8
（1）求抛物线的解析式；
（2）试探究△ABC勺外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标;
（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC勺面积的最大值，并求出此时M点的坐标.
考点：
二次函数综合题.
专题：
压轴题；转化思想.
分析：
（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可.
（2）首先根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明厶ABC是直角三角形来推导出
直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标.
（3）△MBC勺面积可由Samb=BOh表示，若要它的面积最大，需要使h取最大值，即点M
到直线BC的距离最大，若设一条平行于BC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M
解答：
解：
（1）将B（4,0）代入抛物线的解析式中，得：
0=16a-x4-2,即:
a=；
抛物线的解析式为：
y=x2-x-2.
（2）由
（1）的函数解析式可求得：
A（-1,0）、C（0,-2）;
•••OA=1,OC2,OB=4,
即：
OC=OA?
OB又：
OCLAB
•••△OAC^AOCB得：
/OCA/OBC
•••/ACB/OCA/OCB/OBC/OCB90°,
•△ABC为直角三角形，AB%AABC外接圆的直径；
所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：
（,0）.
（3）已求得：
B（4,0）、C（0,-2）,可得直线BC的解析式为：
y=x-2;
设直线I//BC,则该直线的解析式可表示为：
y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，
可列方程：
x+b=x2-x-2,即：
x2-2x-2-b=0,且厶=0;
•4-4X（-2-b）=0,即卩b=-4;
•直线I:
y=x-4.
所以点M即直线I和抛物线的唯一交点，有：
（12_3_n
F■y2fx=2
一，解得：
*c即M（2,-3）.
I”y=-3
过M点作MNLx轴于N,
bm=S梯形ocm+S^mnb—Saoc=X2x（2+3）+X2X3_X2X4=4.
（二）周长类
3.如图，Rt△ABO勺两直角边OAOB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，AB两点的坐标分别为（-3,0）、（0,4）,抛物线y=x2+bx+c经过点B,且顶点在直
线x=上.
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若把△ABO沿x轴向右平移得到厶DCE点AB、O的对应点分别是DCE,当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）在
（2）的条件下，连接BD已知对称轴上存在一点P使得△PBD勺周长最小，求出P点的坐标；
（4）在
（2）、（3）的条件下，若点M是线段OB上的一个动点（点M与点OB不重合），过点M作//BD交x轴于点N,连接PMPN设OM勺长为t,△PMN勺面积为S,求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？
若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由.
考点：
二次函数综合题.
专题：
压轴题.
分析：
（1）根据抛物线y=2J+b計匚经过点B（0,4）,以及顶点在直线乂=上，得出b,c
即可；
（2）根据菱形的性质得出CD两点的坐标分别是（5,4）、（2，0），禾U用图象上点的性质得出x=5或2时，y的值即可.
（3）首先设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，求出解析式，当乂=时，求出y即可;
（4）利用MNBD得出△OMNN△OBD进而得出翌f,得到ON丄十，进而表示出△PMNOB_OD2
的面积，禾U用二次函数最值求出即可.
解答:
•所求函数关系式为■•・.；
33
（2）在RtAABC中，OA=3,OB=4,「.AB=「十［—_匕••四边形ABCD1菱形，•BC=CD=DA=AB=5,
•CD两点的坐标分别是（5,4）、（2,0）,
当x=5时，y=・「■■|,
当x=2时，牡_、、■二-,
•••点C和点D都在所求抛物线上；
（3）设CD与对称轴交于点P,则P为所求的点,
设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b,
则｛囂1解得:
当X=时，y=‘
0乙
（4）•MN/BD
.••理=_0^即丄二得on丄十,
OB_ODr221
设对称轴交x于点F,
则隔曲（PF+OM?
°=（+t）峠暑，
=f亠（Ovtv4）,
a=-v0.抛物线开口向下，S存在最大值.
由&pm=-冲=-（t「宀：
M的坐标为（。
，…）.
•••当t=「时，s取最大值是■■:
'1,此时，点
6144
2
y=x+mxnn经过点A（3,0）、B（0,-3）,点P是
（三）平行四边形类
4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M设点P的横坐标为t.
（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式.
（2）若点P在第四象限，连接AMBM当线段PM最长时，求△ABM勺面积.
