学年北京市海淀区北京一零一中学高一下学期期末考试数学试题.docx
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学年北京市海淀区北京一零一中学高一下学期期末考试数学试题
北京101中学2018-2019学年下学期高一年级期末考试
数学试卷
★祝考试顺利★
注意事项:
1、答题前,请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答:
每个小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
3、主观题的作答:
用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4、选考题的作答:
先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
5、保持卡面清洁,不折叠,不破损,不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
6、考试结束后,请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题:
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1.不等式>0的解集是()
A.(-,0)(1,+)B.(-,0)
C.(1,+)D.(0,1)
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意可得,,求解即可.
【详解】,解得或,故解集为(-,0)(1,+),故选A.
【点睛】本题考查了分式不等式的解法,考查了计算能力,属于基础题.
2.如图,长方体的体积为,E为棱上的点,且,三棱锥E-BCD的体积为,则=()
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分别求出长方体和三棱锥E-BCD的体积,即可求出答案.
【详解】由题意,,
,
则.
故选D.
【点睛】本题考查了长方体与三棱锥的体积的计算,考查了学生的计算能力,属于基础题.
3.如图,在平行六面体中,M,N分别是所在棱的中点,则MN与平面的位置关系是()
A.MN平面
B.MN与平面相交
C.MN平面
D.无法确定MN与平面的位置关系
【答案】C
【解析】
【分析】
取的中点,连结,可证明平面平面,由于平面,可知平面.
【详解】取的中点,连结,显然,
因为平面,平面,
所以平面,平面,
又,
故平面平面,
又因为平面,所以平面.
故选C.
【点睛】本题考查了直线与平面的位置关系,考查了线面平行、面面平行的证明,属于基础题.
4.已知x,y∈R,且x>y>0,则()
A.B.
C.D.lnx+lny>0
【答案】A
【解析】
【分析】
结合选项逐个分析,可选出答案.
【详解】结合x,y∈R,且x>y>0,对选项逐个分析:
对于选项A,,,故A正确;
对于选项B,取,,则,故B不正确;
对于选项C,,故C错误;
对于选项D,,当时,,故D不正确.
故选A.
【点睛】本题考查了不等式的性质,属于基础题.
5.等比数列{an}中,Tn表示前n项的积,若T5=1,则( )
A.a1=1B.a3=1C.a4=1D.a5=1
【答案】B
【解析】
分析:
由题意知,由此可知,所以一定有.
详解
,.
故选:
B.
点睛:
本题考查数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答.
6.设,为两个平面,则能断定∥的条件是()
A.内有无数条直线与平行B.,平行于同一条直线
C.,垂直于同一条直线D.,垂直于同一平面
【答案】C
【解析】
【分析】
对四个选项逐个分析,可得出答案.
【详解】对于选项A,当,相交于直线时,内有无数条直线与平行,即A错误;
对于选项B,当,相交于直线时,存在直线满足:
既与平行又不在两平面内,该直线平行于,,故B错误;
对于选项C,设直线AB垂直于,平面,垂足分别A,B,假设与不平行,设其中一个交点为C,则三角形ABC中,,显然不可能成立,即假设不成立,故与平行,故C正确;
对于选项D,,垂直于同一平面,与可能平行也可能相交,故D错误.
【点睛】本题考查了面面平行的判断,考查了学生的空间想象能力,属于中档题.
7.如图,A,B是半径为1的圆周上的定点,P为圆周上的动点,∠APB是锐角,大小为.图中△PAB的面积的最大值为()
A.+sin2B.sin+sin2
C.+sinD.+cos
【答案】B
【解析】
【分析】
由正弦定理可得,,则,,当点在的中垂线上时,取得最大值,此时的面积最大,求解即可.
【详解】在中,由正弦定理可得,,则.
,当点在的中垂线上时,取得最大值,此时的面积最大.
取的中点,过点作的垂线,交圆于点,取圆心为,则(为锐角),.
所以的面积最大为.
故选B.
【点睛】本题考查了三角形的面积的计算、正弦定理的应用,考查了三角函数的化简,考查了计算能力,属于基础题.
8.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°.则球O的体积为()
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】
计算可知三棱锥P-ABC的三条侧棱互相垂直,可得球O是以PA为棱的正方体的外接球,球的直径,即可求出球O的体积.
【详解】在△PAC中,设,,,,
因为点E,F分别是PA,AB的中点,所以,
在△PAC中,,
在△EAC中,,
整理得,
因为△ABC是边长为的正三角形,所以,
又因为∠CEF=90°,所以,
所以,
所以.
又因为△ABC是边长为的正三角形,
所以PA,PB,PC两两垂直,
则球O是以PA为棱的正方体的外接球,
则球的直径,
所以外接球O的体积为.
故选D.
