完整版人教版中考数学复习练习题中考专题突破doc.docx

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第四部分中考专题突破

专题一整体思想

1.（2011年江苏盐城）已知a－b＝1，则代数式2a－2b－3的值是（A）

A．－1B．1C．－5D．5

2．（2011年浙江杭州）当x＝－7时，代数式（2x＋5）（x＋1）－（x－3）（x＋1）的值为－6.

3．（2011

年山东威海）分解因式：

16－8（x－y）＋（x－y）2＝（x－y－4）2.

4．（2010

年湖北鄂州）已知α、β是方程x2－4x－3＝0的两个实数根，则

（α－3）（β－3）＝－6.

5．（2011

年山东潍坊）分解因式：

a3＋a2－a－1＝（a＋1）2（a－1）．

6．（2010

年江苏镇江）分解因式：

a2－3a＝a（a－3）；化简：

（x＋1）2－x2＝2x＋1.

7．若买铅笔4支，日记本3本，圆珠笔

2支共需10元，若买铅笔

9支，日记本

7本，圆珠笔

5支共需25元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一共需

5元．

解析：

设铅笔每支x元，日记本y元，圆珠笔z元，有：

4x＋3y＋2z＝10

①

9x＋7y＋5z＝25

，

②

②－①得：

5x＋4y＋3z＝15③，

③－①得：

x＋y＋z＝5.

8．如图X－1－2，半圆A和半圆B均与y轴相切于点O，其直径CD、EF均和x轴垂直，以

点O为顶点的两条抛物线分别经过点

C、E和点D、F，则图中阴影部分的面积是

π

2.

图X－1－2

9．（2010年重庆）含有同种果蔬汁但浓度不同的A、B两种饮料，A种饮料重40千克，B种饮

料重60千克．现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的

部分与另一种饮料余下的部分混合，如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料

中倒出的相同的重量是24千克．

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解析：

设A果蔬的浓度为

x，B果蔬的浓度为

y，且倒出部分的重量为

a，有：

40－ax＋ay＝

60－ay＋ax，

40

60

3（40－a）x＋3ay＝2（60－a）y＋2ax，

120x－3ax＋3ay＝120y－2ay＋2ax，

120x－120y＝5ax－5ay，

120（x－y）＝5a（x－y），

解得：

a＝24.

10．（2011年江苏宿迁）已知实数a、b满足ab＝1，a＋b＝2，求代数式a2b＋ab2的值．

解：

原式＝ab（a＋b）＝1×2＝2.

11．（2010年福建南安）已知y＋2x＝1，求代数式（y＋1）2－（y2－4x）的值．

解：

原式＝y2＋2y＋1－y2＋4x

＝2y＋4x＋1

＝2（y＋2x）＋1

＝2×1＋1＝3.

x－1

2

x－1

－2＝0.

12．（2010年江苏苏州）解方程：

x2

－

x

解：

方法一：

去分母，得（x－1）2－x（x－1）－2x2＝0.

化简，得2x2＋x－1＝0，

1

解得x1＝－1，x2＝2.

1

经检验，x1＝－1，x2＝是原方程的解．

方法二：

令x－x1＝t，则原方程可化为t2－t－2＝0，

解得t1＝2，t2＝－1.

x－1

当t＝2时，

x＝2，解得x＝－1.

当t＝－1时，x－1＝－1，解得x＝1

.

x

2

1

经检验，x＝－1，x＝是原方程的解．

13．（2011年四川南充）关于x的一元二次方程x2＋2x＋k＋1＝0的实数解是x1和x2.

（1）求k的取值范围；

（2）如果x1＋x2－x1x2＜－1且k为整数，求k的值．

解：

（1）∵方程有实数根，

∴Δ＝22－4（k＋1）≥0，

解得：

k≤0，

∴k的取值范围是k≤0.

（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得

x1＋x2＝－2，x1x2＝k＋1，

x1＋x2－x1x2＝－2－（k＋1），

由已知，－2－（k＋1）＜－1，解得k＞－2，

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又由

（1）知k≤0，

∴－2＜k≤0，

又∵k为整数，∴k的值为－1和0.