（3）是否存在这样的点P,使得以点P、MBO为顶点的四边形为平行四边形？
若存在,请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由.
Vi
1
\2
//
/
f
X
€
考点：
二次函数综合题；解一元二次方程-因式分解法；待定系数法求一次函数解析式；待
定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的判定.
专题：
压轴题；存在型.
分析：
（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：
把A（3,0）B（0,-3）分别代入y=x2+m）+n
与y=kx+b,得到关于mn的两个方程组，解方程组即可；
（2）设点P的坐标是（t,t-3）,贝UM（t,t2-2t-3）,用P点的纵坐标减去M的纵坐标
22
得到PM的长，即PM（t-3）-（t-2t-3）=-t+3t，然后根据二次函数的最值得到当t=-=时，PM最长为；一=，再利用三角形的面积公式利用
2X（-1）4X（-1）
&abi=Sabpi\+&APM计算即可；
（3）由PM/OB根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、MBO为顶点的四边形
为平行四边形，然后讨论：
当P在第四象限：
PM=O客3,PM最长时只有，所以不可能；当P
在第一象限：
PM=O呼3,（t2-2t-3）-（t-3）=3;当P在第三象限：
PMOB=3,t2-3t=3,分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值.
解答：
解：
（1）把A（3,0）B（0,-3）代入y=x2+mxnn,得
0=9+3irrFnfm=_22
r解得*，所以抛物线的解析式是y=x2-2x-3.
-3=n~3
设直线AB的解析式是y=kx+b,
（0=3k+bfk=l
把A（3,0）B（0,-3）代入y=kx+b,得*，解得乂
-3=bb=-3
所以直线AB的解析式是y=x-3；
（2）设点P的坐标是（t,t-3）,则M（t,t2-2t-3）,因为p在第四象限，
所以PM=（t-3）-（t2-2t-3）=-t2+3t,
（3）存在，理由如下：
•/PM/OB
•••当PMtOB时，点PM、B、O为顶点的四边形为平行四边形，
1当P在第四象限：
PM=OB=3,PM最长时只有，所以不可能有PM=3.
2当P在第一象限：
PM=O^3,（t2-2t-3）-（t-3）=3,解得ti=,t2='（舍
22
去），所以P点的横坐标是色姮；
3当P在第三象限：
PMtO咅3,t2-3t=3，解得ti=」‘（舍去），t2=二，所以P点
22
的横坐标是丄；
2
所以P点的横坐标是上二丄或二'.
22
5.如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0,1）,B（2,0）,O（0,
0）,将此三角板绕原点O逆时针旋转90°,得到△AB'O.
（1）一抛物线经过点A'、B'、B,求该抛物线的解析式；
（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P,使四边形PBAB的面积是厶AB'O面积4倍？
若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）在
（2）的条件下，试指出四边形PBAB是哪种形状的四边形？
并写出四边形PBAB的两条性质.
考点：
二次函数综合题.•
专题：
压轴题.
分析：
（1）利用旋转的性质得出A（-1,0）,B'（0,2），再利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）利用S四边形pb，ab=Ssoa+S^pb，c+S"ob再假设四边形PB'AB的面积是厶AB'O面积的4倍，得出一元二次方程，得出P点坐标即可；
（3）利用P点坐标以及B点坐标即可得出四边形PBAB为等腰梯形，利用等腰梯形性质得出答案即可.
解答：
解：
（1）△AB'O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的,
又A（0,1）,B（2,0）,0（0,0）,
•••A'（-1,0）,B（0,2）.
方法一：
2
设抛物线的解析式为：
y=ax+bx+c（az0）,
•••抛物线经过点A'、B'、B,
2二-1
“b=l，•满足条件的抛物线的解析式为
c-2
方法二：
•••A'（-1,0）,B'（0,2）,B（2,0）,
设抛物线的解析式为：
y=a（x+1）（x-2）
将B'（0,2）代入得出：
2=a（0+1）（0-2）,
解得：
a=-1,
故满足条件的抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-2）=-x2+x+2;
（2）TP为第一象限内抛物线上的一动点，
设P（x，y），则x>0,y>0,P点坐标满足y=-x2+x+2.
