全国青少年信息学计算机奥林匹克分区联赛提高组复赛试题.docx
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全国青少年信息学计算机奥林匹克分区联赛提高组复赛试题
2002年全国青少年信息学〔计算机〕奥林匹克分区联赛复赛试题
注意事项：
认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！
重在审题，多思考，多理解！
〔提高组竞赛用时：
3小时〕
题一均分纸牌〔存盘名NOIPG1〕
[问题描述]
有N堆纸牌，编号分别为1，2，…,N。
每堆上有假设干张，但纸牌总数必为N的倍数。
可以在任一堆上取假设于张纸牌，然后移动。
移牌规那么为：
在编号为1堆上取的纸牌，只能移到编号为2的堆上；在编号为N的堆上取的纸牌，只能移到编号为N-1的堆上；其他堆上取的纸牌，可以移到相邻左边或右边的堆上。
现在要求找出一种移动方法，用最少的移动次数使每堆上纸牌数都一样多。
例如N=4，4堆纸牌数分别为：
①9②8③17④6
移动3次可达到目的：
从③取4张牌放到④〔981310〕->从③取3张牌放到②〔9111010〕->从②取1张牌放到①〔10101010〕。
[输入]：
键盘输入文件名。
文件格式：
N〔N堆纸牌，1<=N<=100〕
A1A2…An〔N堆纸牌，每堆纸牌初始数，l<=Ai<=10000〕
[输出]：
输出至屏幕。
格式为：
所有堆均达到相等时的最少移动次数。
‘
[输入输出样例]
a.in：
4
98176
屏慕显示：
3
题二字串变换〔存盘名:
NOIPG2〕
[问题描述]:
有两个字串A$,B$及一组字串变换的规那么〔至多6个规那么〕:
A1$->B1$
A2$->B2$
规那么的含义为：
在A＄中的子串A1$可以变换为B1$、A2$可以变换为B2$…。
例如：
A$＝'abcd'B$＝'xyz'
变换规那么为：
‘abc’->‘xu’‘ud’->‘y’‘y’->‘yz’
那么此时，A$可以经过一系列的变换变为B$，其变换的过程为：
‘abcd’->‘xud’->‘xy’->‘xyz’
共进行了三次变换，使得A$变换为B$。
[输入]:
键盘输人文件名。
文件格式如下：
A$B$
A1$B1$\
A2$B2$ |->变换规那么
....../
所有字符串长度的上限为20。
[输出]:
输出至屏幕。
格式如下：
假设在10步〔包含10步〕以内能将A$变换为B$，那么输出最少的变换步数；否那么输出“NOANSWER!
”
[输入输出样例]
b.in:
abcdwyz
abcxu
udy
yyz
屏幕显示：
3
题三自由落体〔存盘名:
NOIPG3〕
[问题描述]:
在高为H的天花板上有n个小球，体积不计，位置分别为0，1，2，…、n-1。
在地面上有一个小车〔长为L，高为K，距原点距离为S1〕。
小球下落距离计算公式为d＝1/2*g*（t^2），其中g=10，t为下落时间。
地面上的小车以速度V前进。
如下图：
小车与所有小球同时开始运动，当小球距小车的距离<=0.00001时，即认为小球被小车接受〔小球落到地面后不能被接受〕。
请你计算出小车能接受到多少个小球。
[输入]：
键盘输人：
H，S1，V，L，K，n〔l<=H，S1，V，L，K，n<=100000〕
[输出]：
屏幕输出：
小车能接受到的小球个数。
[输入输出样例]
[输入]:
5.09.05.02.51.85
[输出]:
1
题四矩形覆盖〔存盘名NOIPG4〕
[问题描述]:
在平面上有n个点〔n<=50〕，每个点用一对整数坐标表示。
例如：
当n＝4时，4个点的坐标分另为：
p1〔1，1〕，p2〔2，2〕，p3〔3，6〕，P4〔0，7〕，见图一。
这些点可以用k个矩形〔1<=k<=4〕全部覆盖，矩形的边平行于坐标轴。
当k=2时，可用如图二的两个矩形sl，s2覆盖，s1，s2面积和为4。
问题是当n个点坐标和k给出后，怎样才能使得覆盖所有点的k个矩形的面积之和为最小呢。
约定：
覆盖一个点的矩形面积为0；覆盖平行于坐标轴直线上点的矩形面积也为0。
各个矩形必须完全分开〔边线与顶点也都不能重合〕。
[输入]:
键盘输人文件名。
文件格式为
nk
xly1
x2y2
......