14．阅读材料，解答问题．

为了解方程（x2－1）2－5（x2－1）＋4＝0.我们可以将x2－1视为一个整体，然后设x2－1＝y，则原

方程可化为y2－5y＋4＝0①.解得y1＝1，y2＝4.当y＝1时，x2－1＝1，x2＝2，x＝±2；当y＝4时，x2－1＝4，x2＝5，∴x＝±5.∴x1＝2，x2＝－2，x3＝5，x4＝－5.

解答问题：

（1）填空：

在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了整体思想的数学思想；

（2）用上述方法解方程：

x4－x2－6＝0.

解：

（2）设x2＝y，

则原方程化为：

y2－y－6＝0.

解得：

y1＝3，y2＝－2.

当y＝3时，x2＝3，解得x＝±3；

当y＝－2时，x2＝－2，无解．

∴x1＝3，x2＝－3.

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专题二分类讨论思想

1.已知⊙O

与⊙O

相切，⊙O

的半径为9cm，⊙O

的半径为

2cm，则OO

的长是（C）

1

2

1

2

1

2

A．11cmB．7cm

C．11cm或7cm

D．5cm或7cm

2．已知一个等腰三角形腰上的高与腰长之比为

1∶2，则这个等腰三角形顶角的度数为（D）

A．30°B．150°

C．60°或120°D．30°或150°

3．（2011年贵州贵阳）如图X－2－1，反比例函数

1k1和正比例函数y22

y＝x

＝kx的图象交于A（－

k1＞k2

1，－3），B（1,3）两点，若x

x，则x的取值范围是（C）

图X－2－1

A．－1＜x＜0

B．－1＜x＜1

C．x＜－1或0＜x＜1D．－1＜x＜0或x＞1

4．（2011年甘肃兰州）如图X－2－2，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别

平行于坐标轴，点

C在反比例函数

y＝

k2＋2k＋1

的图象上．若点A的坐标为（－2，－2），则k的值

x

为（D）

图X－2－2

A．1B．－3C．4D．1或－3

5．（2011年山东枣庄）如图X－2－3，函数y1＝|x|和y2＝

1

4的图象相交于（－1,1），（2,2）两点．当

3x＋

3

y>y

时，x的取值范围是（D）

1

2

图X－2－3

A．x＜－1B．－1＜x＜2C．x＞2D．x＜－1或x＞2

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6．（2011年山东济宁）如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm和6cm，那么此三角形的周长

是（D）

A．15cmB．16cm

C．17cmD．16cm或17cm

k

7．（2011年四川南充）过反比例函数y＝x（k≠0）图象上一点A，分别作x轴、y轴的垂线，垂足

分别为B、C，如果△ABC的面积为3.则k的值为6或－6.

8．（2010年贵州毕节）三角形的每条边的长都是方程x2－6x＋8＝0的根，则三角形的周长是6

或10或12.

9．（2011年浙江杭州）在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，过点C作直线l∥AB，F是l

上的一点，且

3＋13－1

AB＝AF，则点F到直线BC的距离为

或

2

.

2

10．一次函数y＝kx＋k过点（1,4），且分别与x轴、y轴交于A、B点，点P（a,0）在x轴正半轴上运动，点Q（0，b）在y轴正半轴上运动，且PQ⊥AB.

（1）求k的值，并在直角坐标系中（图X－2－4）画出一次函数的图象；

（2）求a、b满足的等量关系式；

（3）若△APQ是等腰三角形，求△APQ的面积．

图X－2－4

解：

（1）∵一次函数y＝kx＋k的图象经过点（1,4），

∴4＝k×1＋k，即k＝2.∴y＝2x＋2.

当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝－1.

即A（－1,0），B（0,2）．

如图D56，直线AB是一次函数y＝2x＋2的图象.

图D56

（2）∵PQ⊥AB，∴∠QPO＝90°－∠BAO.

又∵∠ABO＝90°－∠BAO，∴∠ABO＝∠QPO.

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∴Rt△ABO∽Rt△QPO.∴QOAO＝OBOP，即1b＝2a.

∴a＝2b.

（3）由

（2）知a＝2b.

