大学高数下册试题及答案第11章.docx
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大学高数下册试题及答案第11章
大学高数下册试题及答案,第11章
第十一章无穷级数作业29方程项级数的概念和性质1．按估测定义判断下列级数的敛散性，若收敛，并求其和：
（1）；
解：
因为所以因此由假定可知该级数收敛
（2）；
解：
因为所以，因此由定义可知该级数发散（3）；
解：
因为所以，因此由定义可知该指数函数收敛（4）；
解：
因为，依次重复所以，，不存在因此由定义可知该级数发散2．利用基本性质判别下列级数的敛散性：
（1）；
解：
观察发现该级数为，是发散的调和级数每项乘以得到的，由级数的基本性质，该级数发散
（2）；
解：
观察寻获该级数为，是收敛的二个等比级数，逐项相加得到的，由级数的基本上性质，该级数收敛（3）；
解：
观察发现该级数为，是收敛的等比级数与发散的逐项相加的，由连分数的基本性质，该级数发散（4）．解：
观察发现该级数一般项为，但由行列式收敛的必要条件，该级数发散作业30正十项级数及其收敛性1．用比较判别法（或定理2的推论）判定下列级数的敛散性：
（1）；
解：
由于，而是闭合的等比级数从而由比较判别法，该级数收敛
（2）．解：
由于，而是闭合的等比级数从而由比较判别法的极限刑事法形式，该级数收敛2．用达朗贝尔判别法判定下列级数的敛散性：
（1）；
解：
由于，从而由达朗贝尔判别法及，该级数收敛
（2）；
解：
由于，从而由达朗贝尔判别法，该级数收敛（3）；
解：
由于，从而由达朗贝尔判别刑事法，该级数收敛（4）．解：
由于，从而由达朗贝尔判别刑事法，该级数收敛3．用柯西判别法判定下列级数的敛散性：
（1）；
解：
由于，从而由柯西解析法，该级数收敛
（2）．解：
由于，从而由柯西解析法，该级数收敛4．用判别法断定下列级数的敛散性：
（1）；
解：
由于，而为的发散的有理数，从而由判别法，该级数发散
（2）．解：
由于，而为的发散的有理数，从而由判别法，该级数发散5．设为正整数，证明：
（1）；
解：
对来说，由于，从而由达朗贝尔假定法，该级数收敛再行由级数收敛的发散必要条件可知
（2）．解：
对来说，由于，从而由达朗贝尔假定法，该级数收敛再行由级数收敛的发散必要条件可知，从而由无穷大量与量子场论的关系作业31渐变级数与任意项级数的收敛性1．判别下列级数的敛散性；
若收敛，说明是条件收敛还是绝对收敛：
（1）；
解：
该级数为交错级数，其一般项的自变量为单调减少，且，从而由莱布尼茨判别法知其收敛再由于，由判别法知发散，从而原级数不会绝对收敛，只有条件收敛
（2）；
解：
由于，由判别法知，绝对收敛（3）；
解：
由于不存在，由趋近级数的必要条件，从而该级数发散（4）；
解：
由于，从而由达朗贝尔判别法，该级数绝对收敛（5）．解：
当时显然收敛，否则，当时由达朗贝尔判别法，从而该级数绝对收敛，其时级数变为发散当时级数变为有理分式7．若存在，证明绝对收敛．证明：
由已知从而绝对收敛．8．若级数绝对收敛，且，试证：
级数和都收敛．级数是否收敛？
为什么？
证明：
若级数绝对收敛，则必收敛，由必要条件由，从而级数和即使有意义，而，从而级数和都收敛。
级数发散，因为，收敛的必要条件不满足。
作业32幂级数及其求和1．求下列幂级数的收敛半径和收敛域：
（1）；
解：
当时即为条件收敛，从而收敛域为