xnyn〔0<=xi,yi<=500）
[输出]:
输出至屏幕。
格式为：
一个整数，即满足条件的最小的矩形面积之和。
[输入输出样例]
d.in:
42
11
22
36
07
屏幕显示：
4
2002年全国青少年信息学〔计算机〕
奥林匹克分区联赛复赛提高组试题解题报告
题一均分纸牌〔存盘名NOIPG1〕
[问题描述]
有N堆纸牌，编号分别为1，2，…,N。
每堆上有假设干张，但纸牌总数必为N的倍数。
可以在任一堆上取假设干张纸牌，然后移动。
移牌规那么为：
在编号为1堆上取的纸牌，只能移到编号为2的堆上；在编号为N的堆上取的纸牌，只能移到编号为N-1的堆上；其他堆上取的纸牌，可以移到相邻左边或右边的堆上。
现在要求找出一种移动方法，用最少的移动次数使每堆上纸牌数都一样多。
例如N=4，4堆纸牌数分别为：
①9②8③17④6
移动3次可达到目的：
从③取4张牌放到④〔981310〕->从③取3张牌放到②〔9111010〕->从②取1张牌放到①〔10101010〕。
[输入]：
键盘输入文件名。
文件格式：
N〔N堆纸牌，1<=N<=100〕
A1A2…An〔N堆纸牌，每堆纸牌初始数，l<=Ai<=10000〕
[输出]：
输出至屏幕。
格式为：
所有堆均达到相等时的最少移动次数。
‘
[输入输出样例]
a.in：
4
98176
屏慕显示：
3
分析：
如果你想到把每堆牌的张数减去平均张数，题目就变成移动正数，加到负数中，使大家都变成0，那就意味着成功了一半！
拿例题来说，平均张数为10,原张数9，8，17，6，变为-1，-2，7，-4，其中没有为0的数，我们从左边出发：
要使第1堆的牌数-1变为0，只须将-1张牌移到它的右边〔第2堆〕-2中；结果是-1变为0，-2变为-3，各堆牌张数变为0，-3，7，-4；同理：
要使第2堆变为0，只需将-3移到它的右边〔第3堆〕中去，各堆牌张数变为0，0，4，-4；要使第3堆变为0，只需将第3堆中的4移到它的右边〔第4堆〕中去，结果为0，0，0，0，完成任务。
每移动1次牌，步数加1。
也许你要问，负数张牌怎么移，不违反题意吗？
其实从第i堆移动-m张牌到第i+1堆，等价于从第i+1堆移动m张牌到第i堆，步数是一样的。
如果张数中本来就有为0的，怎么办呢？
如0，-1，-5，6，还是从左算起〔从右算起也完全一样〕，第1堆是0，无需移牌，余下与上相同；再比如-1，-2，3，10，-4，-6，从左算起，第1次移动的结果为0，-3，3，10，-4，-6；第2次移动的结果为0，0，0，10，-4，-6，现在第3堆已经变为0了，可节省1步，余下继续。
程序清单
programNOIPG1;
constmaxn=100;
vari,j,n,step:
integer;ave:
longint;
a:
array[1..maxn]ofinteger;
f:
text;filename:
string;
begin
write（'Inputfilename:
'）;readln（filename）;
assign（f,filename）;reset（f）;
readln（f,n）;ave:
=0;step:
=0;
fori:
=1tondobegin
read（f,a[i]）;inc（ave,a[i]）;
end;
ave:
=avedivi;
fori:
=1tondoa[i]:
=a[i]-ave;
i:
=1;j:
=n;
whilea[i]=0doinc（i）;{过滤左边的0}
whilea[j]=0dodec（j）;{过滤右边的0}
while（iinc（a[i+1],a[i]）;{将第i堆牌移到第i+1堆中去}
a[i]:
=0;{第i堆牌移走后变为0}
inc（step）;{移牌步数计数}
inc（i）;{对下一堆牌进行循环操作}
whilea[i]=0doinc（i）;{过滤移牌过程中产生的0}
end;
writeln（step）;
end.