∴AP＝AO＋OP＝1＋a＝1＋2b，

AQ2＝OA2＋OQ2＝1＋b2，

PQ2＝OP2＋OQ2＝a2＋b2＝（2b）2＋b2＝5b2.

若AP＝AQ，即AP2＝AQ2，则（1＋2b）2＝1＋b2，

即b＝0或－4，这与b>0矛盾，故舍去；

3

若AQ＝PQ，即AQ2＝PQ2，则1＋b2＝5b2，

11

即b＝2或－2（舍去），

1

此时，AP＝2，OQ＝，

△

1×AP×OQ＝1×2×1＝1

SAPQ＝

2

222.

若AP＝PQ，则1＋2b＝5b，即b＝2＋5.

此时AP＝1＋2b＝5＋25，OQ＝2＋5.

△

1×AP×OQ＝1×（5＋2

5）×（2＋5）

SAPQ＝2

2

＝10＋9

5.

2

∴

△APQ的面积为1或10＋9

5.

2

2

11．（2011年浙江绍兴）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩

形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点．例如，图X－2－5中过点P分别作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成矩形OAPB的周长与面积相等，则点P是和谐点．

（1）判断点M（1,2），N（4,4）是否为和谐点，并说明理由；

（2）若和谐点P（a,3）在直线y＝－x＋b（b为常数）上，求点a、b的值．

图X－2－5

解：

（1）∵1×2≠2×（1＋2），4×4＝2×（4＋4），

∴点M不是和谐点，点N是和谐点．

（2）由题意得，

当a>0时，（a＋3）×2＝3a，

∴a＝6，点P（a,3）在直线y＝－x＋b上，代入得b＝9；

当a<0时，（－a＋3）×2＝－3a，

∴a＝－6，点P（a,3）在直线y＝－x＋b上，

代入得b＝－3.

∴a＝6，b＝9或a＝－6，b＝－3.

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12．（2011年湖北襄阳）为发展旅游经济，我市某景区对门票采用灵活的售票方法吸引游客．门

票定价为50元/人，非节假日打a折售票，节假日按团队人数分段定价售票，即m人以下（含m人）

的团队按原价售票；超过m人的团队，其中m人仍按原价售票，超过m人部分的游客打b折售票．设

某旅游团人数为x人，非节假日购票款为y1（元），节假日购票款为

y2（元）．y1、y2与x之间的函数图

象如图X－2－6所示．

（1）观察图象可知：

a＝6；b＝8；m＝10；

（2）直接写出y、y

与x之间的函数关系式；

1

2

（3）某旅行社导游王娜于5月1日带A团，5月20日（非节假日）带B团都到该景区旅游，共付门票款1900元，A、B两个团合计50人，求A、B两个团队各有多少人？

图X－2－6

解：

（2）y1＝30x；

50x0≤x≤10

y2＝.

40x＋100x>10

（3）设A团有n人，则B团有（50－n）人．

当0≤n≤10时，50n＋30（50－n）＝1900，

解之，得n＝20，这与n≤10矛盾．

当n＞10时，40n＋100＋30（50－n）＝1900，

解之，得n＝30，

∴50－30＝20.

答：

A团有30人，B团有20人．

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专题三数形结合思想

1.（2011年安徽）如图X－3－1，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直

线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC＝2，BD＝1，AP＝x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是（C）

图X－3－1

2．（2011年山东威海）如图X－3－2，在正方形ABCD中，AB＝3cm，动点M自A点出发沿

AB方向以每秒

1cm的速度运动，同时动点

N自A点出发沿折线

AD—DC—CB以每秒3cm的速

度运动，到达

B点时运动同时停止，设△

AMN的面积为y（cm2），运动时间为

x（秒），则下列图象中

能大致反映y与x之间的函数关系的是

（B）

图X－3－2

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3．（2011年甘肃兰州）如图X－3－3，正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H分别为各边上的

点，且AE＝BF＝CG＝DH，设小正方形EFGH的面积为S，AE为x，则S关于x的函数图象大致是（B）

图X－3－3

4．（2010年福建德化）已知：

如图X－3－4，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一个动点

（A、C除外），作PE⊥AB于点E，作PF⊥BC于点F，设正方形ABCD的边长为x，矩形PEBF的周长为y，在下列图象中，大致表示y与x之间的函数关系的是（A）

图X－3－4

5．如图X－3－5，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B.点M和点N分别是l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移．⊙O的半径为1，∠1＝60°.下列结论错误的是（B）