【点睛】本题考查了三棱锥的外接球,考查了学生的空间想象能力,属于中档题.
二、填空题。
9.设等差数列的前项和为,若,,则的值为______.
【答案】-6
【解析】
【分析】
由题意可得,求解即可.
【详解】因为等差数列前项和为,,
所以由等差数列的通项公式与求和公式可得
解得.故答案为-6.
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式,考查了学生的计算能力,属于基础题.
10.的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinA+acosB=0,则B=___________.
【答案】.
【解析】
【分析】
先根据正弦定理把边化为角,结合角的范围可得.
【详解】由正弦定理,得.,得,即,故选D.
【点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式,渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取定理法,利用转化与化归思想解题.忽视三角形内角的范围致误,三角形内角均在范围内,化边为角,结合三角函数的恒等变化求角.
11.已知正实数x,y满足2x+y=2,则xy的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
由基本不等式可得,可求出xy的最大值.
【详解】因为,所以,
故,当且仅当时,取等号.
故答案为.
点睛】利用基本不等式求最值必须具备三个条件:
①各项都正数;
②和(或积)为定值;
③等号取得的条件.
12.将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起,使平面ACD⊥平面ABC,则折起后B,D两点的距离为________.
【答案】1.
【解析】
【分析】
取AC的中点E,连结DE,BE,可知DE⊥AC,由平面ACD⊥平面ABC,可得DE⊥平面ABC,DE⊥BE,而,再结合ABCD是正方形可求出.
【详解】取AC的中点E,连结DE,BE,显然DE⊥AC,
因为平面ACD⊥平面ABC,所以DE⊥平面ABC,
所以DE⊥BE,而,
所以,.
【点睛】本题考查了空间中两点间的距离,把空间角转化为平面角是解决本题的关键.
13.已知四棱锥的底面是边长为的正方形,侧棱长均为,若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的侧面积为________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求出四棱锥的底面对角线的长度,结合勾股定理可求出四棱锥的高,然后由圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,可知四条侧棱的中点连线为正方形,其对角线为圆柱底面的直径,圆柱的高为四棱锥的高的一半,分别求解可求出圆柱的侧面积.
【详解】由题可知,四棱锥是正四棱锥,
四棱锥的四条侧棱的中点连线为正方形,边长为,
该正方形对角线的长为1,则圆柱的底面半径为,
四棱锥的底面是边长为的正方形,其对角线长为2,则四棱锥的高为,
故圆柱的高为1,所以圆柱的侧面积为.
【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征,考查了学生的空间想象能力与计算求解能力,属于中档题.
14.中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体的所有棱长和为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
取半正多面体的截面正八边形,设半正多面体的棱长为,过分别作于,于,可知,,可求出半正多面体的棱长及所有棱长和.
【详解】取半正多面体的截面正八边形,由正方体的棱长为1,可知,易知,设半正多面体的棱长为,过分别作于,于,则,,解得,故该半正多面体的所有棱长和为.
【点睛】本题考查了空间几何体的结构,考查了空间想象能力与计算求解能力,属于中档题.
三、解答题:
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
15.正四棱锥S-ABCD的底面边长为2,侧棱长为x.
(1)求出其表面积S(x)和体积V(x);
(2)设,求出函数的定义域,并判断其单调性(无需证明).
【答案】
(1),;
(2)x>,是减函数.
【解析】
【分析】
(1)画出图形,分别求出四棱锥的高,及侧面的高的表达式,即可求出表面积与体积的表达式;
(2)结合表达式,可求出的范围,即定义域,然后判断其为减函数.
【详解】
(1)过点作平面的垂线,垂足为,取的中点,连结,
因为为正四棱锥,所以,,,
,
所以四棱锥的表面积为,
体积.
(2),解得,
是减函数.
【点睛】本题考查了四棱锥的结构特征,考查了表面积与体积的计算,考查了学生的空间想象能力与计算能力,属于中档题.
16.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知,.
(1)求的值;
(2)求的值.
【答案】
(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)由正弦定理,可得,,结合,可得,由余弦定理可得出答案;
(2)由,可求出,进而求出的值,将展开可求出结果.
【详解】
(1)由正弦定理,则,所以,而,则.
.
(2)因为,所以,
所以,.
.
【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用,考查了三角函数的恒等变换,属于基础题.
17.如图,在四棱锥中,平面ABCD,底部ABCD为菱形,E为CD的中点.
(Ⅰ)求证:
BD⊥平面PAC;
(Ⅱ)若∠ABC=60°,求证:
平面PAB⊥平面PAE;
(Ⅲ)棱PB上是否存在点F,使得CF∥平面PAE?
说明理由.
【答案】(Ⅰ)见解析;
(Ⅱ)见解析;
(Ⅲ)见解析
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论;
(Ⅱ)由几何体的空间结构特征首先证得线面垂