实验六 线性系统的根轨迹.docx
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实验六线性系统的根轨迹
实验六线性系统的根轨迹
一、实验目的
1.熟悉MATLAB用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。
2.利用MATLAB语句绘制系统的根轨迹。
3.掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。
4.掌握系统参数变化对特征根位置的影响。
二、基础知识及MATLAB函数
根轨迹是指系统的某一参数从零变到无穷大时，特征方程的根在s平面上的变化轨迹。
这个参数一般选为开环系统的增益K。
课本中介绍的手工绘制根轨迹的方法，只能绘制根轨迹草图。
而用MATLAB可以方便地绘制精确的根轨迹图，并可观测参数变化对特征根位置的影响。
假设系统的对象模型可以表示为
系统的闭环特征方程可以写成
对每一个K的取值，我们可以得到一组系统的闭环极点。
如果我们改变K的数值，则可以得到一系列这样的极点集合。
若将这些K的取值下得出的极点位置按照各个分支连接起来，则可以得到一些描述系统闭环位置的曲线，这些曲线又称为系统的根轨迹。
1）绘制系统的根轨迹rlocus（）
MATLAB中绘制根轨迹的函数调用格式为：
rlocus（num,den）开环增益k的范围自动设定。
rlocus（num,den,k）开环增益k的范围人工设定。
rlocus（p,z）依据开环零极点绘制根轨迹。
r=rlocus（num,den）不作图，返回闭环根矩阵。
[r,k]=rlocus（num,den）不作图，返回闭环根矩阵r和对应的开环增益向量k。
其中，num,den分别为系统开环传递函数的分子、分母多项式系数，按s的降幂排列。
K为根轨迹增益，可设定增益范围。
例3-1：
已知系统的开环传递函数
，绘制系统的根轨迹的matlab的调用语句如下：
num=[11];%定义分子多项式
den=[1429];%定义分母多项式
rlocus（num,den）%绘制系统的根轨迹
grid%画网格标度线
xlabel（‘RealAxis’）,ylabel（‘ImaginaryAxis’）%给坐标轴加上说明
title（‘RootLocus’）%给图形加上标题名
则该系统的根轨迹如图3-1所示：
若上例要绘制K在（1，10）的根轨迹图，则此时的matlab的调用格式如下，对应的根轨迹如图3-2所示。
num=[11];
den=[1429];
k=1:
0.5:
10;
rlocus（num,den,k）
2）确定闭环根位置对应增益值K的函数rlocfind（）
在MATLAB中，提供了rlocfind函数获取与特定的复根对应的增益K的值。
在求出的根轨迹图上，可确定选定点的增益值K和闭环根r（向量）的值。
该函数的调用格式为：
[k,r]=rlocfind（num,den）
执行前，先执行绘制根轨迹命令rlocus（num,den），作出根轨迹图。
执行rlocfind命令时，出现提示语句“Selectapointinthegraphicswindow”，即要求在根轨迹图上选定闭环极点。
将鼠标移至根轨迹图选定的位置，单击左键确定，根轨迹图上出现“+”标记，即得到了该点的增益K和闭环根r的返回变量值。
例3-2：
系统的开环传递函数为
，试求：
（1）系统的根轨迹；
（2）系统稳定的K的范围；（3）K=1时闭环系统阶跃响应曲线。
则此时的matlab的调用格式为：
G=tf（[1,5,6],[1,8,3,25]）;
rlocus（G）;%绘制系统的根轨迹
[k,r]=rlocfind（G）%确定临界稳定时的增益值k和对应的极点r
G_c=feedback（G,1）;%形成单位负反馈闭环系统
step（G_c）%绘制闭环系统的阶跃响应曲线
则系统的根轨迹图和闭环系统阶跃响应曲线如图3-2所示。
其中，调用rlocfind（）函数，求出系统与虚轴交点的K值，可得与虚轴交点的K值为0.0264，故系统稳定的K的范围为
。