图X－3－5

4

3

3

A．MN＝

3

B．若MN与⊙O相切，则AM＝

2

C．若∠MON＝90°，则MN与⊙O相切

D．l1和l2的距离为2

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6．如图X－3－6，四边形OABC为正方形，边长为6，点A、C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D在OA上，且D点的坐标为（2,0），P是OB上的一个动点，试求PD＋PA和的最小值是（A）

图X－3－6

A．210

B.10

C．4

D．6

7．如图X－3－7，在圆心角为

90°的扇形MNK中，动点P从点M出发，沿

?

MN→NK→KM

运动，最后回到点M的位置．设点

P运动的路程为x，P与M两点之间的距离为

y，其图象可能

是（B）

图X－3－7

3

8．（2011年江苏扬州）如图X－3－8，已知函数y＝－x与y＝ax2＋bx（a>0

，b>0）

的图象交于点

P，

点P的纵坐标为

1，则关于x的方程ax2＋bx＋3＝0的解为－3.

x

图X－3－8

1

2

与x轴交于A、B两点，与y轴交

9．（2011年山东菏泽）如图X－3－9，抛物线y＝

x＋bx－2

2

于C点，且A（－1,0）．

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图X－3－9

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；

（3）点M（m,0）是x轴上的一个动点，当

MC＋MD的值最小时，求

m的值．

解：

（1）把点A（－1,0）的坐标代入抛物线的解析式

1

2

y＝x＋bx－2，

2

3

整理后解得b＝－，

13

所以抛物线的解析式为y＝2x2－2x－2.

顶点D3，－25.

28

（2）∵AB＝5，AC2＝OA2＋OC2＝5，BC2＝OC2＋OB2＝20，

∴AC2＋BC2＝AB2.∴△ABC是直角三角形．

（3）作出点C关于x轴的对称点C′，

则C′（0,2），OC′＝2.

连接C′D交x轴于点M，

根据轴对称性及两点之间线段最短可知，

MC＋MD的值最小．

设抛物线的对称轴交

x轴于点E.

△C′OM∽△DEM.

∴OM＝OC′

m

＝2

24

EMED

.∴3

25.∴m＝41.

2－m8

10．（2011年湖南邵阳）如图X－3－10，在平面直角坐标系

Oxy中，已知点A－9，0

，点C（0,3），

4

点B是x轴上的点（位于点A右侧），以AB为直径的圆恰好经过点C.

图X－3－10

（1）求∠ACB的度数；

（2）已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过A、B两点，求抛物线的解析式；

（3）线段BC上是否存在点

D，使△BOD为等腰三角形？

若存在，则求出所有符合条件的点

D

的坐标；若不存在，请说明理由．

解：

如图D57，

（1）90°

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图D57

（2）∵△AOC∽△COB，

∴AO＝CO，

COOB

又∵A（－94，0），点C（0,3），

∴AO＝9，OC＝3，4

∴所以解得：

OB＝4，

∴B（4,0），把A、B两点坐标代入解得：

y＝－13x2＋127x＋3.

（3）存在．

直线BC的方程为3x＋4y＝12，设点D（x，y）．

①若BD＝OD，则点D在OB的中垂线上，点

D横坐标为

2，纵坐标为

3，即D

1

3

2

（2，2）为所求．

②若OB＝BD＝4，则y＝BD，x＝CD，得y＝12，x＝4，点D24，12

COBCBOBC

5

5

（5

5）为所求．

11．（2011年广东汕头）如图X－3－11，抛物线

y＝－

5

2

17

x＋1

与y

轴交于点A，过点A的

4

x＋

4

直线与抛物线交于另一点

B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3,0）．

图X－3－11

（1）求直线AB的函数关系式；

（2）动点P在线段OC上，从原点轴，交直线AB于点M，交抛物线于点的函数关系式，并写出t的取值范围；

O出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作垂直于xN.设点P移动的时间为t秒，MN的长为s个单位，求s与t

（3）设

（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM、BN，当t为何值