初中数学竞赛辅导资料1.docx

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初中数学竞赛辅导资料1

初中数学竞赛辅导教案

第一课有理数运算

教学目标

1、复习整理有理数有关概念，整理本章知识网络；

2、培养学生综合运用知识解决问题的能力；

3、渗透数形结合的思想

教学重点和难点

重点：

有理数概念的理解

难点：

数轴、绝对值、相反数、倒数的理解及应用。

教学过程

例1计算1/99+2/99+3/99+…+296/99.

解：

1/99+2/99+3/99+…+296/99

=（1/99+296/99）+（2/99+295/99）+…+（148/99+149/99）

=3×296/2

=444.

想一想如果是求n项和1/99+2/99+3/99+…+n/99，能算出来吗?

该怎样算？

1/m+2/m+…+n/m呢？

例2观察发现这个算式中的任何相邻两项之和为1或-1，如果分别将式中的2、3两项，4、5两项，…结合（加括号）求和，就可以得到若干个其和为1的组，关键是最末一项（-1）n+1n是否编在了组里？

容易看出，如果这个算式有奇数项，那么（-1）n+1n已编入组里；如果这个算式有偶数项，那么最末一项（-1）n+1n=-n就未编入组里，应单独计算。

解：

原式=1+[（-2）+3]+[（-4）+5]+…+（-1）n+1n

=

想一想如果分别将式中的1、2两项，3、4两项，…，分组求和，怎样算？

例3计算11×-1

解：

11×-1

=（1+1）×-1

=+-1（分配律）

=-1（结合律）

=8

例4计算1/1+（2/1-1/2）+（3/1-2/2+1/3）+（4/1-3/2+2/3-1/4）+…+（9/1-8/2+7/3-6/4+…+1/9）。

解：

原式=（1/1+2/1+…9/1）-（1/2+2/2+…+8/2）+（1/3+2/3+…+7/3）-…（1/8+2/8）+1/9=（1+2+…+9）-1/2（1+2+…+8）+1/3（1+2+…+7）-…-1/8（1+2）+1/9=45-1/2×36+1/3×28-1/4×21+…-3/8+1/9=45-18+28/3-21/4+3-10/6+6/7-3/8+1/9=33（5/504）。

练习

1、选择题：

（1）计算3-6+9-12+…-1992等于（）

（A）-332（B）332（C）-996（D）-996

（2）计算6666×5555-6665×2222等于（）

（A）33330000（B）22220000（C）55550000（D）11110000

2、填空题：

（1）计算机36+63×0.125+×63+63×=；

（2）计算-21-×78+78×0.375-78×=；

（3）计算1+2-3+4+5-6+7+8-9+…+97+98-99=；

（4）求和++…+=；

（5）算式1-2+3-…-98+99-100中，除去9的倍数的九，其结果是；

（6）计算=；

（7）自然数N=1234567891011…1994，是由1到1994这1994个自然数顺次排列而成，从首位开始的第94个数字是a，第1994个数字是b，则a+b=；

3、五个数（-1）、（-2）、（-3）、1、2、中，设其中各个数之各为N1，任选两数之积的和为，任选三个数之积的和为N3，任选四个数之积的和为N4，五个数之积为N5，求和

N1+N2+N3+N4+N5。

4、计算×+1

5、（1989年上海市初一数学竞赛题）计算++++++++++…+++…+的和。

第二课.用图象法解一元二次方程

教学目标

1.在（一元二次方程）中，根据根的判别式和根与系数的关系，介绍了存在实数根，有理数根，整数根的充分必要条件.

2.要讨论两个实数根的符号，则可以建立不等式组.方程ax2+bx+c=0中，

1有两个实数根的充分必要条件是

②有两个正实数根的充要条件是（a≠0包含在之中）

③有一正一负实数根的充要条件是（a≠0，△>0均已包含在内）

④有一正一负实根且负根绝对值较大的充要条件是

3.在较小区间内讨论实数根，则常利用图象来建立不等式组.

4.一些含有绝对值符号的方程、不等式的题解，也可借助图象.

教学过程：

例1..已知：

方程7x2－（k+13）x+k2－k－2=0的两个实数根x1,x2满足：

0

求：

k的取值范围.　　　　　　　　（1990年全国初中数学联赛题）

解：

先画出二次函数y=7x2－（k+13）x+k2－k－2的图象的略图.

根据图象的开口方向是向上，它与横轴有两个交点，这两点在点（1，0）的两旁，

　　　　　的大体位置是：

分析图象可知

当x=0时，y>0,　记作f（0）>0；

当x=1时，y<0,f

（1）<0；　

当x=2时，y>0,f

（2）>0.

得不等式组　

解这个不等式组得

∴原不等式组解集是　－2

答：

k的取值范围是　－2

本题由三个点的横坐标0，1，2和它所对应的纵坐标范围建立不等式组.

例2.　m取什么值时，方程x2+（m+2）x+3=0的两个根都大于1？

解：

根据抛物线y=x2+（m+2）x+3的开口向上；它在纵轴的交点为（0，3）；与横轴的两个交点都在点（1，0）右边.　得图象的略图如下（左、右两图）：

据图象分析当x=1时，y>0；顶点横坐标－>1；纵坐标≤0.

得不等式组

解这个不等式组得

∴原不等式组解集是　－6

答：

当－6

本题只有一个特殊点，故用了抛物线的顶点横、纵坐标.

例3.已知：

方程（1－m2）x2+2mx－1=0的两个实数根都在0到1之间（不包括0和1）.

求：

m的取值范围.

解：

函数y=（1－m2）x2+2mx－1的图象可由：

①它在纵轴上的截距是－1；

②与横轴的两个交点在0到1之间.