3）绘制阻尼比
和无阻尼自然频率
的栅格线sgrid（）
当对系统的阻尼比
和无阻尼自然频率
有要求时，就希望在根轨迹图上作等
或等
线。
matlab中实现这一要求的函数为sgrid（），该函数的调用格式为：
sgrid（
）已知
和
的数值，作出等于已知参数的等值线。
sgrid（‘new’）作出等间隔分布的等
和
网格线。
例3-3：
系统的开环传递函数为
，由rlocfind函数找出能产生主导极点阻尼
=0.707的合适增益，如图3-3（a）所示。
G=tf（1,[conv（[1,1],[1,2]）,0]）;
zet=[0.1:
0.2:
1];wn=[1:
10];
说明：
sgrid：
在现存的屏幕根轨迹或零极点图上绘制出自然振荡频率wn、阻尼比矢量z对应的格线。
sgrid（‘new’）：
是先清屏，再画格线。
sgrid（z,wn）：
则绘制由用户指定的阻尼比矢量z、自然振荡频率wn的格线
添加：
sgrid（‘new’）;或cle
sgrid（zet,wn）;holdon;rlocus（G）
[k,r]=rlocfind（G）
Selectapointinthegraphicswindow
selected_point=
-0.3791+0.3602i
k=
0.6233
r=
-2.2279
-0.3861+0.3616i
-0.3861-0.3616i
同时我们还可以绘制出该增益下闭环系统的阶跃响应，如图3-3（b）所示。
事实上，等
或等
线在设计系补偿器中是相当实用的，这样设计出的增益K=0.6233将使得整个系统的阻尼比接近0.707。
由下面的MATLAB语句可以求出主导极点，即r（2.3）点的阻尼比和自然频率为
G_c=feedback（G,1）;
step（G_c）
dd0=poly（r（2:
3,:
））;
wn=sqrt（dd0（3））;zet=dd0
（2）/（2*wn）;[zet,wn]
ans=
0.72990.5290
我们可以由图3-3（a）中看出，主导极点的结果与实际系统的闭环响应非常接近，设计的效果是令人满意的。
4）基于根轨迹的系统设计及校正工具rltool
matlab中提供了一个系统根轨迹分析的图形界面，在此界面可以可视地在整个前向通路中添加零极点（亦即设计控制器），从而使得系统的性能得到改善。
实现这一要求的工具为rltool，其调用格式为：
rltool或rltool（G）
例3-4：
单位负反馈系统的开环传递函数
输入系统的数学模型，并对此对象进行设计。
den=[conv（[1,5],conv（[1,20],[1,50]））,0,0];
num=[1,0.125];
G=tf（num,den）;
rltool（G）
该命令将打开rltool工具的界面，显示原开环模型的根轨迹图，如图3-4（a）所示。
单击该图形菜单命令Analysis中的ResponsetoStepCommand复选框，则将打开一个新的窗口，绘制系统的闭环阶跃响应曲线，如图3-4（b）所示。
可见这样直接得出的系统有很强的振荡，就需要给这个对象模型设计一个控制器来改善系统的闭环性能。
单击界面上的零点和极点添加的按钮，可以给系统添加一对共轭复极点，两个稳定零点，调整它们的位置，并调整增益的值，通过观察系统的闭环阶跃响应效果，则可以试凑地设计出一个控制器
在此控制器下分别观察系统的根轨迹和闭环系统阶跃响应曲线。
可见，rltool可以作为系统综合的实用工具，在系统设计中发挥作用。
三、实验内容
1．请绘制下面系统的根轨迹曲线
同时得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K值的范围。
的根轨迹曲线程序如下：
den=[conv（[1,2,2],[1,6,13]）,0];
num=[1];
G=tf（num,den）;
rlocus（G）
>>[k,r]=rlocfind（G）
Selectapointinthegraphicswindow
selected_point=
0.0082-0.9683i
k=
29.0271
r=
-2.8187+2.1687i
