・若勺Z2=Z]Z3,则5=5

C.若Z2=23,则D・若翠2=#『，则勺=zz

【答案】BC

【分析】

取特殊值法可判断AD错误，根据复数的运算及复数模的性质可判断BC.

【详解】

由复数模的概念可知,|z2|=|^|不能得到乙2=±?

3,例如S=l+i,Z3=l-i,A错

误：

由Z忆2=Z]?

3可得召（。

一23）=0,因为所以z2-z3=09即5=5、B正确:

因为|孕2|=1©11乙21，而Z2=Z3,所以IZ21=1Z3HZ21>所以|可勺|=|z詡'C正确;

取©=l+f,z2=\-i,显然满足Z]Z2=|z『，但勺HZ2,D错误.

故选：

BC

11.下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（）

A.AE//CDB.CH//BEC.DG丄BHD.BG丄DE

【答案】BCD

【分析】

由平而展开图还原为正方体，根据正方体性质即可求解.

【详解】

由正方体的平而展开图还原正方体如图，

由图形可知，

AELCD，故A错误：

由HEHBC、HE=BC.四边形BCHE为平行四边形，所以CH//BE,故B正确:

因为DG丄HC,DG丄3C,HCp|BC=C，所以DG丄平而BHC,所以DG丄BH■故C正确：

因为BG//AH,而DE丄AH,所以丄DE,故D正确.

故选：

BCD

【答案】AD

【分析】

先证明/U）为周期函数，周期为兀，从而A正确，再利用辅助角公式可判断B的正误,结合导数的符号可判断CD的正误.

【详解】