（2）；
解：
当时即为，由于从而级数收敛，因此收敛域为（3）；
解：
当时，当时幂级数即为，由于从而级数弥散当时幂级数即为，由于且从而级数收敛。
因此收敛域当时当时，当时即为即为，由于从而级数弥散，从而当时收敛域为（4）；
解：
当时即为条件收敛，从而收敛域为（5）；
解：
因此收敛域为（6）．解：
对于，当时即为有理分式，当时即为发散，从而现级数的收敛半径为1，收敛域为2．求上述幂级数的收敛域回撤及其和函数：
（1）；
解：
当时，即为条件收敛，当时即为发散，从而幂级数的收敛闭包为设，则从而故
（2）；
解：
当时，即为发散，从而幂级数的趋近域为故，（3）．解：
从而幂级数的发散域为设，则，，由特征方程，得通解再由得特解（4），并求数项级数的和．解：
，当时发散，从而幂级数的发散域为设，则，作业33函数积极展开成幂级数1．将下列函数展开成麦克劳林级数（要指出其创设的区间）：
（1）；
解：
（2）；
解：
（3）；
解：
（4）（提示：
利用）；
解：
，（5）．解：
2．将前述函数展开成的幂级数（要指出其成立山手线）：
（1）；
解：
（2）．解：
3．求下列算子的幂级数展开式，并确定其成立各站：
（1）；
解：
（2）．解：
4．展开为的幂级数，并证明：
．解：
从而作业34傅里叶级数1．下列周期函数的周期为，它在表达式一个周期上的运算子列举如下，试求的正弦级数展开式．
（1）；
解：
（2）；
解：
（3）；
解：
（4）．解：
2．将下列函数展开成傅里叶不等式：
（1）；
解：
（2）；
解：
3．将各函数分别展开成正弦级数和余弦级数：
（1）解：
展开成正弦级数，则作奇延拓，展开成余弦级数，则作偶延拓，，
（2）解：
展开成正弦级数，则作奇延拓，展开转变成余弦级数则，作偶延拓，，作业35一般周期函数的傅里叶不等式1．设是周期为6的周期函数，它在上的表达式为试求的傅里叶展开式．解：
2．在指定区间上展开下列函数上用为指数函数级数：
解：
取作周期延拖在限定方能，函数为偶函数，故时时3．将函数数列分别展开成正弦级数和余弦级数．解：
展开成正弦级数，则作奇延拓，展开成余弦级数，则作偶延拓，，4．试将函数展开成周期为8的正弦级数．解：
展开成正弦级数，则作奇延拓，，第十一章《无穷级数》测试题1．选择题：
（1）对级数，“”是它收敛的B条件．A．充分；
B．必要；
C．充要；
D．非充分且非必要．
（2）“部分和数列有界”是正项级数收敛的C条件．A．充分；
B．必要；
C．充要；
D．非充分且非必要．（3）若级数绝对收敛，则级数必定A．A．收敛；
B．发散；
C．绝对收敛；
D．条件收敛．（4）若级数条件收敛，则级数必定B．A．收敛；
B．发散；
C．绝对收敛；
D．条件收敛．2．用适当的方法判定下列级数的敛散性：
（1）；
解：
因为从而该正项级数弥散
（2）；
解：
因为从而该正项级数收敛（3）；
解：
因为从而该正项行列式收敛（4）；
解：
因为从而该正项有理数收敛（5）；
解：
因为从而该正项级数发散（6）；
解：
因为从而该正项级数发散（7）；
解：
因为从而该正项级数卷曲（8）；
解：
设，则而，时，从而收敛的必要条件满足。
设，则同理可以推出而的级数收敛，从而原正项级数也收敛（9），其中均为正数，且；
解：
用柯西判别法当时发散，当时该正项级数收敛当时不能判别敛散性。
（10）．解：
由积分中值定理，从而有比较判别法收敛3．推论下列级数的敛散性；
