奥数常见裂项法经典裂项试题和裂项公式.docx

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奥数常见裂项法经典裂项试题和裂项公式

奥数常见裂项法、经典裂项试题和裂项公式

奥数常见裂项法、经典裂项试题和裂项公式

1、

2、

3、对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a＜b，那么有:

4、对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即有：

5、

6、

7、

8、

9、

10、

11、

12.求和：

证：

13.求和：

证：

14.求和：

证：

15.求和：

证：

16.求和：

证：

因为，

17、

18、

19、

20、

21、

22、

23、

24、

【典型例题】

例1.计算：

分析与解答：

上面12个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这一来问题解起来就十分方便了。

像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。

例2.计算：

公式的变式

当分别取1，2，3，……，100时，就有

例3.设符号（）、<>代表不同的自然数，问算式中这两个符号所代表的数的数的积是多少？

分析与解：

减法是加法的逆运算，就变成，与前面提到的等式相联系，便可找到一组解，即

另外一种方法

设都是自然数，且，当时，利用上面的变加为减的想法，得算式。

这里是个单位分数，所以一定大于零，假定，则，代入上式得，即。

又因为是自然数，所以一定能整除，即是的约数，有个就有个，这一来我们便得到一个比更广泛的等式，即当，，是的约数时，一定有，即

上面指出当，，是的约数时，一定有，这里，36共有1，2，3，4，6，9，12，18，36九个约数。

当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

故（）和<>所代表的两数和分别为49，32，27，25。

【模拟试题】（答题时间：

20分钟）

二.尝试体验：

1.计算：

2.计算：

3.已知是互不相等的自然数，当时，求。

【试题答案】

1.计算：

2.计算：

3.已知是互不相等的自然数，当时，求。

的值为：

75，81，96，121，147，200，361。

因为18的约数有1，2，3，6，9，18，共6个，所以有

还有别的解法。

裂项法【典型例题】

例1.

分析与解：

此题如按异分母加法法则来求和，计算量太大，下面用裂项法试一试。

下面我们用，现在给、一些具体的值，看看有什么结果。

当时，有

当时，有

当时，有

……

当时，有

当时，有

上面这998个等式左边的分数，其分母分别与题目中各加数的分母一样，只是分子是2不是1，但是很容易将题目中各数的分子变为2，例如，……，这样采用裂项法也能较快求出结果来。

因为，……，，

所以

例2.

因为

所以

同样可得

一般地，因为

这里是任意一个自然数。

利用这一等式，采用裂项法便能较快地求出例2的结果。

例3.计算：

分析与解：

而

即

连续使用上面两个等式，便可求出结果来。

【模拟试题】（答题时间：

15分钟）

二.尝试体验

1.求和：

2.求和：

3.求和：

【试题答案】

1.求和：

2.求和：

3.求和：