点评：
基此题〔较易〕此题有3点比较关键：
一是善于将每堆牌数减去平均数，简化了问题；二是要过滤掉0〔不是所有的0，如-2，3，0，-1中的0是不能过滤的〕；三是负数张牌也可以移动，这是辩证法〔关键中的关键〕。
题二字串变换〔存盘名:
NOIPG2〕
[问题描述]:
有两个字串A$,B$及一组字串变换的规那么〔至多6个规那么〕:
A1$->B1$
A2$->B2$
规那么的含义为：
在A$中的子串A1$可以变换为B1$、A2$可以变换为B2$…。
例如：
A$＝'abcd'B$＝'xyz'
变换规那么为：
‘abc’->‘xu’‘ud’->‘y’‘y’->‘yz’
那么此时，A$可以经过一系列的变换变为B$，其变换的过程为：
‘abcd’->‘xud’->‘xy’->‘xyz’
共进行了三次变换，使得A$变换为B$。
[输入]:
键盘输人文件名。
文件格式如下：
A$B$
A1$B1$\
A2$B2$ |->变换规那么
....../
所有字符串长度的上限为20。
[输出]:
输出至屏幕。
格式如下：
假设在10步〔包含10步〕以内能将A$变换为B$，那么输出最少的变换步数；否那么输出“NOANSWER!
”
[输入输出样例]
b.in:
abcdxyz
abcxu
udy
yyz
屏幕显示：
3
分析：
此题是典型的广度优先搜索的例子，但如果只采用正向搜索，某些情况下计算量过大，速度过慢，故采取双向搜索且判重并适当剪枝，效果较好。
程序清单
{$A-,B-,D-,E-,F-,G-,I-,L-,N-,O-,P-,Q-,R-,S-,T-,V-,X-,Y-}
{$M8192,0,655360}
programNOIPG2;
constmaxn=2300;
type
node=record{定义节点数据类型}
str:
string[115];dep:
byte;
end;{str表示字串，其长度不会超过115〔长度超过115的字串
不可能通过变换成为目标字串，因为题目限定变换10次之内，且串长
不超过20，即起始串最多可经过5次变换时增长，中间串的最大长度
为20+5*19=115，否那么经过余下的步数不可能变为长度不超过20的
目标串〕，dep表示深度}
ctype=array[1..maxn]of^node;
bin=0..1;
var
maxk:
byte;c:
array[0..1]ofctype;
x0:
array[0..6,0..1]ofstring[20];
filename:
string;
open,closed:
array[0..1]ofinteger;
procedureInit;{读取数据，初始化}
varf:
text;temp:
string;i,j:
integer;
begin
fori:
=0to1do
forj:
=1tomaxndonew（c[i,j]）;
write（'Inputfilename:
'）;readln（filename）;
assign（f,filename）;reset（f）;i:
=0;
whilenoteof（f）and（i<=6）dobegin
readln（f,temp）;
x0[i,0]:
=copy（temp,1,pos（'',temp）-1）;
x0[i,1]:
=copy（temp,pos（'',temp）+1,length（temp））;
inc（i）;
end;
maxk:
=i-1;close（f）;
end;
procedurecalc;
vari,j,k:
integer;st:
bin;
d:
string;f:
text;
procedurebool（st:
bin）;{判断是否到达目标状态或双向搜索相遇}
vari:
integer;
begin
ifx0[0,1-st]=c[st,closed[st]]^.strthenbegin
{如果到达目标状态，那么输出结果，退出}
writeln（c[st,closed[st]]^.dep）;
halt;
end;
fori:
=1toclosed[1-st]do
ifc[st,closed[st]]^.str=c[1-st,i]^.strthenbegin
{如果双向搜索相遇〔即得到同一节点〕，
那么输出结果〔2个方向搜索的步数之和〕，退出}
writeln（c[st,closed[st]]^.dep+c[1-st,i]^.dep）;
halt;
end;
end;
procedurecheckup（st:
bin）;{判断节点是否与前面重复}
vari:
integer;
begin
fori:
=1toclosed[st]-1do
ifc[st,i]^.str=c[st,closed[st]]^.strthenbegin
dec（closed[st]）;exit;{如果节点重复，那么删除本节点}
end;
bool（st）;{如果节点不重复，再判断是否到达目标状态}
end;
procedureexpand（st:
bin）;{扩展产生新节点}
vari,j,k,lx,ld:
integer;
begin
inc（open[st]）;d:
=c[st,open[st]]^.str;{队首节点出队}
k:
=c[st,open[st]]^.dep;ld:
=length（d）;
fori:
=1tomaxkdobegin
{从队首节点〔父节点〕出发产生新节点〔子节点〕}
lx:
=length（x0[i,st]）;
forj:
=1tolddobegin
if（copy（d,j,lx）=x0[i,st]）and（length（copy（d,1,j-1）+x0[i,1-st]
+copy（d,j+lx,ld））<=115）thenbegin
{如果新节点的串长超过115，那么不扩展！
即剪掉此枝}
ifclosed[st]>=maxnthenexit;{如果队列已满，只好退出}
inc（closed[st]）;{新节点入队}
c[st,closed[st]]^.str:
=copy（d,1,j-1）+x0[i,1-st]+copy（d,j+lx,ld）;
c[st,closed[st]]^.dep:
=k+1;{子节点深度=父节点深度+1}
checkup（st）;{检查新节点是否重复}
end;
end;
end;
end;
Begin
forst:
=0to1dobegin{正向（st=0）逆向（st=1）搜索节点队列初始化}
open[st]:
=0;closed[st]:
=1;
c[st,closed[st]]^.str:
=x0[0,st];c[st,closed[st]]^.dep:
=0;
bool（st）;
end;
repeat
{选择节点数较少且队列未空、未满、深度未达到10的方向先扩展}
if（open[0]<=open[1]）andnot（（open[0]>=closed[0]）or
（closed[0]>=maxn）or（c[0,closed[0]]^.dep>10））thenexpand（0）;
if（open[1]<=open[0]）andnot（（open[1]>=closed[1]）or
（closed[1]>=maxn）or（c[1,closed[1]]^.dep>10））thenexpand
（1）;
{如果一方搜索终止，继续另一方的搜索，直到两个方向都终止}
ifnot（（open[0]>=closed[0]）or（closed[0]>=maxn）or
（c[0,closed[0]]^.dep>10））thenexpand（0）;
ifnot（（open[1]>=closed[1]）or（closed[1]>=maxn）or
（c[1,closed[1]]^.dep>10））thenexpand
（1）;
until（open[0]>=closed[0]）or（c[0,closed[0]]^.dep>10）or（closed[0]>=maxn）
and（closed[1]>=maxn）or（open[1]>=closed[1]）or（c[1,closed[1]]^.dep>10）;
{终止条件：
任一方队空〔无解〕或搜索深度超过10〔10步内无解〕
或双方均溢出〔可能有解也可能无解，应尽量避免，要尽量把节
点数组开大一点，采用双向搜索，采取剪枝措施等〕}
End;
BEGIN
init;calc;writeln（'NOANSWER!
'）
END.
点评：
基此题〔较难〕考察队列、〔双向〕广度优先搜索算法及字符串的运算，基本上可以考察出参赛者的数据结构和算法水平。
题三自由落体〔存盘名:
NOIPG3〕
[问题描述]:
在高为H的天花板上有n个小球，体积不计，位置分别为0，1，2，…、n-1。
在地面上有一个小车〔长为L，高为K，距原点距离为S1〕。
小球下落距离计算公式为d＝1/2*g*（t^2），其中g=10，t为下落时间。
地面上的小车以速度V前进。
如下图：
小车与所有小球同时开始运动，当小球距小车的距离<=0.00001时，即认为小球被小车接受〔小球落到地面后不能被接受〕。
请你计算出小车能接受到多少个小球。
[输入]：
键盘输人：
H，S1，V，L，K，n〔l<=H，S1，V，L，K，n<=100000〕
[输出]：
屏幕输出：
小车能接受到的小球个数。
[输入输出样例]
[输入]:
5.09.05.02.51.85
[输出]:
1
分析：
显然，小车太慢〔即V<=Vmin〕或太快〔V>Vmax〕时，一个球也接不到。
即在V<=Vmin或V>Vmax时输出为0。
下面分别求Vmin和Vmax。
当第n-1个小球落地的瞬间，小车在小球的右端离小球尚有e=0.00001的距离，小车的这个极小速度就是Vmin。
小车从天花板落到地面的时间t1=
这段时间内小车走了S1-〔n-1〕-e,所以Vmin=
。
当第1个小球落到距小车的上表面为e的瞬间，小车在小球的左端离小球距离为e，小车的这个极大速度就是Vmax。
小球从天花板落到离小车上表面为e的距离的时间为t2=
小车移动的距离为S1+L+e,所以Vmax=
。
那么，当Vmin显然，时间段[t2,t1]是小车接球的时间，在t2时刻，小车的位置为：
左表面离原点距离为S1-V*t2,右表面离原点距离为S1-V*t2+L；在t1时刻，小车的位置为：
左表面离原点距离为S1-V*t1,右表面离原点距离为S1-V*t1+L；故小车的接球范围（在小车运动范围外扩展e）为[S1-V*t1-e，S1-V*t2+L+e],球的个数就等于接球范围内所包含的0~n-1之间的整数的个数.