若收敛，说明是条件收敛还是绝对收敛：
（1）；
解：
令，则时从而单碟减少，又从而以来布尼茨判别法收敛但是，因此是毛序条件收敛而不能绝对收敛
（2）；
解：
从而该级数是交错级数，由于单碟减少且从而以来布尼茨判别法收敛但是，因此是条件收敛而不能绝对收敛（3）；
解：
因为从而该级数即使收敛（4）．解：
去掉前面有限项即当多余大时为交错级数，由于，对足够大点的单碟减少且从而以来布尼茨判别法收敛但不绝对收敛4．求下列极限：
（1）；
解：
由于单调增加且从而因此由夹逼准则
（2）．解：
令，由于看从而，因此5．求下列幂级数的收敛倾角半径和收敛概率分布：
（1）；
解：
看，而因一般极限五项极限不为零而发散从而该幂级数的收敛密度也收敛为，收敛域为
（2）．解：
为收敛半径考虑端点，当时收敛域为；
当时收敛域为；
当时收敛域为；
6．不求下列幂级数的收敛逻辑系统域及其和函数：
（1）；
解：
为收敛半径考虑端点则知收敛有界为。
在收敛域内设，则在收敛域内再设，则
（2）．解：
解：
为收敛半径考虑端点则知收敛域为。
在收敛域内设，则7．将下列函数展开转变成麦克劳林级数（要分析指出其成立的区间）：
（1）；
解：
由于
（2）；
解：
由于，从而（3）．解：
由于，从而8．将下列函数展开成的成为幂级数（要分析指出其成立区间）：
（1）；
解：
（2）．解：
，而从而9．将下列函数展开成傅里叶级数：
解：
该函数为奇函数，延拓自变量为周期的周期函数展开，当10．将函数在区间上分别展开成正弦级数和余弦级数．解：
该函数延拓为奇函数，再延拓自变量为周期的周期函数展开得正弦级数，；
该向量延拓为偶函数，再延拓为周期的周期函数展开得余弦级数，；
切入点很棒！
作者的构思挺巧妙！
高等数学（Ⅱ）期末参考答案
一、填空题（每小题3分，共30分）
1.已知a（1,1,2）,b（0,1,2），则ab1
ij11
k
2（0,2,1）.
22.点（1,1,1）到平面3x6y2z140的距离为3.
3.过点（3,0,1）且与平面3x7y5z120平行的平面方程为
3x7y5z40.
4.已知zf（xy,2xe2y），则
t
4
zx
yf12f2.
5.曲线x
14
4
13
y
t
3
3
12
z
t
2
2
在相应于t1处的法平面方程为
（x）（y
）（z
）0.
10
y0
6.交换积分dxf（x,y）dy的积分次序为
xdy
f（x,y）dy.
223
7.设：
zxy
22
（0z1），则zdS
xy1
2
xy
2
22
2dxdy.
8.设向量A（x2yz）i（y2zx）j（z2xy）k，则divA
Px
Qy
Rz
2（xyz）.
9.设函数f（x）以2为周期，且f（x）x（x），其Fourier级数为
a02
n1
（ancosnxbnsinnx），则b2
2
1
xsin2xdx1.
10.函数f（x）
12x
的麦克劳林级数为
2
（1）2
n
n
x.
n
n0
二、（8分）求函数f（x,y）xxyyxy1的极值，并指出是极大值还是极小值.解：
fx（x,y）2xy1，fy（x,y）2yx1，
2
2fx（x,y）02xy10令，得驻点（1,1）.由于,即
f（x,y）02yx10y
Afxx（x,y）2，Bfxy（x,y）1，Cfyy（x,y）2，
且
（BAC）x112230，A20,
y1
则（1,1）为极小值点，极小值为
f（1,1）2.
