极限证明精选多篇证明范本doc.docx

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极限证明精选多篇-证明范本

第一篇：

极限证明

1.设fx在?

上无穷次可微，且fx?

xnn?

，求证当k?

1时，?

x，limfkx?

0．x?

2.设fx?

0sinntdt，求证：

当n为奇数时，fx是以2?

为周期的周期函数；当n为

偶数时fx是一线性函数与一以2?

为周期的周期函数之和．x

fnx?

0．?

{xn}?

3.设fx在?

上无穷次可微；f0f?

0xlim求证：

1，?

n，0?

xn?

1，使fnxn?

0．

sinf（x）?

1．求证limfx存在．4.设fx在a,?

上连续，且xlim?

5.设a?

0,x1?

a,xn?

xn,n?

1,2?

证明权限limn?

xn存在并求极限值。

6.设xn?

0,n?

1,2,?

.证明：

若limxn?

x,则limxn?

x.n?

xn?

7.用肯定语气叙述：

limx?

8.a1?

1,an?

1,求证：

ai有极限存在。

an?

x9.设函数f定义在?

a,b?

上，如果对每点x?

a,b?

极限limf?

存在且有限（当x?

a或b时，

为单侧极限）。

证明：

函数f在?

a,b?

上有界。

10.设limn?

an?

a,证明：

lima1?

2a2?

nana?

.n?

2n2

11.叙述数列?

an?

发散的定义，并证明数列?

cosn?

发散。

12.证明：

若?

af?

dx收敛且limx?

，则?

11?

an?

收敛。

1,2,?

.求证：

22an?

1an13.a?

0,b?

0.a1?

a,a2?

b,an?

14.证明公式?

11k?

2n?

n，其中c是与n无关的常数，limn?

15.设f?

在[a,?

）上可微且有界。

证明存在一个数列?

xn?

[a,?

）,使得limn?

xn?

且limn?

f'?

xn?

16.设f?

具有连续的导函数，且limu?

f'?

0,d?

x,y?

|x2?

y2?

r2,x,y?

证明：

limu?

求ir?

f'?

x2?

y2?

dxdy;?

求limr2

17.设f?

于[a,?

）可导，且f'?

c为常数?

证明：

limx?

于[a,?

）必有最小值。

18.设limn?

an?

a,limn?

bn?

b,其中b?

0,用?

n语言证明lim

ana?

bbn

sn?

19.设函数列?

sn?

的每一项sn?

都在x0连续，u是以x0为中心的某个开区间，

在u?

x0?

内闭一致收敛于s?

又limn?

sn?

x0?

证明：

lims?

20.叙述并证明limx?

存在且有限的充分必要条件?

柯西收敛原理?

23.设?

fx=0.证明xlimfxdx收敛,且fx在?

a,?

上一致连续，?

24.设a10，an?

1＝an＋，证明＝1nan25.设f?

在a的某领域内有定义且有界，对于充分小的h，m?

与m?

分别表示f?

在

h,a?

上的上、下确界，又设?

hn?

是一趋于0的递减数列，证明：

1）limn?

hn?

与limn?

hn?

都存在；

2）limn?

0m?

limn?

hn?

limn?

0m?

limn?

hn?

;

27.设an?

a,用定义证明:

limn?

an?

28.设x1?

0，xn?

31?

1,2,?

，证明limxn存在并求出来。

29.用“?

语言”证明lim30.设fx?

2x?

1x?

，数列?

xn?

由如下递推公式定义：

x0?

1，xn?

fxn，n?

0，x?

1，2，?

，求证：

limxn?

2。

31.设fnx?

cosx?

cos2x?

cosnx，求证：

（a）对任意自然数n，方程fnx?

1在[0,?

/3）内有且仅有一个正根；

（b）设xn?

[0,1/3）是fnx?

1的根，则limxn?

/3。

32.设函数ft在a,b连续，若有数列xn?

a,yn?

axn,yn?

（a,b）使

limfxn?

an?

及limfyn?

bn?

，则对a，b之间的任意数?

，

可找到数列xn?

a，使得limfzn?

33.设函数f在[a,b]上连续，且

0,记fvn?

fa?

n,?

exp{

，试证明：

lnfxdx}n?

并利用上述等式证明下?

ab?

式

ln1?

2rcosx?

r2dx?

2lnrr?

fb?

34.设f‘0?

k,试证明lim

35.设fx连续，?

0fxtdt，且lim

论?

'x在x?

0处的连续性。

，求?

'x，并讨?

a（常数）

36．给出riemann积分?

afxdx的定义，并确定实数s的范围使下列极限收敛

lim?

s。

ni?

x322

37.定义函数f?

y2.证明f?

在?

0,0?

处连续但不可微。

0,x?

38.设f是?

0,?

上有界连续函数，并设r1,r2,?

是任意给定的无穷正实数列，试证存在无穷正实数列x1,x2,?

使得：

limn?

xn?

rn?

xn?

39.设函数f?

在x?

0连续，且limx?

2x?

a,求证：

f'?

存在且等于a.

40.无穷数列?

an?

bn?

满足limn?

an?

a,limn?

bn?

b,证明:

lim?

aibn?

1-i?

ab.

ni?

41.设f是?

0,?

上具有二阶连续导数的正函数，且f'?

0,f''有界，则limt?

f'?

42.用?

分析定义证明limt?

x2?

43.证明下列各题

设an?

0,1?

，n?

1,2,?

试证明级数?

2nann?

an?

n收敛；

设?

an?

为单调递减的正项数列，级数?

n2014an收敛，试证明limn2014an?

设f?

在x?

0附近有定义，试证明权限limx?

0f?

存在的充要条件是：

对任何趋于0的数列?

xn?

yn?

都有limn?

xn?

yn?