连接PBPOPB',
S四边形PB'A'B=S^B'oa+S^PB‘o+Sapog
=X1X2+X2xx+X2xy,
2
=x+（-x+x+2）+1,=-x2+2x+3.
•/AO=1,B'0=2,•••△ABO面积为：
X1X2=1,
假设四边形PBAB的面积是厶AB0面积的4倍，贝U
2
4=-x+2x+3,
即x2-2x+1=0,
解得：
X1=X2=1,
此时y=-12+1+2=2,即P（1,2）.
4倍.
2个均可.
（10分）
AB;④BA=PB.-
•存在点P（1,2）,使四边形PBAB的面积是厶AB0面积的
（3）四边形PBAB为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意
①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等；
③等腰梯形上底与下底平行；④等腰梯形两腰相等.
或用符号表示：
①/BAB=ZPBA或/AB'P=ZBPB;②PA二B'B;③B'P//
（1）求抛物线顶点A的坐标；
（2）设抛物线与y轴交于点B,与x轴交于点CD（C点在D点的左侧），试判断厶ABD勺形状；
（3）在直线I上是否存在一点P,使以点P、ABD为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.
考点：
二次函数综合题.•
专题：
压轴题；分类讨论.
分析：
（1）先根据抛物线的解析式得出其对称轴，由此得到顶点A的横坐标，然后代入直线I的
解析式中即可求出点A的坐标.
（2）由A点坐标可确定抛物线的解析式，进而可得到点B的坐标•则ABADBD三边的长可得，然后根据边长确定三角形的形状.
（3）若以点P、AB、D为顶点的四边形是平行四边形，应分①AB为对角线、②AD为对角线两种情况讨论，即①A也PB②A』=PD然后结合勾股定理以及边长的等量关系列方程求出P点的坐标.
解答：
—2
解：
（1）•••顶点A的横坐标为x=-=1，且顶点A在y=x-5上，
2
•••当x=1时，y=1-5=-4,
二A（1,-4）.
（2）△ABD是直角三角形.
2
将A（1,-4）代入y=x-2x+c，可得，1-2+c=-4,「.c=-3,
2
•y=x-2x-3,「.B（0,-3）
2
当y=0时，x-2x-3=0,xi=-1,X2=3
•••C（-1,0）,D（3,0）,
bD=OB+OD=18,aB=（4-3）2+12=2,AD=（3-1）2+42=20,
bD+aB=aD,
•••/ABD90。
，即厶ABD是直角三角形.
（3）存在.
由题意知：
直线y=x-5交y轴于点E（0,-5）,交x轴于点F（5,0）
•••0E=0F=5,
又•••0B=0D=3
oe^a0BD都是等腰直角三角形
•••BD//I,即PA//BD
则构成平行四边形只能是PADB^PABD如图，
过点P作y轴的垂线,过点A作x轴的垂线交过P且平行于x轴的直线于点G.
设P（X1,X1-5）,则G（1,X1-5）
则P（=|1-X1|,AG|5-X1-4|=|1-X1|
PAfBD=3匚
由勾股定理得：
222
（1-X1）+（1-X1）=18,X1-2X1-8=0,X1=-2或4
•P（-2,-7）或P（4,-1）,
存在点P（-2,-7）或P（4,-1）使以点A、BDP为顶点的四边形是平行四边形.
7•如图，点A在x轴上，0A4,将线段0A绕点0顺时针旋转120°至0B的位置.
（1）求点B的坐标；
（2）求经过点A、OB的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P,使得以点P、OB为顶点的三角形是等腰三角形？
若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.
考点：
二次函数综合题..
专题：
压轴题；分类讨论.
分析：
（1）首先根据OA勺旋转条件确定B点位置，然后过B做x轴的垂线，通过构建直角三角形和OB的长（即OA长）确定B点的坐标.
（2）已知QA、B三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式.
（3）根据
（2）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P点的坐标，而Q
B坐标已知，可先表示出△QPBE边的边长表达式，然后分①Qf=QB②QP=BP③Q酔BP三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的P点.