得知开口是向下的，画出略图如下：

：

从图象分析：

a<0；f

（1）<0；0<－<1.

得不等式组　　

解这个不等式组　得

∴不等式组解集是m>2.

本题因抛物线的顶点横坐标，上下都有界，故不用顶点的纵坐标.

例4.已知：

方程x2+2px+6=0的两个实数根，一根大于1，另一根小于1.

求：

p的值.

　　　　　解：

根据抛物线y=x2+2px+6的开口向上，它与横轴的两个交点的大致位置，画出略图如下：

根据图象可知：

f

（1）<0；

　　　　　　　顶点纵坐标<0.

得不等式组

解这个不等式组，　得

∴不等式组解集是p<－7.　答（略）

本题因顶点横坐标无法定，故只有两个不等式.　其实只要f

（1）<0就可以了.

关键是建立充分必要条件的不等式组.

注意：

（1）若方程可求得有理数根时，则可以直接建立不等式组.

如：

例3　可得两个根为和；

（2）若符合基本对称式，则可用韦达定理来解.

如：

例4　　可用x1－1>0,　x2－1<0建立不等式（x1－1）（,x2－1）<0.

左边去括号后，再转化为关于p的不等式.

例5.　a取什么值时，方程无解？

②有3个解？

③两个解？

解：

画出函数y=和y=a的图象，

它们的交点就是方程的解.

∵直线y=a平行于横轴.

∴①当a＜－1时，

直线y=a与y=没有交点，

即方程无解；

②当a＝1时，

直线y=1与.y=恰好有3个公共点，

　　　　　即方程有3个解.；

③.当a=－1或a>1时，

y=a与y=都有2个公共点，就是方程有2个解.

例6.　求代数式|x+1|+|x－1|+|x+2|　在－2

解：

作函数y=|x+1|+|x－1|+|x+2|　的图象.

由图象可知：

当x=－1,　y有最小值3；当x=2时，y有最大值8.

∴代数式|x+1|+|x－1|+|x+2|　有最大值8和最小值3.

练习65

1.　一元二次方程k2x2+2（k－1）x+1=0有两个实数根的充分必要条件是＿＿＿＿＿＿＿可列方程组：

　　解得：

___________

2.　一元二次方程x2+（m+2）x+m+5=0有一正一负的实数根的充分必要条件是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，所以m的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿.

3.　一元二次方程2x2+4mx+3m－1=0有两个负实数根的充分必要条件是＿＿＿＿＿＿，可列方程组：

＿解得：

＿＿＿＿＿＿.

4.　已知一元二次方程（m+3x2－4mx+2m－1=0两个实数根异号且负根的绝对值较大.

求m的值.

5.　已知一元二次方程x2+2（1+a）x+（3a2+4ab+4b2+2）=0有实数根，

那么a=＿＿＿，b=_____.

6.　求代数式　　在－3＜x<3区间的最大值和最小值.

7.　已知方程（a2-1）x2-6（a+1）x+8=0有实数根，试确定a的取值范围.

8.　k取什么值时，方程x2-11x+k=0两个实数根都大于5？

9.　若方程x2+（1-2m）x+m2-m=0两个实数根中，一根大于2，另一根小于2.

求m的取值范围.

10.　已知：

方程3x2+（m-1）x+3m+2=0两个实数根中，一根大于3，另一根小于2.

求：

m的取值范围.

11.已知：

m和n都是整数，且方程4x2-2mx+n=0的两个实数根，都在0和1之间（不包括0和1）

求：

m,和n的值.

12.　m取什么值时，方程x2-2mx+m2-1=0的两个实数根，都在－1和2之间（包括－1和2）

13.　二次函数y=（m2-4）x2+（m2-2m+24）x+6（m-6）的图象与横轴的两个交点的横坐标是两个不同的正整数，试确定m的值.

14.　k取什么值时，方程k＋＝0　①无解？

②有3个解？

③4个解？

15.　方程x2+y2=16和y=x2+4有一公共实数解，那么y的值是（　　）

（A）只有4　（B）－7，4　（C）0，4　　（D）y无解，　（E）y的所有的值.

（提示：

x2+y2=16的图象是以原点为圆心，4为半径的圆）

第三课时：

.用方程解应用题

教学目标：

1.用方程的数学模型反映现实情境中的实际问题

2.认识运用方程解决实际问题的关键是审清题意，寻找等量关系，建立数学模型

3.经历建立方程模型解决实际问题的过程，体会数学模型的应用价值，从而提高学习数学的兴趣

4.审明题意，寻找等量关系，将实际问题转化成分式方程的数学模型．

教学过程：

一、选择题：

1、甲乙两人同时从同一地点出发，相背而行1小时后他们分别到达各自的终点A与B，若仍从原地出发，互换彼此的目的地，则甲在乙到达A之后35分钟到达B，甲乙的速度之比为（　　）

　A.3∶5B.4∶3C.4∶5D.3∶4

2、某种产品按质量分为10个档次，生产最低档次产品，每件获利润8元，每提高一个档次，每件产品利润增加2元，用同样工时，最低档次产品每天可生产60件，提高一个档次将减少3件，如果获利润最大的产品是第R档次（最低档次为第一档次，档次依次随质量增加），那么R等于（　　）

　A.5B.7C.9D.10

3、某商店出售某种商品每件可获利m元，利润为20%（利润＝），若这种商品的进价提高25%，而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利m元，则提价后的利润率为（　　）

　A.25%B.20%C.16%D.12.5%

4、某项工程，甲单独需a天完成，在甲做了c（c