程序清单
programNOIPG3;
constg=10{重力加速度};e=1E-5;{小车接受小球的极限距离}
varH,s1,v,l,k,t1,t2,Vmin,Vmax:
real;
n2,n1,num,n:
integer;
begin
readln（h,s1,v,l,k,n）;num:
=-1;
t1:
=sqrt（2*h/g）;{小球落地时间}
ifh<=k+ethent2:
=0elset2:
=sqrt（2*（h-k-e）/g）;{小球落到小车上的最短时间}
ifs1-v*t2+L+e<0
thennum:
=0
elsen2:
=trunc（s1-v*t2+L+e）;{小车接受的球的最大编号为n2}
ifn2>n-1thenn2:
=n-1;{n2取trunc（s1-v*t2+L+e）与n-1的较小值}
ifs1-v*t1-e<=0
thenn1:
=0
elseifs1-v*t1-e>n-1
thennum:
=0
elseif（s1-v*t1-e）=trunc（s1-v*t1-e）
thenn1:
=trunc（s1-v*t1-e）{小车接受的球的最小编号为n1}
elsen1:
=trunc（s1-v*t1-e）+1;
ifnum=-1thennum:
=n2-n1+1;{小车接受的球的个数为num}
writeln（num）;
end.
点评：
送分题此题“物理味”有余而“信息味”不足，连循环语句都用不上！
难见的“送分题”，可物理较差的人也得不到多少分哦！
题四矩形覆盖〔存盘名NOIPG4〕
[问题描述]:
在平面上有n个点〔n<=50〕，每个点用一对整数坐标表示。
例如：
当n＝4时，4个点的坐标分另为：
p1〔1，1〕，p2〔2，2〕，p3〔3，6〕，P4〔0，7〕，见图一。
这些点可以用k个矩形〔1<=k<=4〕全部覆盖，矩形的边平行于坐标轴。
当k=2时，可用如图二的两个矩形sl，s2覆盖，s1，s2面积和为4。
问题是当n个点坐标和k给出后，怎样才能使得覆盖所有点的k个矩形的面积之和为最小呢。
约定：
覆盖一个点的矩形面积为0；覆盖平行于坐标轴直线上点的矩形面积也为0。
各个矩形必须完全分开〔边线与顶点也都不能重合〕。
[输入]:
键盘输人文件名。
文件格式为
nk
xly1
x2y2
......
xnyn〔0<=xi,yi<=500）
[输出]:
输出至屏幕。
格式为：
一个整数，即满足条件的最小的矩形面积之和。
[输入输出样例]
d.in:
42
11
22
36
07
屏幕显示：
4
分析
1、此题的难度较大。
如果你这样认为：
即在假定已用i个矩形〔面积和满足最小〕覆盖所有点的基础上，穷举所有2个矩形合并成1个矩形〔条件是：
在所有合并方案中使合并后面积最小〕，从而使矩形个数减少为i-1——那就错了，可是却可以通过前4组测试数据！
正确的做法是对不同的K值分别进行计算，好在K值较小，否那么...
讨论：
k=1，只要求出n个点坐标的最大、最小值，就可求得矩形的位置与面积；
k=2，有2个矩形，它们只有2种分布形式：
左右式〔flag=0〕，上下式〔flag=1〕
对于左右式，显然要先将所有点按横坐标升序排列，可将点1~点i-1放入矩形1中，将点i~点n放入矩形2中，求两矩形的面积之和；如果面积和比上一个值小，记下；让i从2循环到n,就可完成左右式的全部搜索；
对于上下式，先将所有点按纵坐标升序排列，依此类推。
k=3，有3个矩形，它们有6种分布形式：
要用两重循环进行搜索：
设i,j为循环变量，将点1~i-1放入矩形1中，点i~j-1放入矩形2中，点j~n放入矩形3中；点必须在放入前排好序〔均为升序〕：
对于flag=0,所有点按横坐标排序；对于flag=1,所有点按纵坐标排序；对于flag=2,所有点先按横坐标排序，然后点i~n按纵坐标排序；对于flag=3,所有点先按横坐标排序，然后点1~j-1按纵坐标排序；对于flag=4,所有点先按纵坐标排序，然后点1~j-1按横坐标排序；对于flag=5,所有点先按纵坐标排序，然后点i~n按横坐标排序；
至于k=4,4个矩形有22种分布形式，实在太复杂！
幸好测试数据中没有K=4的情形（似乎有意放了一马？
）。
据说此题全国没有一人全对！
〔只要求K=1，2，3〕
程序清单
{$A+,B-,D+,E+,F-,G-,I+,L+,N-,O-,P-,Q-,R-,S-,T-,V+,X+,Y+}
{$M65520,0,6
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