解答：
解：
（1）如图，过B点作Bdx轴，垂足为C,则/BCQ90。
，
•••/AOB120°.・./BOC60。
，
又•••OAOB=4,.・.O（=OB=x4=2,BOORsin60°=4X丄=2二,2
•••点B的坐标为（-2,-2二）；
（2）•••抛物线过原点O和点AB,.••可设抛物线解析式为y=ax2+bx,
将A（4,0）,B（-2.-2血）代入，得
16a+4b=0I6
y=
口门L,解得彳C厂，二此抛物线的解析式为
4a-2b=-2^3匚2V3
（3）存在，
如图，抛物线的对称轴是直线x=2,直线x=2与x轴的交点为D,设点P的坐标为（2,y）,
①若OB=OP
则22+|y|2=42，解得y=±2二,
当y=2£j时，在RtAPOD中,ZPDO90°sin/P0證丄OP2
•••ZPOD60°
•••ZPOBZPODZAOB60°+120°=180°,即P、OB三点在同一直线上,
•y=2二不符合题意，舍去，
•••点P的坐标为（2,-27）
2若OB=PB则42+|y+S|2=42,解得y=-2""；,
故点P的坐标为（2,-27）,
3若OP=BR贝U22+|y|2=42+|y+27|2,
解得y=-2二，
故点P的坐标为（2,-2二），
综上所述，符合条件的点
&在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上,且点A（0,2），点C（-1,0）,如图所示：
抛物线y=ax2+ax-2经过点B.
（1）求点B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使厶ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三
角形？
若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.
考点：
二次函数综合题.
专题：
压轴题.
分析：
（1）根据题意，过点B作BDLx轴，垂足为D;根据角的互余的关系，易得B到x、y轴的距离，即B的坐标；
（2）根据抛物线过B点的坐标，可得a的值，进而可得其解析式；
（3）首先假设存在，分A、C是直角顶点两种情况讨论，根据全等三角形的性质，可得答案.解答：
解：
（1）过点B作BDLx轴，垂足为D,
•••/BCD/ACO90。
，/ACO/CAO90。
，
:
丄BCD/CAO（1分）
又•••/BDC/COA90°,CBAC
•••△BCD^ACAO（2分）
•••BD=O（=1,CD=OA=2,（3分）
•••点B的坐标为（-3,1）;（4分）
（2）抛物线y=ax2+ax-2经过点B（-3,1）,
则得到仁9a-3a-2,（5分）
解得a=,
2
所以抛物线的解析式为y=x+x-2;（7分）
（3）假设存在点P,使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：
1若以点C为直角顶点；
则延长BC至点P,使得PC=BC得到等腰直角三角形△ACP,（8分）
过点P作RMhx轴，
•••CP=BC,/MCF=/BCD/PMC/BD（=90°,
•••△MFC^ADBC（10分）
•••CM=CD=2,PM=BD=1，可求得点P（1,~1）;（11分）
2若以点A为直角顶点；
则过点A作AP丄CA且使得AP=AC得到等腰直角三角形△ACP,（12分）
过点F2作P2N丄y轴，同理可证△APN^ACAO（13分）
•NP=OA=2,ANhO（=1,可求得点F2（2,1）,（14分）
经检验，点P（1,-1）与点F2（2,1）都在抛物线y=x2+x-2上.（16分）
\
■）
9.在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且
点A（0,2）,点C（1,0）,如图所示，抛物线y=ax2-ax-2经过点B.
（1）求点B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使厶ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？
若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.
V
W.
\
cctoyx
考点：
二次函数综合题.•
专题：
代数几何综合题；压轴题.
分析：
（1）首先过点B作BDLx轴，垂足为D,易证得△BDdACOA即可得BD=O（=1,C!
=OA=2,
则可求得点B的坐标；
（2）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（3）分别从①以AC为直角边，点C为直角顶点，则延长BC至点P使得RC=BC得到等腰直角三角形ACP,过点P作PMILx轴，②若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP丄CA且使得AP=AC得到等腰直角三角形ACP,过点F2作P2N丄y轴，③若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP丄CA且使得AP=AC得到等腰直角三角形ACP,过点R作PsH±y轴，去分析则可求得答案.
解答：
解：
（1）过点B作BDLx轴，垂足为D,
•••/BCD/ACO90。
，/AO+ZOAC9
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