44.设?

an?

为单调递减数列的正项数列，级数?

anln?

an?

收敛，试证明limn?

1。

45.设an?

0，n=1,2，an?

0,n?

证limn

46.设f为上实值函数，且f

（1）＝1，f?

（x）＝〔1，＋?

〕

limf（x）存在且小于1＋。

＋?

，证明x?

1）2

x2＋f（x）

47.已知数列{an}收敛于a，且

asn?

，用定义证明{sn}也收敛于a

48.若f?

在?

0,?

上可微，lim

0，求证?

0,?

内存在一个单

调数列{?

n}，使得lim?

且limf?

sinx?

cosx?

49.设f?

2,确定常数a,b,c,使得f''?

在?

处处存在。

ax?

bx?

c,x?

第二篇：

极限的证明

极限的证明利用极限存在准则证明：

1当x趋近于正无穷时，inx/x的极限为0;

2证明数列{xn}，其中a0，xo0,xn=/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。

1）用夹逼准则:

x大于1时,lnx0,x0,故lnx/x0

且lnx1）,lnx/xx-1/x.而x-1/x极限为0

故inx/x的极限为0

2）用单调有界数列收敛:

分三种情况,x0=√a时,显然极限为√a

x0√a时,xn-xn-1=/20,单调递减

且xn=/2√a,√a为数列下界,则极限存在.

设数列极限为a,xn和xn-1极限都为a.

对原始两边求极限得a=/2.解得a=√a

同理可求x0√a时,极限亦为√a

综上,数列极限存在,且为√

一时函数的极限：

以时和为例引入.

介绍符号:

的意义,的直观意义.

定义和.

几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.

例1验证例2验证例3验证证……

二时函数的极限：

由考虑时的极限引入.

定义函数极限的“”定义.

几何意义.

用定义验证函数极限的基本思路.

例4验证例5验证例6验证证由=

为使需有为使需有于是,倘限制,就有

例7验证例8验证类似有（三单侧极限:

1.定义：

单侧极限的定义及记法.

几何意义:

介绍半邻域然后介绍等的几何意义.

例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:

th类似有:

例10证明:

极限不存在.

例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有

=§2函数极限的性质3学时

教学目的：

使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求：

掌握函数极限的基本性质：

唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

教学重点：

函数极限的性质及其计算。

教学难点：

函数极限性质证明及其应用。

教学方法：

讲练结合。

一、组织教学：

我们引进了六种极限:

.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.

二、讲授新课：

一函数极限的性质:

以下性质均以定理形式给出.

1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保号性:

4.单调性不等式性质:

th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=现证对有

註:

若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.

5.迫敛性:

6.四则运算性质:

只证“+”和“”

二利用极限性质求极限：

已证明过以下几个极限：

注意前四个极限中极限就是函数值

这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.

利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：

通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.

例1利用极限和

例2例3註:

关于的有理分式当时的极限.

例4

例5例6例7

第三篇：

数列极限的证明

数列极限的证明x1=2,xn+1=2+1/xn,证明xn的极限存在，并求该极限

求极限我会

|xn+1-a||xn-a|/a

以此类推，改变数列下标可得|xn-a||xn-1-a|/a;

|xn-1-a||xn-2-a|/a;

……

|x2-a||x1-a|/a;

向上迭代，可以得到|xn+1-a||xn-a|/a

只要证明{xn}单调增加有上界就可以了。

用数学归纳法：

①证明{xn}单调增加。

x2=√=√5x1;

设xk+1xk，则

xk+2-xk+1）=√-√分子有理化

=/【√+√】0。

②证明{xn}有上界。

x1=14，

设xk4，则

xk+im=0

n→∞

（2lim=3/2

n→∞

3lim=0

n→∞

4lim0.999…9=1

n→∞n个9

5几道数列极限的证明题，帮个忙。

。

lim就省略不打了。

。

n/n+1=0

√n+4/n=1

sin1/n=0

实质就是计算题，只不过题目把答案告诉你了，你把过程写出来就好了

第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行

第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数极限，用罗比达法则不知楼主学了没，没学的话以后会学的

第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin1/n=0

不知楼主觉得我的解法对不对呀limn/n+1=lim1/n/1+1/n=lim1/n/1+lim（1+n=0/1=0

lim√n+4/n=lim√1+4/n=√1+lim4/n=√1+4lim1/n=1

limsin1/n=lim=lim1/n*lim/1/n=0*1=0

第四篇：

函数极限的证明

函数极限的证明一时函数的极限：

以时和为例引入.

介绍符号:

的意义,的直观意义.

定义和.

几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.

例1验证例2验证例3验证证……

二时函数的极限：

由考虑时的极限引入.

定义函数极限的“”定义.

几何意义.

用定义验证函数极限的基本思路.

例4验证例5验证例6验证证由=

为使需有为使需有于是,倘限制,就有

例7验证例8验证类似有（三单侧极限:

1.定义：

单侧极限的定义及记法.

几何意义:

介绍半邻域然后介绍等的几何意义.

例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:

th类似有:

例10证明:

极限不存在.

例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有

=§2函数极限的性质3学时

教学目的：

使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求：

掌握函数极限的基本性质：

唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

教学重点：

函数极限的性质及其计算。

教学难点：

函数极限性质证明及其应用。

教学方法：

讲练结合。

一、组织教学：

我们引进了六种极限:

.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.

二、讲授新课：

一函数极限的性质:

以下性质均以定理形式给出.

1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保号性:

4.单调性不等式性质:

th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=现证对有

註:

若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.

5.迫敛性:

6.四则运算性质:

只证“+”和“”

二利用极限性质求极限：

已证明过以下几个极限：

注意前四个极限中极限就是函数值

这些极限可作为公使用，即刻完成写稿任务。

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