-2.8187-2.1687i
-2.3403
-0.0111+0.9902i
-0.0111-0.9902i
波形图如下：
图一：
根轨迹图形
系统与虚轴交点的K值，可得与虚轴交点的K值为29.0271，故系统稳定的K的范围为
。
的根轨迹曲线程序如下：
den=[conv（[1,1],conv（[1,12,100],[1,10]））];
num=[112];
G=tf（num,den）;
rlocus（G）
>>[k,r]=rlocfind（G）
Selectapointinthegraphicswindow
selected_point=
-0.0023+10.0000i
k=
1.0914e+003
r=
-0.0260+10.0202i
-0.0260-10.0202i
-11.4740+2.9577i
-11.4740-2.9577i
波形图如下：
图二：
根轨迹图形
系统与虚轴交点的K值，可得与虚轴交点的K值为1.0914e+003，故系统稳定的K的范围为
。
的根轨迹曲线程序如下：
den=[conv（[0.0714,1],[0.012,0.1,1]）,0];
num=[0.051];
G=tf（num,den）;
rlocus（G）
>>[k,r]=rlocfind（G）
Selectapointinthegraphicswindow
selected_point=
0.0272+8.4444i
k=
7.8378
r=
-0.0319+8.5187i
-0.0319-8.5187i
-11.1376+1.4182i
-11.1376-1.4182i
波形图如下：
图三：
根轨迹图形
系统与虚轴交点的K值，可得与虚轴交点的K值7.8378，故系统稳定的K的范围为
。
2.在系统设计工具rltool界面中，通过添加零点和极点方法，试凑出上述系统，并观察增加极、零点对系统的影响。
、
对于
程序如下：
den=[1,6,13];
num=[1];
G=tf（num,den）;
rltool（G）
1原对象模型的根轨迹2闭环系统阶跃响应
图四：
根轨迹设计工具界面及阶跃响应分析
对于
程序如下：
den=[1,12,100];
num=[1];
G=tf（num,den）;
rltool（G）
经过添加零极点后显示的图形为：
1原对象模型的根轨迹2闭环系统阶跃响应
图五：
根轨迹设计工具界面及阶跃响应分析
对于
程序如下：
den=[0.012,0.1,1];
num=[1];
G=tf（num,den）;
rltool（G）
经过添加零极点后显示的图形为：
1原对象模型的根轨迹2闭环系统阶跃响应
图六：
根轨迹设计工具界面及阶跃响应分析
四、实验报告
1．根据内容要求，写出调试好的MATLAB语言程序，及对应的结果。
2.记录显示的根轨迹图形，根据实验结果分析根轨迹的绘制规则。
3.根据实验结果分析闭环系统的性能，观察根轨迹上一些特殊点对应的K值，确定闭环系统稳定的范围。
4．根据实验分析增加极点或零点对系统动态性能的影响。
零点极点的位置能改变系统的稳定性，闭环系统无零点，闭环极点为实数，则时间响应一定单调；超调量主要取决于闭环复数的衰减率，实数极点，零点，减少系统阻尼使峰值时间提前，超调量增大。
5．写出实验的心得与体会。
通过本次实验，我知道了如何利用MATLAB来绘制系统的根图，并且掌握怎样用根轨迹分析系统的性能，以及了解了系统参数变化对特征根位置的影响。
同时，使我对更加熟练的使用MATLAB。
五、预习要求
1.预习实验中的基础知识，运行编制好的MATLAB语句，熟悉根轨迹的绘制函数rlocus（）及分析函数rlocfind（）,sgrid（）。
2.预习实验中根轨迹的系统设计工具rltool，思考该工具的用途。
3.掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法，思考当系统参数K变化时，对系统稳定性的影响。
4．思考加入极点或零点对系统动态性能的影响。
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