特殊的平行四边形.docx

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特殊的平行四边形

聚智堂名师教育辅导教案

学员编号：

年级：

初二课时数：

3

学员姓名：

辅导科目：

数学学科教师：

黄本国

授课主题

C-特殊的平行四边形判断和性质

C-特殊的平行四边形的分析和证明

T-能力提升题的分析

授课日期及时段

______年___月___日（周___）

教学目标

1.熟练掌握特殊平行四边形在平行四边形的基础上的判断定理

2.熟练掌握特殊的平行四边形判断和性质

3.掌握特殊的平行四边形题型的分析和解题的过程

教学内容

一.知识梳理

特殊的平行四边形相关知识归纳

和常见题型精讲

附:

矩形菱形正方形的性质和判定总表

矩形

菱形

正方形

性

质

边

对边平行且相等

对边平行，四边相等

对边平行，四边相等

角

四个角都是直角

对角相等

四个角都是直角

对角线

互相平分且相等

互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角

互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角

判定

·有三个角是直角;

·是平行四边形且有一个角是直角;

·是平行四边形且两条对角线相等.

·四边相等的四边形；

·是平行四边形且有一组邻边相等；

·是平行四边形且两条对角线互相垂直。

·是矩形，且有一组邻边相等；

·是菱形，且有一个角是直角。

对称性

既是轴对称图形，又是中心对称图形

一．菱形

菱形定义：

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

【强调】　菱形

（1）是平行四边形；

（2）一组邻边相等．

菱形的性质

性质1菱形的四条边都相等；

性质2菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；

菱形的判定

菱形判定方法1:

对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

注意此方法包括两个条件：

（1）是一个平行四边形；

（2）两条对角线互相垂直．

菱形判定方法2:

四边都相等的四边形是菱形．

【例题精讲】

例1．（10湖南益阳）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°,

=4,O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．求线段

的长．

例2、（2008四川自贡）如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC，交BC的延长线于F。

请你猜想DE与DF的大小有什么关系？

并证明你的猜想

例3、（2008山东烟台）

如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.

（1）求证：

△BDE≌△BCF；

（2）判断△BEF的形状，并说明理由；

已知：

如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．

　求证：

∠AFD=∠CBE．

二．正方形

正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：

①有一组邻边相等的平行四边形（菱形）

②有一个角是直角的平行四边形（矩形）

正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．

正方形定义：

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；

因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，正方形的性质总结如下：

边：

对边平行，四边相等；

角：

四个角都是直角；

对角线：

对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．

注意：

正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质．

正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．

正方形的判定方法：

•

（1）有一个角是直角的菱形是正方形；

•

（2）有一组邻边相等的矩形是正方形．

•注意：

1、正方形概念的三个要点：

•

（1）是平行四边形；

•

（2）有一个角是直角；

•（3）有一组邻边相等．

2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形.

【例题精讲】

例1已知：

如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．

求证：

OE=OF．

例2已知：

如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．

求证：

四边形PQMN是正方形．

例3、（2008海南）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.

（1）求证：

①PE=PD；②PE⊥PD；

三梯形

梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形。

平行的两边叫做梯形的底边，其中长边叫下底，短边叫上底；也可以单纯的认为上面的一条叫上底，下面一条叫下底。

不平行的两边叫腰；夹在两底之间的垂线段叫梯形的高。

一腰垂直于底的梯形叫直角梯形，两腰相等的梯形叫等腰梯形。

等腰梯形是一种特殊的梯形，其判定方法与等腰三角形判定方法类似。

　等腰梯形的性质

1．等腰梯形的两条腰相等

　　2．等腰梯形在同一底上的两个底角相等

　　3．等腰梯形的两条对角线相等

　　4．等腰梯形是轴对称图形，对称轴是上下底中点的连线所在直线

　　5．等腰梯形（这个非等腰梯形同理）的中位线（两腰中点相连的线叫做中位线）等于上下底和的二分之一

　　6.梯形的中位线平行于两底

判定

1．一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形（一组对边平行且不相等的四边形是梯形）

　　2．两腰相等的梯形是等腰梯形

　　3．同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

　　4．有一个内角是直角的梯形是直角梯形

　　5．对角线相等的梯形是等腰梯形．

6.梯形的中位线等于上底加下底和的一半，且平行于上底和下底。

【例题精讲】

例1：

（2008深圳）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，且∠C＝2∠E．

（1）求证：

梯形ABCD是等腰梯形．

（2）若∠BDC＝30°，AD＝5，求CD的长．

例2、在梯形ABCD中，AB∥CD，

，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点，试判断EC与EB的位置关系，并写出推理过程。

例3、在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，ＡＢ＝５，ＡＣ＝６.过Ｄ点作DE∥AC交ＢＣ的延长线于点Ｅ.

（１）求△BDE的周长；

（２）点Ｐ为线段BC上的点，

连接PO并延长交AD于点Q.求证：

BP=DQ.

例4、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=4，对角线AC=5，BD=3，试求此梯形的面积．

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，AB＝7，

BC＝12，求∠B的度数．

【本次课小结】

本节课讲到了特殊平行四边形（菱形、正方形、梯形）的判定定理及性质，通过典型例题的分析让学生掌握综合性的试题分析能力，结合题意找到突破口。

你认为本次课最难的知识点是哪一个？

一、选择、填空题

1、以A、B两点为其中两个顶点作位置不同的正方形，一共可以作（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

2、在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（）

A．1种B．2种C．3种D．4种

3、平行四边形的四个内角的平分线围成了一个（）

A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形

4、连接矩形各边中点（等腰梯形、四边形）所得得四边形是（）

A．正方形B．矩形C．菱形D．平行四边形

5、下列命题中正确的是（）

A．两条对角线相等的四边形是平行四边形B．两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形

C．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形D．两条对角线平分且相等的四边形是正方形

6、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC⊥BD,且AC=12,BD=9,则此梯形的中位线长是（）

A.10B.

C.

D.12

7、如果四边形ABCD满足条件：

，那么这个四边形的对角线AC与BD互相垂直（只需填写一组条件）

8、已知菱形两条对角线的长分别是6和8，那么它的周长和面积分别为．

8）已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD的乘积等于菱形一条边长的平方，则该菱形的钝角为．

9、等腰梯形的上底、下底和腰长分别为4cm、10cm、6cm，则等腰梯形的下底角为________度．

10、如图，在梯形ABCD中，∠DCB=90°，AB∥CD，AB=25，BC=24．将该梯形折叠，点A恰好与点D重合，BE为折痕，那么AD的长度为________．

二、解答题

11、已知如图，菱形ABCD中，E是BC上一点，AE、BD交于M，

若AB=AE,∠EAD=2∠BAE。

求证：

AM=BE。

12、如图，在ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F，求证：

四边形AFCE是菱形.

13、（2006年河南省）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，E为底边BC的中点，且DE∥AB，试判断△ADE的形状，并给出证明．

14、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC+AD，H是CD中点，试说明：

BH⊥AH