动态几何问题中的相似.docx
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动态几何问题中的相似
专题课堂（五）动态几何问题中的相似
【例】如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6），点B（80）.动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动‘设
（2）当伪何值时，ZXAPQ与ZXAOB相彳以？
并求出此时点P的坐标.
分析：
（1）运用待定系数法求出直线AB的解析式即可；
（2）分△APQs/XAOB和厶AQP-AAOB两种情况，根据相似三角形的性质定理，结合图形计算即可.
解：
（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，由题意得H=0，解
k=——3
得］4•；直线AB的解析式为y=—；x+6
（2）由题意知AP=t，
b=6，
AQ=1O—2t・可分两种情况讨论：
①当ZAPQ=ZAOB时，有厶APQs
AAOB，如图1
10-2t
10
36
TT
•••P（0
②当ZAQP=ZAOB时，有厶AQP^AAOB，如图2，・・・75=
蔦彳'解得t=||APO=AO-AP=6-||=f|AP（0‘H）・综上
所述，当t为晋秒或彩秒时，AAPQ与厶AOB相似，两种情况下点P的坐标为（0，普）或（0，H）
［对应训练］
1・如图，正方形ABCD的边长为1，AB边上有一动点P‘连接PD，
线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于F，连接
解：
（1）由题意得PD=PE，ZDPE=90°，・・・ZAPD+ZQPE=90
，丁四边形ABCD是正方形ZA=90°，••・ZADP+ZAPD=90
°，・・.ZADP=ZQPEVEQ丄AB，二ZA=ZQ=90°，又PD=
PE，•••△ADP$Z\QPE（AAS），・・.PQ=AD=1
（2）VAPFD^ABFP，
・PF_PD
•*BF=PB，…昕―PF，
VZADP=ZBPF，ZCBP=ZA
DAPs
△PBF「•罟=器，••需=||9・・・PA=PB
=£aB=*‘.I当PA
，APFD^ABFP
2•如图，在矩形ABCD中，AB=10c加，BC=12cm，点E，F，G分别从A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s，当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动.在运动过程中，AEBF关于直线EF的对称图形是AEBF设点E，F，G运动的时间为t（单位：
5）.
（1）
当1=2一5s时，四边形EBFB，为正方形；
（2）若以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值.
解：
（1）2.5点拨：
若四边形EBFB'为正方形，则BE=BF，由题
意可得BE=10—t，BF=3t，・・.1O—t=3t，解得t=2.5
（2）分两种情况
FRr>pin—f
讨论如下：
①若△EBF-AFCG，则有走=花'即TI二It=T3t
FBBF10—t3t
t=2・8；②若△EBF-AGCF，则有比=疋，即二久?
解得1
=—14—2^/69（不合题意啥去）或t=—14+2\/69./.当t=
14+2^/69）5时，以点E，B，尸为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点
的三角形相似
3・如图，在7?
rAABC中，ZC=90°，AB=10c加，AC：
BC=4:
3，
点P从点A岀发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B岀发沿B—C~>A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动.
（1）求AC，BC的长；
⑵设点P的运动时间为x（$），APBQ的面积为y（cm2）当APBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.
解：
（1）设AC=4x，BC=3x，在Rt^ABC中，AC2+BC2=AB2，
即（4x）2+（3x）2=IO?
，解得x—2，・・.AC=8c加‘BC=6cm
（2）①当点Q在边BC上运动时，如图1，过点Q作QH丄AB于点
H，TAP=x，.・.BP=10-x，BQ=2x^ZAQHB^AACB，•••器=器，
VxW3）；
…一
即罟=希>.,.QH=|x，.•.y=£BP・QH=*10—x）・|x=-|x2+8x（0
②当点Q在边CA±运动时，如图2，过点Q作QH'丄AB于点H
，TAP=x，ABP=10-x，AQ=14—2x，•.•△AQH'^AABC
31
•\QHz=§（14—2x），・・・y=3PB•QH
—^x2+8x（0VxW3）
5
3-51
才x?
一寸x+42（3JJ
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