三、（8分）求级数（n1）xn的收敛域及它的和函数.
n0
解：
由于lim|
n
an1an
|lim|
n
nn1
|1，则R1，当x1时，级数（n1）
（1）n均
n0
发散，所以收敛域为（1,1）.设
s（x）
（n1）x
n0
n
，
则
于是
x0
s（t）dt
[（n1）tdt]
n0
x
n
n0
x
n1
x1x
，
dx1xs（t）.s（t）dt20dx（1x）1x
四、（8分）计算（5x43xy
L
y）dx（3xy3xy
322
其中L是抛物线yxy）dy，
22
上自点（0,0）到点（1,1）的一段弧.
解：
P（x,y）5x3xy
y，Q（x,y）3xy3xy
322
y在xoy面偏导数连续，
且
Py
Qx
6xy3y，
则曲线积分与路径无关，取折线段（0,0）（1,0）（1,1），则
L
（5x3xy
42
y）dx（3xy3xy
32
2y）dy
10
（5x3x00）dx321
13）
116
10
222
（31y31yy）dy
1（.
（zx）dzdx（xy）dxdy，其中是由
五、（8分）计算曲面积分I
x（yz）dydz
柱面x2y21，平面z0,z3燕易王立体表面的外侧.
解：
P（x,y,z）x（yz）,Q（x,y,z）zx,R（x,y,z）xy在柱面x2y21，平面z0,z3所围立体上偏导数连续，则由高斯公式有
I
x（yz）dydz
（zx）dzdx（xy）dxdy
Rz
（
Px
Qy
）dv
（yz）dv
ydv
30
zdv（第一个积分为0，想想为什么？
）
0
zdzdxdyz1dz
Dz
92
.
六、（8分）求上述方程的通解：
1.xyyln
yx
yx
y
yxlnyx
解：
xyyln，方程为齐次微分方程；设udu
dxx
yx
，则yuxu，
代入得
u（lnu1）
，
两端积分
lnu1
d（lnu1）
xdx
即ln（lnu1）lnxlnC或lnuCx1将u
yx
代回得yxe
2x
Cx
12.y4y3ye.
解：
方程为二阶非不等式齐次线性微分方程，对应齐次线性微分方程的相异特征方程
r4r30的特征根为r11,r23；f（x）e
2x
中2不是特征方程的根，则
特解形式为y*Ae2x，代入得A
yC1e
x
115
，在由解的结构得方程的通解为
3x
C2e
115
e
2x
七、（10分）设vn
unun
，wn
unun
，证明：
1.若级数un绝对收敛，则级数vn收敛；
n1
n1
证：
由于un绝对收敛，即|un|收敛，则un也收敛，又vn
n1
n1
n1
12
|un|
12
un，
由性质知vn收敛.
n1
2.若级数un条件收敛，则级数wn发散.
n1
n1
证：
（反证）假设wn收敛，已知un收敛，由wn
n1
n1
unun
，即|un|2wnun
及性质知|un|收敛，即un绝对收敛，与已知条件矛盾.所以wn发散.
n1
n1
n1
八、（10分）一均匀物体是由抛物面zx2y2及平面z1所围成.1.求的体积；
解：
在xoy面投影域D:
xy1，则所围体积为V
[1（x
D
y）]dxdy
20
d（1r）rdr
2（2.求的质心.
12
14
）
.
解：
由于是表层物体及几何体关于yoz面、xoz面对称，则质心坐标应为（0,0,）；而
zdv
dv
2
drdr
11r
zdz
V
23
，
所以质心坐标为（0,0,
23
）.
九、（10分）设D（x,y）|x2y2
22
2,x0,y0,[1xy]表示不超过
22
1xy的最大整数，计算二重积分xy[1xy]dxdy.
22
D
解：
设D1{（x,y）|x2y21,x0,y0}，
D2{（x,y）|1xy
2,x0,y0},
则DD1D2,且当（x,y）D1时，[1x2y2]1，当（x,y）D2时，
[1xy]2，所以
D
xy[1xy]dxdy
xy[1xy]dxdy
22
D1D1
D2
xy[1xy]dxdy
22
xydxdy
2xydxdy
D2
d
rsincosdr2d
20
rsincosdr
18
2
18
38
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